Câu 211: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\sin x.\) A. \( - x\cos x + \sin x + C\) B. \(x\cos x + \sin x + C\) C. \( - x\cos x - \sin x + C\) D. \(x\cos x - \sin x + C\) \(\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {x\sin xdx} \) Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = \sin xdx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = - \cos x}\end{array} \Rightarrow \int {x\sin xdx = - x\cos x} + \int {\cos xdx = - x\cos x + \sin x + C} } \right.\)
Câu 212: Tính tích phân \(I = \int\limits_1^e {\frac{{{{\ln }^2}x}}{x}} dx.\) A. \(I = \frac{1}{6}\) B. \(I = \frac{1}{8}\) C. \(I = \frac{1}{3}\) D. \(I = \frac{1}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Tính \(I = \int\limits_1^e {\frac{{{{\ln }^2}x}}{x}} dx.\) Đặt: \(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow u = 0\\x = e \Rightarrow u = 1\end{array} \right.\) Vậy: \(I = \int\limits_0^1 {{u^2}du} = \left. {\frac{1}{3}{u^3}} \right|_0^1 = \frac{1}{3}.\)
Câu 213: Cho tích phân \(\int\limits_2^3 {\frac{1}{{{x^3} + {x^2}}}dx = a\ln 3 + b\ln 2 + c} \) với \(a,b,c \in \mathbb{Q}\). Tính \(S = a + b + c.\) A. \(S = - \frac{2}{3}\) B. \(S = - \frac{7}{6}\) C. \(S = \frac{2}{3}\) D. \(S = \frac{7}{6}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int\limits_2^3 {\frac{1}{{{x^3} + {x^2}}}} dx = \int\limits_2^3 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 1}}} \right)} dx = \left( { - \frac{1}{x} - \ln \left| x \right| + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3\\2\end{array}} \right. = - 2\ln 3 + 3\ln 2 + \frac{1}{6}\) Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 2,b = 3}\\{c = \frac{1}{6}}\end{array}} \right. \Rightarrow S = \frac{7}{6}.\)
Câu 214: Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {3x.{e^{2x}}} dx.\) A. \(I = \frac{{3{e^2} + 3}}{{16}}\) B. \(I = \frac{{2{e^2} + 2}}{9}\) C. \(I = \frac{{3{e^2} + 3}}{4}\) D. \(I = \frac{{2{e^2} + 2}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = 3x}\\{dv = {e^{2x}}dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = 3dx}\\{v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}}\end{array}} \right. \Rightarrow I = \frac{{3x.{e^{2x}}}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right. - \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx} = \frac{{3x.{e^{2x}}}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right. - \frac{3}{4}{e^{2x}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array} = \frac{{3{e^2} + 3}}{4}} \right..\)
Câu 215: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \(y = 4 - {x^2},y = 0\). Tính thể tích V của khối tròn xoay hình thành khi cho (H) quay xung quanh Ox. A. \(V = \frac{{512}}{{15}}\left( {dvtt} \right)\) B. \(V = \frac{{512\pi }}{{15}}\left( {dvtt} \right)\) C. \(V = 2\pi \left( {dvtt} \right)\) D. \(V = \frac{{32\pi }}{{15}}\left( {dvtt} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm các đồ thị là \(4 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{x = 2}\end{array}} \right.\) Suy ra thể tích cần tính bằng \(V = \pi \int\limits_{ - 2}^3 {{{\left( {4 - {x^2}} \right)}^2}} dx = \frac{{512\pi }}{{15}}\left( {dvtt} \right).\)
Câu 216: Tìm một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{3x + 1}}.\) A. \({e^{3x + 1}}\) B. \(\frac{{{e^{3x + 1}}}}{2}\) C. \(\frac{{{e^{3x + 1}}}}{4}\) D. \(\frac{{{e^{3x + 1}}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {{e^{3x + 1}}} dx = \frac{{{e^{3x + 1}}}}{3} + C.\)
Câu 217: Cho hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + m,\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right),\) với m là tham số thực. Giả sử \(\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ. Gọi \({S_1};{S_2};{S_3}\) là diện tích các miền gạch chéo như hình vẽ. Tìm m để \({S_1} + {S_2} = {S_3}.\) A. \(m = - \frac{5}{2}\) B. \(m = - \frac{5}{4}\) C. \(m = \frac{5}{2}\) D. \(m = \frac{5}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + m\)với trục hoành là: \({x^4} - 3{x^2} + m = 0\) Đặt \(t = {x^2},t > 0\) ta có: \({t^2} - 3t + m = 0(2)\) \(({C_m})\) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \((2)\) có hai nghiệm dương phân biệt: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 4m > 0\\3 > 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \frac{9}{4}\) Đến đây ta có thể suy ra D là phương án đúng. Nhận xét: Trong trường hợp bài này người ra đề đưa ra 4 phương án A, B, C, D. Khi sử dụng ngay dữ kiến đầu tiên ta có thể chọn được phương án đúng. Nếu trường hợp đến đấy vẫn chưa chọn được phương án đúng, ta xét tiếp như sau. Ta có: \(y = f(x) = {x^4} - 3{x^2} + m\)là hàm số chẵn nên ta có: \({S_1} + {S_2} = {S_3} \Rightarrow {S_2} = \frac{1}{2}{S_3}\) Gọi \({x_1} < {x_2} < {x_3} < {x_4}\) là 4 hoành độ giao điểm của \(({C_m})\) với trục hoành suy ra: \({S_2} = \frac{1}{2}{S_3} \Rightarrow \int\limits_{{x_3}}^{{x_4}} { - f(x)dx} = \int\limits_0^{{x_3}} {f(x)dx} \) Từ đó ta có thể giải và tìm được m. Tuy nhiên với bài toán này các nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\) tính theo m có công thức rất phức tạp, không phù hợp với một bài trắc nghiệm. Có lẻ vì vậy tác giả đã đơn giản hóa bài toán từ việc đưa ra 4 phương án A, B, C, D nhứ trên. Bản chất bài toán chỉ còn là: “Tìm tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + m\)cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt”.
Câu 218: Có bao nhiêu số thực \(a \in \left( {0;10\pi } \right)\)thỏa mãn điều kiện \(\int\limits_0^a {{{\sin }^5}x\sin 2xdx} = \frac{2}{7}?\) A. 4 số B. 6 số C. 7 số D. 5 số Spoiler: Xem đáp án \(I = \int\limits_0^a {{{\sin }^5}x.\sin 2xdx} = \int\limits_0^a {{{\sin }^5}x.2\sin x.\cos x} dx = 2\int\limits_0^a {{{\sin }^6}x\cos dx} \) Đặt \(u = \sin x \Rightarrow du = \cos xdx\) Khi đó ta có: \(I = 2\int\limits_0^{\sin a} {{t^6}} dt = \left. {\frac{2}{7}{t^7}} \right|_0^{{\mathop{\rm sina}\nolimits} } = \frac{2}{7}{\sin ^7}a.\) Ta có: \(\int\limits_0^a {{{\sin }^5}} x.\sin 2xdx = \frac{2}{7} \Rightarrow \frac{2}{7}.{\sin ^7}a = \frac{2}{7} \Leftrightarrow \sin a = 1 \Leftrightarrow a = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) Vì \(a \in \left( {0;10\pi } \right) \Rightarrow a = \frac{\pi }{2};a = \frac{{5n}}{2};a = \frac{{9\pi }}{2};a = \frac{{13\pi }}{2};a = \frac{{17\pi }}{2}\). Có 5 số thực a thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 219: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn hệ thức \(\int {f\left( x \right)} \sin xdx = - f\left( x \right)\cos x + \int {{\pi ^x}\cos xdx} \). Hỏi \(y = f\left( x \right)\) là hàm số nào trong các hàm số sau: A. \(f\left( x \right) = - \frac{{{\pi ^x}}}{{\ln \pi }}\) B. \(f\left( x \right) = \frac{{{\pi ^x}}}{{\ln \pi }}\) C. \(f\left( x \right) = {\pi ^x}.\ln x\) D. \(f\left( x \right) = - {\pi ^x}.\ln x\) Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f\left( x \right)}\\{dv = \sin xdx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = f'\left( x \right)dx}\\{v = - \cos x}\end{array}} \right. \Rightarrow \int {f\left( x \right)} \sin xdx\) \( = - f\left( x \right).\cos x + \int {f'\left( x \right)} \cos xdx.\) Nên suy ra \(f'\left( x \right) = {\pi ^x} \Rightarrow f\left( x \right) = \int {{\pi ^x}} dx = \frac{{{\pi ^x}}}{{\ln \pi }}\)
Câu 220: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^2} - 4\) và \(y = x - 4\) A. \(S = \frac{{43}}{6}\) B. \(S = \frac{{161}}{6}\) C. \(S = \frac{1}{6}\) D. \(S = \frac{5}{6}\) Spoiler: Xem đáp án Xét phương trình: \({x^2} - 4 = x - 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right.\). Trong khoảng \(\left( {0;1} \right)\) thì \({x^2} - x > 0\) Diện tích cần tìm là: \(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - 4 - x + 4} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - x} \right|} dx = - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right)} dx = \frac{1}{6}\)
