Câu 221: Cho hàm số f(x) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{1 - x}}\) và \(f\left( 0 \right) = 1\). Tính \(f\left( 5 \right).\) A. \(f\left( 5 \right) = 2\ln 2\) B. \(f\left( 5 \right) = \ln 4 + 1\) C. \(f\left( 5 \right) = - 2\ln 2 + 1\) D. \(f\left( 5 \right) = - 2\ln 2\) Spoiler: Xem đáp án \(\int {f'\left( x \right)} dx = \int {\frac{1}{{1 - x}}} dx = - \ln \left| {1 - x} \right| + C\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = - \ln \left| {1 - x} \right| + C;f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow - \ln \left| {1 - 0} \right| + C = 1 \Rightarrow C = 1\) \( \Rightarrow f\left( 5 \right) = - \ln \left| {1 - 5} \right| + 1 = - \ln 4 + 1 = - 2\ln 2 + 1\)
Câu 222: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos 3x.\) A. \(\int {\cos 3xdx} = \frac{1}{3}\sin 3x + C\) B. \(\int {\cos 3xdx} = \sin 3x + C\) C. \(\int {\cos 3xdx} = 3\sin 3x + C\) D. \(\int {\cos 3xdx} = - \frac{1}{3}\sin 3x + C\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int {\cos 3xdx} = \frac{1}{3}\sin 3x + C\)
Câu 223: Cho hai hàm số \(y = {f_1}\left( x \right)\) và \(y = {f_2}\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và có đồ thị như hình vữ bên. Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng \(x = a,x = b\). Thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay S quanh trục Ox được tính bởi công thức nào sau đây? A. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left( {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right)} dx\) B. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left( {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right)} dx\) C. \(V = \int\limits_a^b {\left( {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right)} dx\) D. \(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left( {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right)}^2}} dx\) Spoiler: Xem đáp án Theo công thức trên ta có: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right|} dx = \pi \int\limits_a^b {\left( {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right)dx} \) (vì đồ thị hàm số \(y = {f_1}\left( x \right)\) nằm phía trên đồ thị hàm số \(y = {f_2}\left( x \right)\)).
Câu 224: Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right) = {4^x}\) và \(F\left( 1 \right) = \frac{3}{{\ln 2}}.\) Khi đó giá trị \(F\left( 2 \right)\)bằng: A. \(\frac{9}{{\ln 2}}.\) B. \(\frac{3}{{\ln 2}}.\) C. \(\frac{8}{{\ln 2}}.\) D. \(\frac{7}{{\ln 2}}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int\limits_1^2 {{4^x}d{\rm{x}}} = \left. {\frac{{{4^x}}}{{\ln 4}}} \right|_1^2 = \frac{6}{{\ln 2}} = F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right) \Rightarrow F\left( 2 \right) = F\left( 1 \right) + \frac{6}{{\ln 2}} = \frac{9}{{\ln 2}}.\)
Câu 225: Tính \(I = \int\limits_0^e {x\sqrt {e + {x^2}} } d{\rm{x}}.\) A. \(\left( {e + {e^2}} \right)\sqrt {e + {e^2}} - e\sqrt e .\) B. \({e^2}\sqrt {e + {e^2}} - e\sqrt e .\) C. \(\frac{1}{3}\left[ {\left( {e + {e^2}} \right)\sqrt {e + {e^2}} - e\sqrt e } \right].\) D. \(\frac{1}{3}\left( {{e^2}\sqrt {e + {e^2}} - e\sqrt e } \right).\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = \sqrt {e + {x^2}} \Rightarrow {t^2} = e + {x^2} \Rightarrow tdt = x{\rm{dx}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0,t = \sqrt e \\x = e,t = \sqrt {e + {e^2}} \end{array} \right.\) \( \Rightarrow I = \int\limits_{\sqrt e }^{\sqrt {{e^2} + e} } {{t^2}dt} = \left. {\frac{1}{3}{t^3}} \right|_{\sqrt e }^{\sqrt {{e^2} + e} } = \frac{1}{3}\left[ {\left( {e + {e^2}} \right)\sqrt {e + {e^2}} - e\sqrt e } \right].\)
Câu 226: Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành phần hình phẳng giới hạn bởi 2 đường \(y = {x^2}\) và \(y = \sqrt x \) là: A. \(\frac{\pi }{{10}}.\) B. \(\frac{{2\pi }}{{15}}.\) C. \(\frac{{3\pi }}{{10}}.\) D. \(\frac{{3\pi }}{5}.\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) và \(y = \sqrt x \) là: \({x^2} = \sqrt x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\) Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là là: \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - x} \right|dx} = \pi \int\limits_0^1 {\left( {x - {x^4}} \right)d{\rm{x}} = \frac{{3\pi }}{{10}}.} \)
Câu 227: Giả sử hàm số f có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right],\) thỏa mãn điều kiện \(f\left( 1 \right) = 6\) và \(\int\limits_0^1 {xf'\left( x \right)d{\rm{x}}} = 5.\) Khi đó \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} \) bằng: A. 1 B. -1 C. 11 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {f'}\left( x \right)d{\rm{x}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = d{\rm{x}}\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\) \(\Rightarrow \int\limits_0^1 {x{f'}\left( x \right)d{\rm{x}}} = \left. {xf\left( x \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = f\left( 1 \right) - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 5\) \( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = f\left( 1 \right) - 5 = 6 - 5 = 1.\)
Câu 228: Nếu \(\int\limits_0^1 {xf\left( x \right)d{\rm{x}}} = 4\) thì \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {{\rm{cos}}2{\rm{x}}} \right)} \sin 4{\rm{xdx}}\) bằng: A. 2 B. 6 C. 8 D. 4 Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = \cos 2x \Rightarrow dt = - 2\sin 2xdx \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0,\,\,t = 1\\x = \frac{\pi }{4},\,\,t = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\cos 2{\rm{x}}} \right)\sin 4{\rm{xdx}} = - \int\limits_1^0 {tf\left( t \right)dt} } \) \( \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\cos 2x} \right)\sin 4xdx = \int\limits_0^1 {tf\left( t \right)dt} = \int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx = 4.} } \)
Câu 229: Cho hàm số \(g\left( x \right) = \int\limits_{\sqrt x }^{{x^2}} {\sqrt t \sin t{\rm{dt}}} \) xác định với mọi \(x > 0.\) Tính \(g'\left( x \right)\) được kết quả: A. \(g'\left( x \right) = {x^2}\sin \left( {{x^2}} \right) - \frac{{\sin \left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt[4]{{\rm{x}}}}}.\) B. \(g'\left( x \right) = 2{x^2}\sin \left( {{x^2}} \right) - \frac{{\sin \left( {\sqrt x } \right)}}{{2\sqrt[4]{{\rm{x}}}}}.\) C. \(g'\left( x \right) = 2{x^2}\sin \left( {{x^2}} \right) - \frac{{\sin \left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt[4]{{\rm{x}}}}}.\) D. \(g'\left( x \right) = {x^2}\sin \left( {{x^2}} \right) - \frac{{\sin \left( {\sqrt x } \right)}}{{2\sqrt[4]{{\rm{x}}}}}.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(f\left( t \right) = \sqrt t \sin t \Rightarrow g\left( x \right) = F\left( {{x^2}} \right) - F\left( {\sqrt x } \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = 2{\rm{x}}F'\left( {{x^2}} \right) - \frac{1}{{2\sqrt x }}F'\left( x \right)\) \( \Rightarrow g'\left( x \right) = 2{\rm{x}}f\left( {{x^2}} \right) - \frac{1}{{2\sqrt x }}f\left( {\sqrt x } \right) = 2{\rm{x}}.\left[ {x\sin \left( {{x^2}} \right)} \right] - \frac{1}{{2\sqrt x }}\left[ {\sqrt[4]{{\rm{x}}}.\sin \left( {\sqrt x } \right)} \right] = 2{{\rm{x}}^2}\sin \left( {{x^2}} \right) - \frac{{\sin \left( {\sqrt x } \right)}}{{2\sqrt[4]{{\rm{x}}}}}\)
Câu 230: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = {x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}},\) trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = 3\) là: A. \(\frac{5}{6}.\) B. \(\frac{{17}}{4}.\) C. \(\frac{{11}}{4}.\) D. \(\frac{{17}}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}\) với trục hoành là: \({x^3} - 3{x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\) Khi đó ta có: \(\begin{array}{l}S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right|} dx\\ = \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} - \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} \\ \Rightarrow S = \frac{{11}}{4}.\end{array}\)
