Câu 231: Có bao nhiêu số \(a \in \left( {0;20\pi } \right)\) sao cho \(\int\limits_0^a {{{\sin }^5}x.\sin 2x} dx = \frac{2}{7}.\) A. 20 B. 19 C. 9 D. 10 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int\limits_0^a {{{\sin }^5}x\sin 2xdx = \frac{2}{7}} \Leftrightarrow 2\int\limits_0^a {{{\sin }^6}x\cos xdx = \frac{2}{7}} \Leftrightarrow \int\limits_0^a {{{\sin }^6}x\cos xdx} = \frac{1}{7}\) Đặt: \(\begin{array}{l}t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = a \Rightarrow t = \sin a\end{array} \right.\\ \Rightarrow \int\limits_0^a {{{\sin }^6}x\cos xdx} = \int\limits_0^{\sin a} {{t^6}dt} = \left. {\frac{1}{7}{t^7}} \right|_0^{\sin a} = \frac{1}{7}\\ \Rightarrow {\sin ^7}a = 1 \Leftrightarrow \sin a = 1 \Leftrightarrow a = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\) Mặt khác \(a \in \left( {0;20\pi } \right) \Rightarrow 0 < \frac{\pi }{2} + k2\pi < 20\pi \Leftrightarrow - \frac{\pi }{2} < k2\pi < \frac{{39\pi }}{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{4} < k < \frac{{39}}{4}\) \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\) . Suy ra có 10 số a thỏa mãn đề bài.
Câu 232: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường: \(y = \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|,\)\(x = - 1.\). A. \(S = \frac{{107}}{6}.\) B. \(S = \frac{{109}}{6}.\) C. \(S = \frac{{109}}{7}.\) D. \(S = \frac{{109}}{8}.\) Spoiler: Xem đáp án Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có: \(\left| {{x^2} - 4x + 3} \right| = x + 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 = x + 3\\{x^2} - 4x + 3 = - \left( {x + 3} \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 5\end{array} \right.\). Ta có: \(\left| {{x^2} - 4x + 3} \right| \le x + 3,\forall x \in \left[ {0;5} \right]\). Vậy diện tích phần hình phẳng cần tính là: \(S = \int\limits_0^5 {\left( {x + 3 - \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|} \right){\rm{d}}x} \) \( = \int\limits_0^1 {\left( {x + 3 - {x^2} + 4x - 3} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^3 {\left( {x + 3 + {x^2} - 4x + 3} \right){\rm{d}}x + \int\limits_3^5 {\left( {x + 3 - {x^2} + 4x - 3} \right){\rm{d}}x} } \) \( = \int\limits_0^1 {\left( { - {x^2} + 5x} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^3 {\left( {{x^2} - 3x + 6} \right){\rm{d}}x + \int\limits_3^5 {\left( { - {x^2} + 5x} \right){\rm{d}}x} } \) \( = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{5{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 6x} \right)} \right|_1^3 + \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{5{x^2}}}{2}} \right)} \right|_3^5 = \frac{{109}}{6}.\)
Câu 233: Người ta thay nước mới cho một bể bơi dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu \({h_1} = 280\,\,\,cm\). Giả sử \(h(t)\,\,cm\) là chiều cao của mực nước bơm được tại thời điểm \(t\) giây, bết rằng tốc độ tăng của chiều cao nước tại giây thứ \(t\) là \(h'(t) = \frac{1}{{500}}\sqrt[3]{{t + 3}}\) . Hỏi sau bao lâu thì nước bơm được \(\frac{3}{4}\) độ sâu của hồ bơi? A. \(7545,2\,s\). B. \(7234,8\,s\). C. \(7200,7\,s\). D. \(7560,5\,s\). Spoiler: Xem đáp án Sau m giây mức nước của bể là: \(h(m)=\int_{0}^{m}h'(t)dt=\int_{0}^{m}\frac{1}{500}\sqrt[3]{t+3}dt =\frac{3\sqrt[3]{(t+3)^4}}{2000}\bigg|^m_0=\frac{3}{2000} \left [ \sqrt[3]{(m+3)^4}-3\sqrt[3]{3} \right ]\) Yêu cầu bài toán, ta có: \(\frac{3}{2000}\left [ \sqrt[3]{(m+3)^4}-3\sqrt[3]{3} \right ]=\frac{3}{4}.280\) Suy ra: \(\sqrt[3]{(m+3)^4}=140000+3\sqrt[3]{3} \Leftrightarrow \sqrt[4]{(140000+3\sqrt[3]{3})}-3=7234,8\)
Câu 234: Biết hàm số \(F\left( x \right) = a{x^3} + \left( {a + b} \right){x^2} + \left( {2a - b + c} \right)x + 1\) là một nguyên hàm hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 6x + 2\). Tính tổng \(a + b + c.\) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {3{x^2} + 6x + 2} \right)} dx = {x^3} + 3{x^2} + 2x + C\) Mặt khác \(F\left( x \right) = a{x^3} + \left( {a + b} \right){x^2} + \left( {2a - b + c} \right)x + 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{a + b = 3}\\{2a - b + c = 2}\\{C = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 2}\\{c = 2}\\{C = 1}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow a + b + c = 5\).
Câu 235: Một ô tô đang chạy đều với vận tốc 15 (m/s) thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc \( - a\left( {m/{s^2}} \right)\). Biết ô tô chuyển động thêm được 20m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây? A. \(\left( {3;4} \right)\) B. \(\left( {4;5} \right)\) C. \(\left( {5;6} \right)\) D. \(\left( {6;7} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(v\left( t \right) = 15 - a.t\left( {m/s} \right) \Rightarrow v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 15 - a.t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{15}}{a}\left( s \right)\) Ô tô đi được thêm được 20m, suy ra \(\int\limits_0^{\frac{a}{{15}}} {v\left( t \right)dt = 20 \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{{15}}{a}} {\left( {15 - a.t} \right)} dt = 20 \Leftrightarrow \left( {15t - \frac{1}{2}a.{t^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{15}}{a}}\\0\end{array}} \right.} = 20\) \( \Leftrightarrow 15\frac{{15}}{a} - \frac{1}{2}a.\frac{{{{15}^2}}}{{{a^2}}} = 20\) \( \Leftrightarrow \frac{{225}}{a} - \frac{{225}}{{2a}} = 20 \Leftrightarrow a = 5,625\left( {m/{s^2}} \right) \Rightarrow a \in \left( {5;6} \right).\)
Câu 236: Cho \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {x - 1} \right)\sin 2xdx} \). Tìm đẳng thức đúng? A. \(I = - \left( {x - 1} \right)\cos 2x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{4}}\\0\end{array}} \right. + \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos 2x} dx\) B. \(I = - \left( {x - 1} \right)\cos 2x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{4}}\\0\end{array}} \right. - \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos 2x} dx\) C. \(I = - \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right)\cos 2x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{4}}\\0\end{array}} \right. + \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos 2x} dx\) D. \(I = - \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right)\cos 2x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{4}}\\0\end{array}} \right. - \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos 2x} dx\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x - 1}\\{dv = \sin 2xdx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = - \frac{1}{2}\cos 2x}\end{array} \Rightarrow I = } \right.\left. { - \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right)\cos 2x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} + \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos 2xdx} .\)
Câu 237: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {\left( {2 + {e^{3x}}} \right)^2}.\) A. \(\int {f(x)dx} = 4x + \frac{4}{3}{e^{3x}} + \frac{1}{6}{e^{6x}} + C\). B. \(\int {f(x)dx} = 3x + \frac{4}{3}{e^{3x}} + \frac{1}{6}{e^{6x}} + C\). C. \(\int {f(x)dx} = 4x + \frac{4}{3}{e^{3x}} - \frac{1}{6}{e^{6x}} + C\). D. .\(\int {f(x)dx} = 3x + \frac{4}{3}{e^{3x}} + \frac{5}{6}{e^{6x}} + C\). Spoiler: Xem đáp án \(\int {f(x)} dx = \int {{{\left( {2 + {e^{3x}}} \right)}^2}} dx = \int {\left( {4 + 4{e^{3x}} + {e^{6x}}} \right)} {\rm{d}}x = 4x + \frac{4}{3}{e^{3x}} + \frac{1}{6}{e^{6x}} + C\).
Câu 238: Giả sử tích phân \(I = \int\limits_1^5 {\frac{1}{{1 + \sqrt {3x + 1} }}{\rm{d}}x} = a + b.ln3 + c.ln5\). Tính tổng a+b+c. A. \(a + b + c = \frac{4}{3}.\) B. . \(a + b + c = \frac{5}{3}.\) C. \(a + b + c = \frac{7}{3}.\) D. \(a + b + c = \frac{8}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(1 + \sqrt {3x + 1} = t \Rightarrow 3x + 1 = {\left( {t - 1} \right)^2} \Rightarrow {\rm{d}}x = \frac{2}{3}\left( {t - 1} \right){\rm{d}}t\). Đổi cận \(x = 1 \Rightarrow t = 3;x = 5 \Rightarrow t = 5\). Khi đó \(I = \int\limits_3^5 {\frac{2}{3}\frac{{t - 1}}{t}{\rm{d}}t} = \frac{2}{3}\int\limits_3^5 {\left( {1 - \frac{1}{t}} \right){\rm{d}}t} = \left. {\frac{2}{3}\left( {t - \ln \left| t \right|} \right)} \right|_3^5 = \frac{4}{3} + \frac{2}{3}ln3 - \frac{2}{3}ln5\). Do đó \(a = \frac{4}{3};b = \frac{2}{3};c = - \frac{2}{3}\). Vậy \(a + b + c = \frac{4}{3}.\)
Câu 239: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\ln \left( {x + 2} \right)\). A. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {x + 2} \right) - \frac{{{x^2} + 4x}}{4} + C\). B. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2} - 4}}{2}\ln \left( {x + 2} \right) - \frac{{{x^2} - 4x}}{4} + C\). C. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {x + 2} \right) - \frac{{{x^2} + 4x}}{2} + C\). D. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2} - 4}}{2}\ln \left( {x + 2} \right) - \frac{{{x^2} + 4x}}{2} + C\). Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x{\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \frac{{{\rm{d}}x}}{{x + 2}}\\v = \frac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\). Ta có: \(\begin{array}{l}\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {x + 2} \right) - \frac{1}{2}\int {\frac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {x + 2} \right) - \frac{1}{2}\int {\left( {x - 2 + \frac{4}{{x + 2}}} \right){\rm{d}}x} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {x + 2} \right) - \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - 2x + 4\ln \left( {x + 2} \right)} \right) + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{x^2} - 4}}{2}\ln \left( {x + 2} \right) - \frac{{{x^2} - 4x}}{4} + C.\end{array}\)
Câu 240: Cho \(\int_1^3 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)}}} = a\ln 2 + b\ln 5 + c\ln 7\,\,\,\left( {a,b,c \in \mathbb{Q}} \right)\). Tính \(S = a + 4b - c\) A. \(1.\) B. \(\frac{4}{3}.\) C. \(\frac{7}{3}.\) D. \(2.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{1}{3}\left[ {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 4}}} \right]\). Do đó: \(\begin{array}{l}\int_1^3 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)}}} = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x + 4}}} \right|\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{1}{3}\left( {\ln \frac{4}{7} - \ln \frac{2}{5}} \right)\\ = \frac{1}{3}\left( {\ln 2 + \ln 5 - \ln 7} \right) = \frac{1}{3}\ln 2 + \frac{1}{3}\ln 5 - \frac{1}{3}\ln 7 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{1}{3}\\c = - \frac{1}{3}\end{array} \right.\end{array}\) Vậy: \(S = \frac{1}{3} + 4.\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\)
