Câu 241: Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=2x+1\) và \(F(1)=3.\) Tính \(F\left( 0 \right)\). A. \(F\left( 0 \right) = 0.\) B. \(F\left( 0 \right) = 5.\) C. \(F(0)=1\) D. \(F(0)=2\). Spoiler: Xem đáp án Ta có\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} = {x^2} + x + C = F\left( x \right)\). Do \(F\left( 1 \right) = 3 \Leftrightarrow 1 + 1 + C = 3 \Leftrightarrow C = 1\). Khi đó \(F\left( x \right) = {x^2} + x + 1\). Vậy\(F\left( 0 \right) = 1\).
Câu 242: Nếu \(\int\limits_1^2 {f(x){\rm{d}}} x = 2\) thì \(I = \int\limits_1^2 {\left[ {3f\left( x \right) - 2} \right]} {\rm{d}}x\) bằng bao nhiêu? A. \(I = 2\). B. \(I = 3\). C. \(I = 4\). D. \(I = 1\). Spoiler: Xem đáp án Ta có \(I = \int\limits_1^2 {\left[ {3f\left( x \right) - 2} \right]} {\rm{d}}x = 3\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - 2\int\limits_1^2 {{\rm{d}}x} = 3.2 - 2\left. x \right|\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array} = 6 - 2 = 4\).
Câu 243: Tính diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2} - 2x + 3\) và \(y = 3\) A. .\(S = \frac{3}{4}\). B. \(S = \frac{4}{3}\). C. \(S = \frac{{14}}{3}\). D. \(S = 6\). Spoiler: Xem đáp án Ta có \({x^2} - 2x + 3 = 3 \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\) . Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2} - 2x + 3\) và \(y = 3:\) \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|} {\rm{d}}x = \int\limits_0^2 {\left( { - 2x + {x^2}} \right){\rm{d}}x} = \frac{4}{3}.\)
Câu 244: Kết quả của tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x{\rm{d}}x} \) bằng bao nhiêu? A. \(I = 1\). B. \(I = - 2\). C. \(I = 0\). D. \(I = - 1\). Spoiler: Xem đáp án \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x{\rm{d}}x} = \left. {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\frac{\pi }{2} - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in0}} = 1\).
Câu 245: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}}\) A. \(\int {{e^{2x}}dx} = - \frac{1}{2}{e^{2x}} + C\). B. \(\int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C\). C. \(\int {{e^{2x}}dx} = 2{e^{2x}} + C\). D. \(\int {{e^{2x}}dx} = - 2{e^{2x}} + C\). Spoiler: Xem đáp án Theo công thức nguyên hàm cơ bản \(\int {{e^{ax + b}}dx} = \frac{1}{a}{e^{ax + b}} + C\). Suy ra \(\int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C\).
Câu 246: Bạn có một cốc thủy tinh hình trụ, đường kính trong lòng đáy cốc là 6 cm chiều cao trong lòng cốc là 10 cm đang đựng một lượng nước. Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy. Tính thể tích lượng nước trong cốc. A. \(15\pi c{m^3}\) B. \(60\pi c{m^3}\) C. \(60c{m^3}\) D. \(70c{m^3}\) Spoiler: Xem đáp án Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Gọi S(x) là thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x. Như hình vẽ ta thấy thiết liện này là tam giá vuông ABC. Mặt khác: \(\begin{array}{l}AB = BC.\tan \alpha = \sqrt {{R^2} - {x^2}} .\tan \alpha \\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}\left( {{R^2} - {x^2}} \right).\tan \alpha \\ \Rightarrow V = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 3}^3 {({3^2} - {x^2}).\frac{h}{R}dx = } \frac{1}{2}.\frac{{10}}{3}\int\limits_{ - 3}^3 {({3^2} - {x^2})dx = 60\,(c{m^3}).} \end{array}\)
Câu 247: Ông B có một khu vườn giới hạn bởi đường parabol và một đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ Oxy như hình vẽ bên thì parabol có phương trình \(y = {x^2}\) và đường thẳng là \(y = 25\). Ông B dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi đường thẳng đi qua O và điểm M trên parabol để trồng hoa. Hãy giúp ông B xác định điểm M bằng cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ bằng \(\frac{9}{2}\) A. \(OM = 2\sqrt 5 \) B. \(OM = 3\sqrt {10} \) C. \(OM = 15\) D. \(OM = 10\) Spoiler: Xem đáp án Giả sử \(M\left( {a;{a^2}} \right)\) suy ra phương trình \(OM:y = ax\) Khi đó diện tích khu vườn là \(S = \int\limits_0^a {\left( {ax - {x^2}} \right)} dx = \left( {a\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a\\0\end{array}} \right. = \frac{{{a^3}}}{6} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow a = 3\) Khi đó \(OM = 3\sqrt {10} .\)
Câu 248: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}\) và \(\int {f\left( x \right)} dx = \left( {ax + b} \right){e^x} + c\), với a, b, c là các hằng số. Khi đó: A. \(a + b = 2\) B. \(a + b = 3\) C. \(a + b = 0\) D. \(a + b = 1\) Spoiler: Xem đáp án \(f'\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x} \Rightarrow f\left( x \right) = x{e^x} + C'.\) Khi đó đặt \(I = \int {\left( {x{e^x} + C'} \right)} dx = \int {x{e^x}dx} + C'x\) Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = {e^x}dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = {e^x}}\end{array} \Rightarrow I = Cx + x{e^x}} \right. - \int {{e^x}dx = C'x + x{e^x} - {e^x}} = \left( {x - 1} \right){e^x} + C'x + c\) Suy ra C’=0. Do đó \(a = 1,b = - 1 \Rightarrow a + b = 0.\)
Câu 249: Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {2 - x} ,y = x,y = 0\) xung quanh trục Ox được tính theo công thức nào sau đây? A. \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left( {2 - x} \right)dx + } \pi \int\limits_1^2 {{x^2}dx} \) B. \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left( {2 - x} \right)dx} \) C. \(V = \pi \int\limits_0^1 {xdx + } \pi \int\limits_1^2 {\sqrt {2 - x} dx} \) D. \(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}dx + } \pi \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)dx} \) Spoiler: Xem đáp án Kí hiệu \({H_1}\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = x,y = 0,x = 1\) Kí hiệu \({H_2}\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {2 - x} ,y = 0,x = 2\) Khi đó thể tích V cần tính chính bằng thể tích \({V_1}\) của khối tròn xoay thu được khi quay hình \(\left( {{H_1}} \right)\) xung quanh trục Ox cộng với thể tích \({V_2}\) của khối tròn xoay thu được khi quay hình \(\left( {{H_2}} \right)\) xung quanh trục Ox. Ta có \({V_1} = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}dx} \) và \({V_2} = \pi \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)} dx \Rightarrow V = {V_1} + {V_2} = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}dx + \pi \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)} dx} .\)
Câu 250: Cho \(I = \int\limits_1^2 {x\sqrt {4 - {x^2}} }dx \) và \(t = \sqrt {4 - {x^2}} \). Khẳng định nào sau đây là sai? A. \(I = \sqrt 3 \) B. \(I = \frac{{{t^2}}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 3 }\\0\end{array}} \right.\) C. \(I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {{t^2}dt} \) D. \(I = \frac{{{t^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 3 }\\0\end{array}} \right.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = \sqrt {4 - {x^2}} \Rightarrow {t^2} = 4 - {x^2} \Rightarrow 2tdt = - 2xdx\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 3 \\x = 2 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\) Vậy: \(I = - \int\limits_{\sqrt 3 }^0 {tdt} = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {tdt} = \left. {\frac{{{t^2}}}{2}} \right|_0^{\sqrt 3 }.\)
