Câu 251: Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(\int {\tan xdx = - \ln \left| {\cos x} \right| + C} \) B. \(\int {\sin \frac{x}{2}dx = 2\cos \frac{x}{2} + C} \) C. \(\int {\cos xdx = - \ln \left| {\sin x} \right| + C} \) D. \(\int {\cos \frac{x}{2}dx = - 2\sin \frac{x}{2} + C} \) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(I = \int {\tan xdx} = \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} \) Đặt: \(u = \cos x \Rightarrow du = - \sin xdx\) Vậy: \(I = - \int {\frac{1}{u}du} = - \ln \left| u \right| = - \ln \left| {\cos x} \right| + C.\)
Câu 252: Cho tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {{x^2}\cos xdx} \) và \(u = {x^2},dv = \cos xdx\). Khẳng định nào sau đây đúng? A. \(I = {x^2}\sin x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\pi \\0\end{array}} \right. - \int\limits_0^\pi {x\sin xdx} \) B. \(I = {x^2}\sin x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\pi \\0\end{array}} \right. + \int\limits_0^\pi {x\sin xdx} \) C. \(I = {x^2}\sin x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\pi \\0\end{array}} \right. + 2\int\limits_0^\pi {x\sin xdx} \) D. \(I = {x^2}\sin x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\pi \\0\end{array}} \right. - 2\int\limits_0^\pi {x\sin xdx} \) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = \sin xdx\end{array} \right.\\ \Rightarrow I = \int\limits_0^\pi {{x^2}\cos xdx} = \left. {{x^2}\sin x} \right|_0^\pi - 2\int\limits_0^\pi {x\sin xdx} .\end{array}\)
Câu 253: Cho biết \(\int\limits_1^2 {\ln \left( {9 - {{\rm{x}}^2}} \right)d{\rm{x}}} = a\ln 5 + b\ln 2 + c,\) với a, b, c là các số nguyên. Tính \(S = \left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|.\) A. S = 34 B. S = 18 C. S = 26 D. S = 13 Spoiler: Xem đáp án \(\int\limits_1^2 {\ln \left( {9 - {x^2}} \right)d{\rm{x}}} = \left. {x\ln \left( {9 - {x^2}} \right)} \right|_1^2 + 2\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2}dx}}{{9 - {x^2}}}} = 2\ln 5 - 3\ln 2 + 2\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2}dx}}{{9 - {x^2}}}} .\) \(\begin{array}{l}\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2}dx}}{{9 - {x^2}}}} = \int\limits_1^2 {\frac{3}{2}\left( {\frac{1}{{3 - x}} + \frac{1}{{3 + x}}} \right)d{\rm{x}}} = \left. {\left( { - \frac{{3\ln \left| {3 - x} \right|}}{2} + \frac{{3\ln \left| {3 + x} \right|}}{2} - x} \right)} \right|_1^2\\ = \frac{3}{2}\ln 5 + \frac{3}{2}\ln 2 - \frac{3}{2}\ln 4 - 1\end{array}\) \( \Rightarrow \int\limits_1^2 {\ln \left( {9 - {x^2}} \right)d{\rm{x}}} = 5\ln 5 - 6\ln 2 - 2 \Rightarrow S = 13.\)
Câu 254: Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường \(y = \frac{1}{x},y = 0,x = 1,x = 5.\) Đường thẳng \(x = k\,\,\,\left( {1 < k < 5} \right)\) chia (H) thành hai phần là \(\left( {{S_1}} \right)\) và \(\left( {{S_2}} \right)\) quay quanh trục Ox ta thu được hai khối tròn xoay có thể tích lần lượt là \({V_1}\) và \({V_2}.\) Xác định k để \({V_1} = 2{V_2}.\) A. \(k = \frac{5}{3}.\) B. \(k = \frac{{15}}{7}.\) C. \(k = \ln 5.\) D. \(k = \sqrt[3]{{25}}.\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}{V_1} = \pi \int\limits_1^k {{{\left( {\frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \left. {\pi \left( { - \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^k = \pi \left( {1 - \frac{1}{k}} \right)\\{V_2} = \pi \int\limits_k^5 {{{\left( {\frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \left. {\pi \left( { - \frac{1}{x}} \right)} \right|_k^5 = \pi \left( {\frac{1}{k} - \frac{1}{5}} \right)\\{V_1} = 2{V_2} \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{k} = \frac{2}{k} - \frac{2}{5} \Leftrightarrow k = \frac{{15}}{7}.\end{array}\)
Câu 255: Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình MNEIF ở chính giữa một bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao \(B{\rm{D}} = 6m,\) chiều dài \(C{\rm{D}} = 12m\) (hình vẽ bên). Cho biết MNEF là hình chữ nhật có \(MN = 4m,\) cung EIF có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C, D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/m2. Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó? A. 20.400.000 đồng. B. 20.600.000 đồng. C. 20.800.000 đồng. D. 21.200.000 đồng. Spoiler: Xem đáp án Gọi O là trung điểm của MN và trùng với gốc tọa độ \( \Rightarrow M\left( { - 2;0} \right),\,\,N\left( {2;0} \right).\) Phương trình Parabol có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\,\,(a \ne 0)\) Tọa độ đỉnh Parabol: \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\) Parabol đỉnh \(I\left( {0;6} \right)\) và đi qua hai điểm \(C\left( { - 6;0} \right),\,\,D\left( {6;0} \right)\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 0\\ - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 6\\36a + 6b + c = 0\\36a - 6b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a = - \frac{1}{6}\\c = 6\end{array} \right.\) Suy ra phương trình parabol đỉnh \(I\left( {0;6} \right)\) và đi qua hai điểm \(C\left( { - 6;0} \right),\,\,D\left( {6;0} \right)\) là \(\left( P \right):y = 6 - \frac{1}{6}{x^2}.\) Diện tích bức tranh là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = f\left( x \right) = 6 - \frac{1}{6}{x^2}\) và \(x = - 2,\,\,x = 2.\) Khi đó: \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {6 - \frac{{{x^2}}}{6}} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {6 - \frac{{{x^2}}}{6}} \right)dx} = \left. {\left( {6x - \frac{{{x^3}}}{{18}}} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \frac{{208}}{9}\,\,\left( {{m^2}} \right).\) Vậy số tiền công ty X cần có để làm bức tranh là: \(T = \frac{{208}}{9} \times 900.000 = 20.800.000\) đồng.
Câu 256: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn và liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = 2.\) Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} .\) A. \(\int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} = 1.\) B. \(\int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} = 4.\) C. \(\int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}.\) D. \(\int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} = 2.\) Spoiler: Xem đáp án Vì f(x) là hàm số chẵn nên \(2 = \int\limits_{ - 2}^2 {f(x)dx} = 2\int\limits_0^2 {f(x)dx} \Rightarrow \int\limits_0^2 {f(x)dx} = 1.\) Xét tích phân: \(\int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} \) Đặt \(t = 2x \Rightarrow dt = 2dx\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\) Khi đó: \(\int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f(t)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f(x)dx} = \frac{1}{2}.\)
Câu 257: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2{\rm{x}}}}?\) A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = {e^{2{\rm{x}}}} + C.\) B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}{e^{2{\rm{x}}}} + C.\) C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = {e^{2{\rm{x}}}}\ln 2 + C.\) D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2{e^{2{\rm{x}}}} + C.\) Spoiler: Xem đáp án \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{e^{2{\rm{x}}}} + C.\)
Câu 258: Cho hàm số \(f \left( x \right)\) có đạo hàm trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right],\) biết \(f \left( 4 \right) = 2017,\,\,\int\limits_{ - 1}^4 {{f'}\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2016.\) Tính \(f\left( { - 1} \right).\) A. \(f\left( { - 1} \right) = 1.\) B. \(f\left( { - 1} \right) = 2.\) C. \(f\left( { - 1} \right) = 3.\) D. \(f\left( { - 1} \right) = - 1.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int\limits_{ - 1}^4 {f'\left( x \right)d{\rm{x}}} = f\left( 4 \right) - f\left( { - 1} \right) = 2016 \Rightarrow f\left( { - 1} \right) = f\left( 4 \right) - 2016 = 1.\)
Câu 259: Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^3}x.\cos x,\) biết \(F\left( 0 \right) = \pi .\) Tính \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right).\) A. \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{4} + \pi .\) B. \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \pi .\) C. \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{1}{4} + \pi .\) D. \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \pi .\) Spoiler: Xem đáp án Xét tích phân:\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^3}x\cos x{\rm{dx}}} \) Đặt \(u = \sin x \Rightarrow du = \cos dx\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 0\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow u = 1\end{array} \right.\) Vậy: \(\begin{array}{l}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^3}x\cos x{\rm{dx}}} = \int\limits_0^1 {{u^3}du} = \left. {\frac{1}{4}{u^4}} \right|_0^1 = \frac{1}{4} = F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - F(0)\\ \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{4} + \pi .\end{array}\)
Câu 260: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(y = {x^3},y = 2 - {x^2},x = 0.\) A. \( - \frac{{17}}{{12}}\) B. \(\frac{{12}}{{17}}\) C. 0 D. \(\frac{{17}}{{12}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({x^3} = 2 - {x^2} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) \( \Rightarrow S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} + {x^2} - 2} \right|} dx = \int\limits_0^1 {\left( { - {x^3} - {x^2} + 2} \right)} dx = \left. {\left( { - \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3} + 2x} \right)} \right|_0^1 = \frac{{17}}{{12}}.\)
