Câu 261: Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x\), biết rằng \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\pi .\) A. \(F\left( x \right) = \sin x + 2\pi \) B. \(F\left( x \right) = 2x + 2\pi \) C. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\sin 2x + 2\pi \) D. \(F\left( x \right) = x + \sin 2x + \frac{{3\pi }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án \(\int {\cos 2xdx = \frac{{\sin 2x}}{2} + C} \) \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{\sin \pi }}{2} + C = 2\pi \Rightarrow C = 2\pi \) \( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{2}\sin 2x + 2\pi .\)
Câu 262: Biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{3x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}}} dx = 3\ln \frac{a}{b} - \frac{5}{6}\) trong đó a, b nguyên dương và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Hãy tính ab. A. \(ab = 6\) B. \(ab = - 5\) C. \(ab = 12\) D. \(ab = \frac{5}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(u = x + 3 \Rightarrow x = u - 3 \Rightarrow du = dx\) Đổi cận: \( x = 0 \Rightarrow u = 3;x = 1 \Rightarrow u = 4 \) Ta có:\(\int\limits_0^1 {\frac{{3x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}}} dx = \int\limits_3^4 {\frac{{3u - 10}}{{{u^2}}}} du\) \( = \int\limits_3^4 {\left( {\frac{3}{u} - \frac{{10}}{{{u^2}}}} \right)du = \left( {3\ln \left| u \right| + \frac{{10}}{u}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4\\0\end{array}} \right.} = 3\ln \frac{4}{3} - \frac{5}{6}\) . Suy ra \(a = 4;b = 3 \Rightarrow a.b = 12.\)
Câu 263: Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước giống như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá \(1{m^2}\) của rào sắt là 700.000 đồng. Hỏi Ông An phải trả baonhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn). A. 6.320.000 đồng B. 6.620.000 đồng C. 6.520.000 đồng D. 6.417.000 đồng Spoiler: Xem đáp án Diện tích hình chữ nhật là \({S_1} = AB.BC = 5.1,5 = 7,5\) \(\left( {{m^2}} \right)\) Gọi đường cong parabol có phương trình \(y = a{x^2} + bx + C\) Đường cong có đỉnh \(I\left( {0;2} \right)\) suy ra: \(b = 0,c = 2 \Rightarrow y = a{x^2} + 2\) Đường cong đi qua điểm: \(C\left( {\frac{5}{2};\frac{5}{3}} \right) \Rightarrow a = - \frac{2}{{25}} \Rightarrow y = - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2\) Phần diện tích tạo bởi parabol và đường thẳng \(y = 1,5\) là: \({S_2} = \int\limits_{ - 2,5}^{2,5} {\left( {\frac{{ - 2}}{{25}}{x^2} + 0,5} \right)dx = \frac{5}{3}} \) \( \Rightarrow S = {S_1} + {S_2} = \frac{{55}}{6} \Rightarrow T = \frac{{55}}{6}.700000 \approx 6417000\) đồng
Câu 264: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = f\left( x \right),\)trục hoành, các đường thẳng \(x = a,x = b\) là: A. \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) {f\left( x \right)} dx\) B. \( - \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) C. \(\int\limits_b^a {f\left( x \right)} dx\) D. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx\) Spoiler: Xem đáp án Diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đường cong \(y = f\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a,x = b\) là \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx.\)
Câu 265: Cho \(\int\limits_0^9 {f\left( x \right)} dx = 9\). Tính \(\int\limits_0^3 {f\left( {3x} \right)dx} .\) A. \(\int\limits_0^3 {f\left( {3x} \right)dx} = 1\) B. \(\int\limits_0^3 {f\left( {3x} \right)dx} = - 3\) C. \(\int\limits_0^3 {f\left( {3x} \right)dx} = 3\) D. \(\int\limits_0^3 {f\left( {3x} \right)dx} = 27\) Spoiler: Xem đáp án Tính \(I = \int\limits_0^3 {f\left( {3x} \right)} dx\). Đặt \(t = 3x \Rightarrow dt = 3dx \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{3};x = 0 \Rightarrow t = 0;x = 3 \Rightarrow t = 9\) \( \Rightarrow I = \frac{1}{3}\int\limits_0^9 {f\left( t \right)} dt = \frac{1}{3}\int\limits_0^9 {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{3}.9 = 3\)
Câu 266: Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên bởi phép quay xung quanh trục Ox của một hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{x - 1}}{x},y = \frac{1}{x},x = 1.\) A. \(\pi \left( {2\ln 2 - 1} \right)\) B. \(\pi \left( {1 - 2\ln 2} \right)\) C. 0 D. \( - \pi \) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{x}\) và \(y = \frac{1}{x}:\) \(\frac{{x - 1}}{x} = \frac{1}{x} \Leftrightarrow x = 2\) . Thể tích vật thể \(V = \pi \int\limits_1^2 {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|} dx = \pi \int\limits_1^2 {\left| {{{\left( {\frac{{x - 1}}{x}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{1}{x}} \right)}^2}} \right|} dx\) \( = \pi \int\limits_1^2 {\left| {\left( {\frac{{x - 2}}{x}} \right)} \right|} dx = \pi \left( {2\ln 2 - 1} \right)\)
Câu 267: Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sin \left( {\frac{\pi }{3} + \frac{x}{2}} \right)\)và \(F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 1.\) Tính F(0)? A. \(F(0) = 1.\) B. \(F(0) = 2.\) C. \(F(0) = 0.\) D. \(F(0) = - 1.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(F\left( x \right) = \int {\sin \left( {\frac{\pi }{3} + \frac{x}{2}} \right)} dx = - 2\cos \left( {\frac{\pi }{3} + \frac{x}{2}} \right) + C.\) Mà \(F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow F\left( 0 \right) = - 2.\frac{1}{2} + 1 = 0.\)
Câu 268: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^{2x + 1}}.\) A. \(F\left( x \right) = \frac{{{2^{2x}}}}{{\ln 2}} + C.\) B. \(F\left( x \right) = \frac{{{2^{2x - 1}}}}{{\ln 2}} + C.\) C. \(F\left( x \right) = - \frac{{{2^{2x}}}}{{\ln 2}} + C.\) D. \(F\left( x \right) = \frac{{{2^{2x + 1}}}}{{\ln 2}} + C.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f\left( x \right) = {2^{2x + 1}} \Rightarrow \int {f\left( x \right)} dx = \int {{2^{2x + 1}}} dx = \frac{{{2^{2x + 1}}}}{{2.\ln 2}} + C = \frac{{{2^{2x}}}}{{\ln 2}} + C.\)
Câu 269: Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản người ta phát hiện ra quy luật nó chuyển động trong nước yên lặng là \(s = - \frac{{{t^2}}}{{10}} + 4t,\) với t (giờ) là khoảng thời gian tính từ lúc cá bắt đầu chuyển động và s (km) là quảng đường cá bơi được trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con cá hồi đó vào một dòng sông có vận tốc dòng nước chảy là 2km/h Tính khoảng cách xa nhất mà con cá hồi đó có thể bơi ngược dòng nước đến nơi đẻ trứng. A. \(8km.\) B. \(30km.\) C. \(20km.\) D. \(10km.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(v = s'(t) = 4 - \frac{t}{5} \Rightarrow \) vận tốc của cá bơi ngược dòng là \(v(t) = 4 - \frac{t}{5} = 2 - \frac{t}{5}.\) Quãng đường xa nhất mà cá bơi ngược dòng là \(S = \int\limits_0^{10} {v(t)} dt = \int\limits_0^{10} {\left( {2 - \frac{t}{5}} \right)} dt = 10km.\)
Câu 270: Biết \(I = \int\limits_0^1 {\ln (3x + 1)dx = a\ln 2 + b,} \)(với \(a,b \in \mathbb{Q}).\) Tính S=3a-b. A. \(S = 7.\) B. \(S = 11.\) C. \(S = 8.\) D. \(S = 9.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int\limits_0^1 {\ln (3x + 1)dx} = x\ln (3x + 1)\left| \begin{array}{l}^1\\{}_0\end{array} \right. - \int\limits_0^1 {x.\frac{3}{{3x + 1}}} dx = \ln 4 - \left( {x - \frac{1}{3}\ln (3x + 1)} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\{}_0\end{array} \right.\) \( = \ln 4 - 1 + \frac{1}{3}\ln 4 = \frac{4}{3}\ln 4 - 1 = \frac{8}{3}\ln 2 - 1 \Rightarrow a = \frac{8}{3};b = - 1 \Rightarrow S = 3a - b = 9.\)
