Câu 271: Nếu đặt \(t = x + \sqrt {{x^2} + 16} \) thì tích phân \(I = \int\limits_0^3 {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 16} }}} \) trở thành kết quả nào sau đây? A. \(I = \int\limits_4^8 {\frac{{dt}}{t}} .\) B. \(I = \int\limits_4^8 {tdt} .\) C. \(I = \int\limits_4^5 {\frac{{dt}}{t}} .\) D. \(I = \int\limits_4^5 {\ln t.dt} .\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = x + \sqrt {{x^2} + 16} \Rightarrow dt = \left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 16} }}} \right)dx = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 16} }}{{\sqrt {{x^2} + 16} }}dx.\) Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 4\\x = 3 \Rightarrow t = 8\end{array} \right.\) Khi đó \(I = \int\limits_4^8 {\frac{{dt}}{t}} .\)
Câu 272: Sân trường có một bồn hoa hình tròn có tâm O. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường Parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O. Hai đường Parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m (như hình vẽ). Phần diện tích \({S_1},{S_2}\) dùng để trồng hoa, phần diện tích \({S_3},{S_4}\) dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).Biết kinh phí để trồng hoa là 150000 đồng/1m2, kinh phí để trồng cỏ là 100000 đồng/1m2. Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn). A. 6.060.000 đồng. B. 5.790.000 đồng. C. 3.270.000 đồng D. 3.000.000 đồng. Spoiler: Xem đáp án Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ \(O(0;0);A( - 2;2);B(2;2)\) Khi đó phương trình Parabol phía trên có dạng là: \((P):y = a{x^2}\) trong đó \(B(2;2) \in (P) \Rightarrow a = \frac{1}{2}.\) Suy ra \((P):y = \frac{{{x^2}}}{2}.\) Phương trình cung tròn nằm trên phía trục Ox là \(y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} = \sqrt {O{A^2} - {x^2}} = \sqrt {{8^2} - {x^2}} \) Khi đó \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} dx\) Diện tích hình tròn là \(S = \pi {R^2} = \pi O{A^2} = 8\pi \) Ta có: \(T = 150.2{S_1} + 100.(S - 2{S_1})\) \(T = 150.2{S_1} + 100.(S - 2{S_1}) \approx 3.270\) (nghìn đồng).
Câu 273: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) và \(2F\left( a \right) - 1 = 2F\left( b \right).\) Tính \(I = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx.\) A. \(I = - 1.\) B. \(I = 1.\) C. \(I = - 0,5.\) D. \(I = 0,5.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(I = \int\limits_a^b {f(x)dx} = F(b) - F(a) = \frac{{2F(b) - 2F(a)}}{2} = \frac{{ - 1}}{2}.\)
Câu 274: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - x}}{{x + 1}},\) trục \({\rm{Ox}}\) và đường thẳng x=1 khi quay quanh trục Ox là \(V = \pi (a + b\ln 2)\) với \(a,b \in \mathbb{Q}.\) Tính tích a.b. A. \(a.b = 3.\) B. \(a.b = \frac{{ - 4}}{3}.\) C. \(a.b = \frac{4}{3}.\) D. \(a.b = - 3.\) Spoiler: Xem đáp án Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{ - x}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) Ta có: \( V = \pi {\int\limits_0^1 {\left( {\frac{{ - x}}{{x + 1}}} \right)} ^2}dx = \pi {\int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)} ^2}dx = \pi \int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{2}{{x + 1}} + \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}} \right)} dx = \pi \left. {\left( {x - 2\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{{x + 1}}} \right)} \right|_0^1 \) \( = \left( {\frac{3}{2} - 2\ln 2} \right)\pi \) Do đó \(a.b = - 3.\)
Câu 275: Giả sử \(\int\limits_1^5 {\frac{{dx}}{{2x - 1}}} = \ln c.\) Tìm c. A. c=9 B. c=3 C. c=81 D. c=8 Spoiler: Xem đáp án \(I = \int_1^5 {\frac{{dx}}{{2x - 1}} = \left. {\frac{1}{2}\ln |2x + 1|} \right|_1^5 = \frac{1}{2}\ln 9 = \ln 3} .\)
Câu 276: Tìm số dương a sao cho \(\int\limits_0^a {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} {\rm{d}}x = \frac{{{a^2}}}{2} + a + \ln 3.\) A. a=5 B. a=4 C. a=3 D. a=2 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \( \int_0^a {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}dx} = \int_0^a {[(x + 1) + \frac{1}{{x + 1}}]dx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x + \ln |x + 1|} \right)} \right|_0^a = \frac{{{a^2}}}{2} + a + \ln (a + 1)} .\) Suy ra a=2.
Câu 277: Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = (2 - x){e^{\frac{x}{2}}}\) và hai trục tọa độ. A. \(V = 2{e^2} - 10\) B. \(V = 2{e^2} + 10\) C. \(V = \pi (2{e^2} - 10)\) D. \(V = \pi \left( {2{e^2} + 10} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành: \((2 - x){e^{\frac{x}{2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2\) Vậy thể tích khối tròn xoay là: \(V = \pi \int_0^2 {{{[(2 - x){e^{\frac{x}{2}}}]}^2}} = \pi \int_0^2 {{{(2 - x)}^2}{e^x}dx} = \pi (2{e^2} - 10).\)
Câu 278: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 2\) và đường thẳng y = 3x A. \(1\) B. \(\frac{1}{4}\) C. \(\frac{1}{6}\) D. \(\frac{1}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} + 2 = 3x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 2 \end{array} \right.\) Vậy diện tích hình phẳng cần tính là: \(\begin{array}{l} S = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} + 2 - 3x} \right|dx} = \int_1^2 {(3x - {x^2} - 2)dx} \\ = \frac{{3{x^2}}}{2} - \left. {\frac{{{x^3}}}{3} - 2x} \right|_1^2 = \frac{{ - 2}}{3} + \frac{5}{6} = \frac{1}{6}. \end{array}\).
Câu 279: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt[3]{{3x + 1}}.\) A. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{4}(3x + 1)\sqrt[3]{{3x + 1}} + C}\) B. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}\sqrt[3]{{3x + 1}} + C}\) C. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}(3x + 1)\sqrt[3]{{3x + 1}} + C}\) D. \(\int {f(x)dx = \sqrt[3]{{3x + 1}} + C}\) Spoiler: Xem đáp án Xét nguyên hàm: \(\int {\sqrt[3]{{3x + 1}}dx}\) Đặt \(t = \sqrt[3]{{3x + 1}} \Rightarrow {t^3} = 3x + 1 \Rightarrow 3{t^2} = 3dx\) Suy ra: \(\begin{array}{l} \int {\sqrt[3]{{3x + 1}}dx} = \int {{t^2}.tdt} = \frac{1}{4}{t^4} + C\\ = \frac{1}{4}\sqrt[3]{{{{(3x + 1)}^4}}} + C = \frac{1}{4}(3x + 1)\sqrt[3]{{3x + 1}} + C. \end{array}\)
Câu 280: Tính tích phân: \(I = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }}} {\rm{d}}x.\) A. \(I = \frac{1}{6} - \ln 2\) B. \(I = 2\ln 2 - \frac{5}{3}\) C. \(I = \frac{{4 - 2\sqrt 2 }}{3}\) D. \(I = \ln 2 - \frac{1}{6}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\sqrt {x + 1} = t \Rightarrow x = {t^2} - 1 \Rightarrow dx = 2tdt\) Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 1;x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2\) \(\Rightarrow \int\limits_0^1 {\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }}dx = \int\limits_1^{\sqrt 2 } {\frac{{{t^2} - 1}}{t}2t.dt = \int\limits_1^{\sqrt 2 } {2({t^2} - 1)dt} } }\) \(\left. { = \frac{{2{t^3}}}{3} - 2t} \right|_1^{\sqrt 2 } = \frac{{4\sqrt 2 }}{3} - 2\sqrt 2 - \frac{2}{3} + 1 = \frac{{4 - 2\sqrt 2 }}{3}.\)
