Câu 281: Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {2{e^x}{\rm{d}}x} .\) A. \(I = 2e + 1\) B. \(I = 2e -2\) C. \(I = 2e\) D. \(I = 2e-1\) Spoiler: Xem đáp án \(I = \left. {\int\limits_0^1 {2{e^x}dx = 2{e^x}} } \right|_0^1 = 2e - 2.\)
Câu 282: Giả sử \( \int\limits_1^2 {(2x - 1)\ln xdx} = a\ln 2 + b, (a,b \in \mathbb{Q}) \). Tính tổng $S=a+b$. A. \(S=\frac{5}{2}\) B. S=2 C. S=1 D. \(S=\frac{3}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = \ln x}\\ {dv = (2x - 1)dx} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = \frac{{dx}}{x}}\\ {v = {x^2} - x} \end{array}} \right.} \right.\) \(\Rightarrow I = \int\limits_1^2 {(2x - 1)\ln xdx = } \left. {({x^2} - x)\ln x} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {(x - 1)dx}\) \(\Leftrightarrow I = \left. {({x^2} - x)\ln x} \right|_1^2 - \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^2 = 2\ln 2 - \frac{1}{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 2}\\ {b = - \frac{1}{2}} \end{array}} \right.\) \(\Rightarrow a + b = \frac{3}{2}\)
Câu 283: Cho \(f(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {2\sqrt {{x^2} + 1} + 5} \right)\) biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn F(0) = 6. Tính \(F\left( {\frac{3}{4}} \right).\) A. \(F\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{{125}}{{16}}\) B. \(F\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{{126}}{{16}}\) C. \(F\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{{123}}{{16}}\) D. \(F\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{{127}}{{16}}\) Spoiler: Xem đáp án \(I = \int\limits_0^{\frac{3}{4}} {f(x)dx} = \int\limits_0^{\frac{3}{4}} {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {2\sqrt {{x^2} + 1} + 5} \right)dx}\) Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \Rightarrow tdt = xdx \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0,t = 1}\\ {x = \frac{3}{4},t = \frac{5}{4}} \end{array}} \right.\) \(\Rightarrow I = \int\limits_1^{\frac{5}{4}} {(2t + 5)dt = \left. {\left( {{t^2} + 5t} \right)} \right|_1^{\frac{5}{4}}} = \frac{{29}}{{16}}\) Mặt khác \(I = F\left( {\frac{3}{4}} \right) - F(0) = F\left( {\frac{3}{4}} \right) - 6 = \frac{{29}}{{16}} \Rightarrow F\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{{125}}{{16}}.\)
Câu 284: Cho f, g là hai hàm số liên tục trên đoạn [1,3] thỏa mãn \(\int\limits_1^3 {\left[ {f(x) + 3g(x)} \right]dx} = 10\)và \(\int\limits_1^3 {\left[ {2f(x) - g(x)} \right]dx} = 6\).Tính \(I = \int\limits_1^3 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} .\) A. I=8 B. I=9 C. I=6 D. I=7 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\int\limits_1^3 {\left[ {f(x) + 3g(x)} \right]dx = 10} }\\ {\int\limits_1^3 {\left[ {2f(x) - g(x)} \right]dx = 6} } \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\int\limits_1^3 {f(x)dx} + 3\int\limits_1^3 {g(x)dx} = 10}\\ {2\int\limits_1^3 {f(x)dx} - \int\limits_1^3 {g(x)dx} = 6} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\int\limits_1^3 {f(x)dx} = 4}\\ {\int\limits_1^3 {g(x)dx} = 2} \end{array}} \right.\) Suy ra \(\int\limits_1^3 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} = \int\limits_1^3 {f(x)dx} + \int\limits_1^3 {g(x)dx} = 6\)
Câu 285: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay hình (H) quanh Ox với (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {4x - {x^2}}\) và trục hoành. A. \(V = \frac{{35\pi }}{3}\) B. \(V = \frac{{31\pi }}{3}\) C. \(V = \frac{{32\pi }}{3}\) D. \(V = \frac{{34\pi }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm là \(\sqrt {4x - {x^2}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 4} \end{array}} \right.\) Ta có \(x \in (0;4) \Rightarrow \sqrt {4x - {x^2}} > 0\) Suy ra thể tích cần tính bằng \(S = \pi {\int\limits_0^4 {\left( {\sqrt {4x - {x^2}} } \right)} ^2}dx = \pi \left. {\left( {2{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^4 = \frac{{32\pi }}{3}\)
Câu 286: Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol) A. $19 m^3$ B. $21m^3$ C. $18m^3$ D. $40m^3$ Spoiler: Xem đáp án Diện tích mặt cắt là diện tích phần gạch chéo như hình trên. Parabol nằm trên có phương trình \(y = a{x^2} + \frac{5}{2}\)là do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 10}\\ {y = 0} \end{array}} \right. \Rightarrow a = - \frac{1}{{40}} \Rightarrow y = \frac{{ - {x^2}}}{{40}} + \frac{5}{2}\) Tương tự: Parabol nằm dưới có phương trình là \(y = \frac{{ - 8}}{{361}}{x^2} + 2\) Khi đó: \(\int\limits_{ - 10}^{10} {\left( { - \frac{{{x^2}}}{{40}} + \frac{5}{2}} \right)} dx - \int\limits_{ - 9,5}^{9,5} {\left( { - \frac{8}{{361}}{x^2} + 2} \right)} dx = 8 \Rightarrow V = 8.5 = 40{m^3}\)
Câu 287: Khẳng định nào sau đây là sai? A. \(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx = \int {f(x)dx + \int {g(x)dx} } }\) B. \(\int\limits_b^a {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx + \int\limits_c^b {f(x)dx} } } ,a < c < b\) C. \(\int {f(x).g(x)dx = } \int {f(x)dx.\int {g(x)dx} }\) D. \(\int {f'(x)dx = f(x) + C}\) Spoiler: Xem đáp án A, B, D đều là tính chất của nguyên hàm đã được trình bày trong SGK Giải tích 12. Nguyên hàm không có tính chất \(\int {f(x).g(x)dx = } \int {f(x)dx.\int {g(x)dx} } .\)
Câu 288: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x - \sin 2x.\) A. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \sin x + C\) B. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \cos 2x + C\) C. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x + C\) D. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{2}\sin 2x + C\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int {(x - \sin 2x)dx = \frac{{{x^2}}}{2}} + \frac{1}{2}\cos 2x + C\)
Câu 289: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (E) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\left( {a,b > 0} \right)\) và đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 7.\) Biết diện tích elip (E) gấp 7 lần diện tích hình tròn (C). Tính tích ab. A. \(ab=7\) B. \(ab=7\sqrt{7}\) C. \(ab=\sqrt{7}\) D. \(ab=49\) Spoiler: Xem đáp án .\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\left( {a,b > 0} \right) \Rightarrow y = \frac{b}{a}\sqrt {{a^2} - {x^2}}\) Diện tích (E) là: \({S_{\left( E \right)}} = 4\int\limits_0^a {\frac{{b\sqrt {{a^2} - {x^2}} {\rm{d}}x}}{a}} = 4\frac{b}{a}\int\limits_0^a {\sqrt {{a^2} - {x^2}} {\rm{d}}x}\) Đặt \(x = a\sin {\rm{t}},\,\,{\rm{t}} \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow {\rm{d}}x = a\cos {\rm{tdt}}\). Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow {\rm{t}} = 0;\,x = a \Rightarrow {\rm{t}} = \frac{\pi }{2}\) \({S_{\left( E \right)}} = 4\frac{b}{a}\int\limits_0^a {{{\rm{a}}^2}{\rm{.co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{tdt}}} = 2ab\int\limits_0^a {\left( {{\rm{1 + cos2t}}} \right){\rm{dt}}} = \pi ab\) Mà ta có \({S_{\left( C \right)}} = \pi .{R^2} = 7\pi .\) Theo giả thiết ta có \({S_{\left( E \right)}} = 7.{S_{\left( C \right)}} \Leftrightarrow \pi ab = 49\pi \Leftrightarrow ab = 49.\)
Câu 290: Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường \(y=2^x\), \(y=1\), \(y=-x+3\). A. \(S = \frac{1}{{\ln 2}} + 1.\) B. \(S = \frac{1}{{\ln 2}} - \frac{1}{2}.\) C. \(S = \frac{{47}}{{50}}.\) D. \(S = \frac{1}{{\ln 2}} + 3.\) Spoiler: Xem đáp án Pt hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=2^x\) với đường thẳng y=1 là: \({2^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0.\) Pt hoành độ giao điểm của đường thẳng y=-x+3 với đường thẳng y=1 là: \(- x + 3 = 1 \Leftrightarrow x = 2.\) Pt hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng y=-x+3 là: \({2^x} = - x + 3 \Leftrightarrow x = 1.\) Ta có diện tích hình phẳng là phần tô đậm ở hình vẽ bên. Khi đó: \(I = \int\limits_0^1 {\left( {{2^x} - 1} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( { - x + 3 - 1} \right)dx}\) \(= \left. {\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - x} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{ - {x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^2 = \frac{1}{{\ln 2}} - 1 + \frac{1}{2} = \frac{1}{{\ln 2}} - \frac{1}{2}.\)
