Câu 21: Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }}} dx.\) A. \(\frac{4}{3}\) B. \(\frac{2}{3} + 2\sqrt 3 \) C. \(2\sqrt 3 - \frac{2}{3}\) D. \( - \frac{4}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Sử dụng máy tính cầm tay suy ra kết quả \(I = \frac{4}{3}\) Hoặc dùng phương pháp tích phân từng phần. (Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \frac{{dx}}{{\sqrt {x + 1} }}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = 2\sqrt {x + 1} \end{array} \right.\) )
Câu 22: Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên \(\mathbb{R}\) thoả mãn \(I = \int\limits_0^3 {f(x)} dx = 6.\) Tính \(J = \int\limits_{ - 3}^3 {f(x)dx.} \) A. 0 B. 3 C. 6 D. 12 Spoiler: Xem đáp án Vì f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên ta có: \(\int\limits_{ - 3}^0 {f(x)} dx = \int\limits_0^3 {f(x)} dx.\) Vậy \(J = \int\limits_{ - 3}^3 {f(x)} dx = \int\limits_{ - 3}^0 {f(x)} dx + \int\limits_0^3 {f(x)} dx = \int\limits_0^3 {f(x)} dx + \int\limits_0^3 {f(x)} dx = 12\)
Câu 23: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. \(\int {0dx = C.} \) B. \(\int {{e^x}} dx = {e^x} + C.\) C. \(\int {\frac{1}{x}} dx = \ln x + C.\) D. \(\int {dx = x + C.} \) Spoiler: Xem đáp án Từ bảng nguyên hàm suy ra khẳng định sai cần chọn là: \(\int {\frac{1}{x}} dx = \ln x + C.\) (Vì thiếu dấu giá trị tuyệt đối).
Câu 24: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sin 3x.\) A. \(\int {f(x)dx = - 3\cos 3x + C.} \) B. \(\int {f(x)dx = \frac{{ - 1}}{3}\cos 3x + C.} \) C. \(\int {f(x)dx = - \cos 3x + C.} \) D. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}\cos 3x + C.} \) Spoiler: Xem đáp án Tính nguyên hàm của hàm đã cho suy ra đáp án \(\int {\sin 3xdx = \frac{1}{3}} \int {\sin 3x\,d(3x) = - } \frac{1}{3}{\rm{cos3x + C}}{\rm{.}}\)
Câu 25: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = \cos 2x,\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {f\left( x \right)} dx\) bằng: A. 2 B. -2 C. \(\frac{1}{2}\) D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {f\left( { - x} \right)} dx = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {\cos 2xdx = \frac{1}{2}\int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {\cos 2xd\left( {2x} \right)} = \frac{1}{2}\sin 2x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{6}}\\{ - \frac{\pi }{6}}\end{array}} \right.} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) Đặt \(t = - x \Rightarrow dt = - dx \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{\pi }{6},t = \frac{\pi }{6}}\\{x = \frac{\pi }{6},t = - \frac{\pi }{6}}\end{array}} \right. \Rightarrow \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {f\left( { - x} \right)dx = - \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{ - \frac{\pi }{6}} {f\left( t \right)dt} } \) \( = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {f\left( t \right)dt = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {f\left( x \right)} dx} \) Suy ra \(\int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {f\left( { - x} \right)dx} = 2\int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {f\left( x \right)} d = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {f\left( x \right)} dx = \frac{{\sqrt 3 }}{4}.\)
Câu 26: Tập nghiệm của bất phương trình \(\int\limits_0^x {t.e2t} dt \le \frac{1}{4}\) là: A. \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\) B. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right]\) C. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)\) D. \(\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = t}\\{dv = {e^{2t}}dt}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dt}\\{v = \frac{1}{2}{e^{2t}}}\end{array} \Rightarrow \int\limits_0^x {t.{e^{2t}}dt} = \left( {\frac{t}{2}{e^{2t}}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}x\\0\end{array}} \right. - \frac{1}{2}\int\limits_0^x {{e^{2t}}dt} } \right. = \left( {\frac{t}{2}{e^{2t}}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}x\\0\end{array}} \right. - \frac{1}{4}{e^{2t}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}x\\0\end{array}} \right.} \right.\) Suy ra \(\int\limits_0^x {t.e2t} dt \le \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{{{e^{2x}}}}{4}\left( {2x - 1} \right) + \frac{1}{4} \le \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{{{e^{2x}}}}{4}\left( {2x - 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow 2x - 1 \le 0 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow S = \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right].\)
Câu 27: Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Ox cuả hình phẳng giới hạn bởi các trục tọa độ và các đường \(y = \sqrt {x - 1} ,y = 2\) là: A. \(9\pi \) B. \(16\pi \) C. \(15\pi \) D. \(12\pi \) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm \(\sqrt {x - 1} = 2 \Leftrightarrow x = 5\). Vật thể tròn xoay được tạo thành bởi hình được tô đậm khi quay quanh trục hoành. Ta có: \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{2^2} - {0^2}} \right|dx + \int\limits_1^5 {\left| {{2^2} - \left( {x - 1} \right)} \right|} dx = 12\pi } .\)
Câu 28: Khuân viên của một trường học có dạng là hình chữ nhật có kích thước 20m và 10m. Nhà trường thuê người tiến hành trồng cỏ và lát đá để tạo mĩ quan cho cổng trường. Cỏ được trồng theo hình elip nội tiếp hình chữ nhật, phần đất trống còn lại lát đá. Biết kinh phí trồng cỏ 500.000 đồng/1\({m^2}\)và lát đá 300.000 đồng/1\({m^2}.\)Hỏi tổng số tiền nhà trường bỏ ra để cải tạo khuân viên? (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.) A. 91.426.000(đồng). B. 78.539.000 (đồng). C. 78.540.000 (đồng). D. 91.416.000 (đồng). Spoiler: Xem đáp án Vì hình elip có tính chất đối xứng, chọn hệ trục Oxy như hình bên ta có diện tích hình elip: \({S_1} = 4\int\limits_0^{10} {5\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{100}}dx} } = 2\int\limits_0^{10} {\sqrt {100 - {x^2}} dx = 50\pi } \) Diện tích phần lát đá: \({S_2} = 200 - 50\pi \) Vậy tổng tiền: \(\left( {200 - 50\pi } \right).300000 + 50\pi .500000 \approx 91.416.000\) (đồng).
Câu 29: Một ô tô đang chạy với vận tốc \({v_0}\left( {m/s} \right)\) thì người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = - 5t + {v_0}\left( {m/s} \right),\) trong đó t là thời gian (tính bằng giây) kể từ lúc đạp phanh. Tính \({v_0}\) biết rằng từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn ô tô đi được 40 mét. A. \({v_0} = 10\left( {m/s} \right).\) B. \({v_0} = 20\left( {m/s} \right).\) C. \({v_0} = 30\left( {m/s} \right).\) D. \({v_0} = 40\left( {m/s} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Xe dừng hẳn khi \(v\left( t \right) = - 5t + {v_0} = 0 \Rightarrow t = \frac{{{v_0}}}{5}\left( s \right).\) Ta có \(\int\limits_0^{\frac{{{v_0}}}{5}} {\left( { - 5t + {v_0}} \right)dt} = \left. {\left( {{v_0}t - \frac{5}{2}{t^2}} \right)} \right|_0^{\frac{{{v_0}}}{2}} = \frac{{v_0^2}}{5} - \frac{5}{2}{\left( {\frac{{{v_0}}}{5}} \right)^2} = 40 \Rightarrow {v_0} = 20\left( {m/s} \right).\)
Câu 30: Cho D là miền phẳng giới hạn bởi các đường:\(y = f(x) = \frac{1}{{1 + {x^2}}}\); \(y = g(x) = \frac{{{x^2}}}{2}\). Tính thể tích khối tròn xoay thu được tạo thành khi quay D quanh trục Ox? Thể tích được viết dưới dạng \(T = m{\pi ^2} + n\pi \,(m,n \in \mathbb{R}).\) Tính tổng giá trị \(m + n\) là? A. \(\frac{1}{2}\) B. \(\frac{{13}}{{20}}\) C. \(\frac{2}{5}\) D. \(\frac{3}{5}\) Spoiler: Xem đáp án Xét phương trình \(\frac{1}{{1 + {x^2}}} = \frac{{{x^2}}}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\) Như vậy, thể tích cần tìm sẽ được tính theo công thức: \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right|} dx\) \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{{\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}}} \right)}^2} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right|} dx = \pi \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{1}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}dx} - \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^4}}}{4}} dx} \right|\) \(\pi \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{1}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}dx} - \left. {\frac{{{x^5}}}{{20}}} \right|_{ - 1}^1} \right| = \pi \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{1}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}dx} - \frac{1}{{10}}} \right|\) \(V = \pi \left| {I - \frac{1}{{10}}} \right|\) với \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{1}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}dx} \) Tính I: Đặt \(x = \tan t,t \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) \(dx = \frac{1}{{{{\cos }^2}t}}dt = (1 + {\tan ^2}t)dt\) Ta có thể viết I lại dưới dạng: \(I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{1 + {{\tan }^2}t}}{{{{\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)}^2}}}dt} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}tdt} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {(1 + \cos 2t)dt} \) \( \Rightarrow I = \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}V = \pi \left| {\frac{\pi }{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{{10}}} \right| = \frac{{{\pi ^2}}}{4} + \frac{{2\pi }}{5}.\)
