Câu 291: Xét tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {1 + \cos x} }}dx} .\) Đặt \(t = \sqrt {1 + \cos x} ,\) ta được kết quả nào sau đây? A. \(I = 4\int\limits_1^{\sqrt 2 } \left( {{x^2} - 1} \right)dx.\) B. \(I = \int\limits_{\sqrt 2 }^1 \frac{{4{t^3} - 4t}}{t}dt.\) C. \(I = - 4\int\limits_1^{\sqrt 2 } {\left( {{t^2} - 1} \right)dt.}\) D. \(I = \int\limits_{\sqrt 2 }^1 {\frac{{ - 4{t^3} + 4t}}{t}dt.}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(t = \sqrt {1 + \cos x} \Rightarrow {t^2} = 1 + \cos x \Rightarrow 2tdt = - \sin xdx\) Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = \sqrt 2 ;\,x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\) Khi đó: \(\begin{array}{l} I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {1 + \cos x} }}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2\sin x.\cos x}}{{\sqrt {1 + \cos x} }}dx} \\ = - \int\limits_{\sqrt 2 }^1 {\frac{{4t({t^2} - 1)}}{t}} dt = - \int\limits_{\sqrt 2 }^1 {4({t^2} - 1)dt} = 4\int\limits_1^{\sqrt 2 } {({t^2} - 1)dt.} \end{array}\)
Câu 292: Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol \((P): y=x^2\) và đường thẳng \((d): y=2x\) quay quanh trục Ox được tính bằng công thức nào sau đây? A. \(V = \pi \int\limits_0^2 {4{x^2}dx} - \pi \int\limits_0^2 {{x^4}dx} .\) B. \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}dx} .\) C. \(V = \pi \int\limits_0^2 {4{x^2}dx} + \pi \int\limits_0^2 {{x^4}dx} .\) D. \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx} .\) Spoiler: Xem đáp án PT hoành độ giao điểm \({x^2} = 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\) Do \(2x > {x^2},\forall x \in \left( {0;2} \right)\) Vậy thể tích khối tròn xoay là: \(V = \pi \int\limits_0^2 {\left( {4{x^2} - {x^4}} \right)dx} = \pi \int\limits_0^2 {4{x^2}dx} - \pi \int\limits_0^2 {{x^4}dx} .\)
Câu 293: Xét tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2{x^2} - 4} \right){e^{2x}}dx} .\) Nếu đặt \(u = 2{x^2} - 4,\,\,dv = {e^{2x}}dx,\) ta được tích phân \(I = \left. {\phi \left( x \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {2x{e^{2x}}dx} ,\)trong đó: A. \(\phi \left( x \right) = \left( {2{x^2} - 4} \right){e^{2x}}.\) B. \(\phi \left( x \right) = \left( {{x^2} - 2} \right){e^x}.\) C. \(\phi \left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {2{x^2} - 4} \right){e^x}.\) D. \(\phi \left( x \right) = \left( {{x^2} - 2} \right){e^{2x}}.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = 2{x^2} - 4\,\\ \,dv = {e^{2x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 4xdx\\ v = \frac{1}{2}{e^{2x}} \end{array} \right.\) Vậy: \(I = \left. {\left( {{x^2} - 2} \right){e^{2x}}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {2x{e^{2x}}dx}\) \(\Rightarrow \phi \left( x \right) = \left( {{x^2} - 2} \right){e^{2x}}.\)
Câu 294: Hàm số \(F\left( x \right) = 3{x^4} + \sin x + 3\) là nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A. \(f\left( x \right) = 12{x^3} - \cos x.\) B. \(f\left( x \right) = 12{x^3} + \cos x.\) C. \(f\left( x \right) = 12{x^3} + \cos x + 3x.\) D. \(f\left( x \right) = 12{x^3} - \cos x + 3x.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(F\left( x \right) = 3{x^4} + \sin x + 3 \Rightarrow f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 12{x^3} + \cos x.\)
Câu 295: Khẳng định nào sau đây là sai? A. \(\int \frac{1}{cos^2x} = tan x + C.\) B. \(\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}.e^{3x}+C\) C. \(\int \frac{1}{x}dx = ln x + C.\) D. \(\int \sin 2xdx = - \frac{1}{2}\cos 2x + C\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào các đáp án, ta có các nhận xét sau: \(\int \frac{1}{cos^2x}dx=tanx +C, \int e^{3x}dx =\frac{1}{3}e^{3x}+C, \int sin2x dx=-\frac{1}{2}cos2x + C\) \(\int \frac{dx}{x} = \ln \left| x \right| + C \Rightarrow\) đáp án C sai.
Câu 296: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C): y=f(x), trục hoành, hai đường thẳng x=a, x=b (như hình vẽ dưới đây). Giả sử \(S_D\) là diện tích của hình phẳng D. chọn công thức đúng trong các phương án A, B, C, D cho dưới đây? A. \({S_D} = - \int\limits_a^0 {f\left( x \right)dx + \int\limits_0^b {f\left( x \right)dx} }\) B. \({S_D} = \int\limits_a^0 {f\left( x \right)dx - \int\limits_0^b {f\left( x \right)dx} }\) C. \({S_D} = \int\limits_a^0 {f\left( x \right)dx + \int\limits_0^b {f\left( x \right)dx} }\) D. \({S_D} = - \int\limits_a^0 {f\left( x \right)dx - \int\limits_0^b {f\left( x \right)dx} }\) Spoiler: Xem đáp án Do \(f\left( x \right) \le 0\left( {\forall x \in \left[ {a;0} \right]} \right)\) và \(f\left( x \right) \ge 0\left( {\forall x \in \left( {0;b} \right)} \right)\) Khi đó \({S_D} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx = \int\limits_a^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_0^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx = - \int\limits_a^0 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_0^b {f\left( x \right)} dx\)
Câu 297: Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R},a \ne 0} \right)\) có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y=4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số y=f’(x) cho bởi hình vẽ dưới đây: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành: A. \(S = \frac{{21}}{4}\) B. \(S = \frac{{27}}{4}\) C. \(S = 9\) D. \(S=\frac{5}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số y = f’(x) là đồ thị hàm số bậc hai, nhận Oy làm trục đối xứng nên \(f'(x) = a{x^2} + c\) Đồ thị hàm số y = f’(x) đi qua (0;–3); (–1;0) và (1;0) nên c = –3; a = 3. Khi đó \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)} dx = {x^3} - 3x + C\). Điều kiện đồ thị hàm số y=f(x) tiếp xúc với đường thẳng y=x là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x \right) = 4}\\ {f'\left( x \right) = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} - 3x + C = 4}\\ {3\left( {{x^2} - 1} \right) = 0} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1}\\ {C = 2} \end{array}} \right.\) (Do x<0) suy ra \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\left( C \right)\) Cho (C) cắt Ox tại các điểm có hoành độ \(x = - 2;x = 1\) Khi đó \(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {\left( {{x^3} - 3x + 2} \right)} \right|dx = \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {{x^3} - 3x + 2} \right)} dx = \frac{{27}}{4}} .\)
Câu 298: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\cos \frac{2}{x}.\) A. \(\int {\frac{1}{{{x^2}}}} \cos \frac{2}{x}dx = - \frac{1}{2}\sin \frac{2}{x} + C\) B. \(\int {\frac{1}{{{x^2}}}} \cos \frac{2}{x}dx = \frac{1}{2}\sin \frac{2}{x} + C\) C. \(\int {\frac{1}{{{x^2}}}} \cos \frac{2}{x}dx = \frac{1}{2}\cos \frac{2}{x} + C\) D. \(\int {\frac{1}{{{x^2}}}} \cos \frac{2}{x}dx = - \frac{1}{2}\cos \frac{2}{x} + C\) Spoiler: Xem đáp án Xét nguyên hàm: \(\int {\frac{1}{{{x^2}}}\cos \frac{2}{x}dx}\) Đặt \(t = \frac{2}{x} \Rightarrow dt = - \frac{2}{{{x^2}}}dx\) Vậy: \(\int {\frac{1}{{{x^2}}}\cos \frac{2}{x}dx} = - \frac{1}{2}\int {\cos tdt} = - \frac{1}{2}\sin t + C = - \frac{1}{2}\sin \frac{2}{x} + C.\)
Câu 299: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}}.\) A. \(\int {{e^{2x}}dx} = 2{e^{2x}} + C\) B. \(\int {{e^{2x}}dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C}\) C. \(\int {{e^{2x}}dx = {e^{2x}} + C}\) D. \(\int {{e^{2x}}dx = \frac{{{e^{2x + 1}}}}{{2x + 1}}} + C\) Spoiler: Xem đáp án Xét nguyên hàm \(\int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C.\)
Câu 300: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc \({v_1}\left( t \right) = 7t\left( {m/s} \right).\) Đi được 5(s), người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc \(a = - 70\left( {m/{s^2}} \right).\)Tính quãng đường S(m) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn. A. \(S = 94,00\left( m \right)\) B. \(S = 96,25\left( m \right)\) C. \(S = 87,50\left( m \right)\) D. \(S = 95,70\left( m \right)\) Spoiler: Xem đáp án Trong 5(s) đầu tiên \({v_1} = 7t\left( {m/s} \right) \Rightarrow {S_1} = \int\limits_0^5 {7tdt} = \frac{7}{2}{t^2} = \frac{7}{2}{.5^2} = 87,5\left( m \right)\) Kể từ khi phanh \({v_2} = - \int\limits_5^t {70} dt = - 70t + 35 \Rightarrow {v_2} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\) \(\Rightarrow {S_2} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( {35 - 70t} \right)dt} = \frac{{35}}{4}\left( m \right)\) Suy ra quãng đường ô tô đi được bằng \(S = {S_1} + {S_2} = 96,25\left( m \right).\)
