Câu 301: Biết rằng \(\int\limits_0^1 {3{e^{\sqrt {1 + 3x} }}} dx = \frac{a}{5}{e^2} + \frac{b}{2}e + c\left( {a,b,c \in\mathbb{R} } \right).\) Tính \(T = a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3}.\) A. \(T = 9\) B. \(T =10\) C. \(T =5\) D. \(T =6\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = \sqrt {1 + 3x} \Rightarrow {t^2} = 1 + 3x \Rightarrow 2tdt = 3dx \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0,t = 1}\\ {x = 1,t = 2} \end{array}} \right.\) \(\Rightarrow \int\limits_0^1 {3{e^{\sqrt {1 + 3x} }}dx} = I = 2\int\limits_1^2 {t.{e^t}} dt\) Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = t}\\ {dv = {e^t}dt} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dt}\\ {v = {e^t}} \end{array}} \right.} \right.\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow I = 2t.{e^t}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 1 \end{array}} \right. - 2\int\limits_1^2 {{e^t}dt} = 2t.{e^t}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 1 \end{array} - 2{e^t}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 1 \end{array}} \right.} \right. = 2{e^2}\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 10}\\ {b = 0}\\ {c = 0} \end{array}} \right. \Rightarrow T = 10 \end{array}\)
Câu 302: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(y = {x^2},y = 2x.\) A. \(S = \frac{{20}}{3}\) B. \(S = \frac{{3}}{4}\) C. \(S = \frac{{4}}{3}\) D. \(S = \frac{{3}}{20}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là \({x^2} = 2x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 2} \end{array}} \right.\) Khi đó, diện tích hình phẳng cần tính là \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx} = \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} } \right| = \left| {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 0 \end{array}} \right.} \right| = \frac{4}{3}.\)
Câu 303: Cho y=f(x) là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn [-6;6]. Biết rằng \(\int\limits_1^3 {f\left( {2x} \right)} dx = 3\) và \( \int\limits_{ - 1}^2 f\left( x \right)dx = 8\) . Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right)} dx =? \) A. I = 2 B. I = 5 C. I = 11 D. I = 14 Spoiler: Xem đáp án Ta có y=f(x) là hàm số chẵn nên f(2x)=f(-2x) suy ra \(\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right)} dx = \int\limits_1^3 {f\left( {2x} \right)} dx = 3\) Mặt khác: Xét tích phân: \(\int\limits_1^3 {f\left( {2x} \right)} dx\) Đặt: \(t = 2x \Rightarrow dt = 2dx\) Đổi cận: \(x = 1 \Rightarrow t = 2;\,\,x = 3 \Rightarrow t = 6.\) Nên: \(\int\limits_1^3 {f\left( {2x} \right)} dx = \frac{1}{2}\int\limits_2^6 {f\left( t \right)dt = } \frac{1}{2}\int\limits_2^6 {f\left( x \right)dx} = 3\)(Tích phân không phụ thuộc vào biến). \(\Rightarrow \int\limits_2^6 {f\left( x \right)} dx = 6.\) Vậy \(I = \int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx + \int\limits_2^6 {f\left( x \right)} } dx = 8 + 6 = 14\)
Câu 304: Trong Công viên Toán học có những mảnh đất hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là \(16{y^2} = {x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)\) như hình vẽ bên. Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét. A. \(S = \frac{{125}}{6}\left( {{m^2}} \right)\) B. \(S = \frac{{125}}{4}\left( {{m^2}} \right)\) C. \(S = \frac{{250}}{3}\left( {{m^2}} \right)\) D. \(S = \frac{{125}}{3}\left( {{m^2}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là \(x = 0;x = - 5;x = 5\) Dễ thấy diện tích mảnh đất Bernulli bao gồm diện tích 4 mảnh đất nhỏ bằng nhau. Xét diện tích s của mảnh đất nhỏ trong góc phần tư thứ nhất ta có: \(4y = x\sqrt {25 - {x^2}} ;x \in \left[ {0;5} \right] \Rightarrow s = \frac{1}{4}\int\limits_0^5 {x\sqrt {25 - {x^2}} } dx = \frac{{125}}{{12}}\) \(\Rightarrow S = 4.\frac{{125}}{{12}} = \frac{{125}}{3}\left( {{m^2}} \right).\)
Câu 305: Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x ,y = 0\) và x=4 quanh trục Ox. Đường thẳng x=a (0 tại M (hình vẽ bên). Gọi là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết rằng \(V = 2{V_1}\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(a = 2\sqrt 2\) B. \(a = \frac{5}{2}\) C. \(a = 2\) D. \(a = 3\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(V = \pi \int\limits_0^4 {xdx = \pi \frac{{{x^2}}}{2}} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 0 \end{array}} \right. = 8\pi \Rightarrow {V_1} = 4\pi\) Gọi N là giao điểm của đường thẳng x=a và trục hoành. Khi đó V1 là thể tích tạo được khi xoay hai tam giác OMN và MNH quanh trục Ox với N là hình chiếu của M trên OH. Ta có \({V_1} = \frac{1}{3}\pi a{\left( {\sqrt a } \right)^2} + \frac{1}{3}\pi \left( {4 - a} \right){\left( {\sqrt a } \right)^2} = \frac{4}{3}\pi a = 4\pi \Rightarrow a = 3.\)
Câu 306: Biết rằng \(\int\limits_0^1 {x\cos 2xdx = \frac{1}{4}\left( {a\sin 2 + b\cos 2 + c} \right)}\), với \(a,b,c \in \mathbb{Z}\) Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. \(a+b+c =1\) B. \(a-b+c =0\) C. \(a+2b+c =1\) D. \(2a+b+c =-1\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = x}\\ {dv = \cos 2xdx} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dx}\\ {v = \frac{{\sin 2x}}{2}} \end{array}} \right.\) . Khi đó \(I = \frac{{x.\sin 2x}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right. - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\sin 2xdx = \frac{{\sin 2}}{2} + \frac{1}{4}\cos 2x\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right.}\) \(= \frac{{\sin 2}}{2} + \frac{{\cos 2}}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\left( {2.\sin 2 + \cos 2 - 1} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 2}\\ {b = 1}\\ {c = - 1} \end{array}} \right. \Rightarrow a - b + c = 0.\)
Câu 307: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int\limits_1^e {\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}dx} = e.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = 1\) B. \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = e\) C. \(\int\limits_0^e {f\left( x \right)dx} = 1\) D. \(\int\limits_0^e {f\left( x \right)} dx = e\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t= \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow t = 0\\ x = e \Rightarrow t = 1 \end{array} \right.\) Vậy: \(\int\limits_1^e {\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}dx} = \int\limits_0^1 {f(t)dt} = \int\limits_0^1 {f(x)dx} = e\) (Do tích phân không phụ thuộc vào biến).
Câu 308: Biết rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số\(f\left( x \right) = \sin \left( {1 - 2x} \right)\) trên đoạn \(F\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\). Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. \(F\left( x \right) = - \frac{1}{2}\cos \left( {1 - 2x} \right) + \frac{3}{2}\) B. \(F\left( x \right) = \cos \left( {1 - 2x} \right)\) C. \(F\left( x \right) = \cos \left( {1 - 2x} \right) + 1\) D. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\cos \left( {1 - 2x} \right) + \frac{1}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(F\left( x \right) = \int {\sin \left( {1 - 2x} \right)} dx = \frac{1}{2}\cos \left( {1 - 2x} \right) + C.\) Mà \(F\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}\cos 0 + C = 1 \Rightarrow C = \frac{1}{2} \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{2}\cos \left( {1 - 2x} \right) + \frac{1}{2}.\)
Câu 309: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {f(x)dx} <0 \) . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f(x)$ và x=1. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. \(S = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx + \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} }\) B. \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}\) C. \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}\) D. \(S = \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} } \right|\) Spoiler: Xem đáp án \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {f(x)dx} - \int\limits_0^1 {f(x)dx}\) nên B đúng.
Câu 310: Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt x + C\) B. \(\int {\frac{{dx}}{{{x^2}}} = \frac{1}{x} + C}\) C. \(\int {\frac{{dx}}{{x + 1}}} = \ln \left| x \right| + C\) D. \(\int {{2^x}dx = {2^x} + C}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }}} = 2\int {\frac{{dx}}{{2\sqrt x }}} = 2\sqrt x + C\) nên A đúng.
