Câu 311: Tìm nguyên hàm của hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x}}\). A. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}2x}} + C} .\) B. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2\tan 2x + C} .\) C. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{2}\tan 2x + C} .\) D. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{{ - 1}}{{\cos x}} + C} .\) Spoiler: Xem đáp án \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{2}\tan 2x + C} .\)
Câu 312: Biết \(\int\limits_1^2 {\frac{{x{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5}\). Tính S=a+b+c. A. S=1. B. S=0. C. S=-1. D. S=2. Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\begin{array}{l} \int\limits_1^2 {\frac{{x{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}} = \int\limits_1^2 {\left[ {\frac{{\rm{1}}}{{\left( {x + 1} \right)}} - \frac{1}{{\left( {2x + 1} \right)}}} \right]{\rm{d}}x} \\ = \left. {\left( {\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right|} \right)} \right|_1^2\\ = \ln 3 - \frac{1}{2}\ln 5 - \ln 2 + \frac{1}{2}\ln 3 = - \ln 2 + \frac{3}{2}\ln 3 - \frac{1}{2}\ln 5. \end{array}\) Vậy S=0.
Câu 313: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \(y = \left| {{x^2} - 1} \right|\) và y=k, 0<k<1. Tìm k để diện tích của hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên. A. \(k = \sqrt[3]{4}.\) B. \(k = \sqrt[3]{2} - 1.\) C. \(k = \frac{1}{2}.\) D. \(k = \sqrt[3]{4} - 1.\) Spoiler: Xem đáp án Do đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng nên yêu cầu bài toán trở thành: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = 1 - {x^2},y = k,x = 0\) bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi: \(y = 1 - {x^2},y = {x^2} - 1,y = k,x > 0.\) \(\int\limits_0^{\sqrt {1 - k} } {\left( {1 - {x^2} - k} \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_{\sqrt {1 - k} }^1 {\left( {k - 1 + {x^2}} \right)} {\rm{d}}x + \int\limits_1^{\sqrt {1 + k} } {\left( {k - {x^2} + 1} \right)} {\rm{d}}x.\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1 - k} \right)\sqrt {1 - k} - \frac{1}{3}\left( {1 - k} \right)\sqrt {1 - k} \\ = \frac{1}{3} - \left( {1 - k} \right) - \frac{1}{3}\left( {1 - k} \right)\sqrt {1 - k} + \left( {1 - k} \right)\sqrt {1 - k} + \left( {1 + k} \right)\sqrt {1 + k} - \frac{1}{3}\left( {1 + k} \right)\sqrt {1 + k} - \left( {1 + k} \right) + \frac{1}{3} \end{array}\) \(\Leftrightarrow \frac{2}{3}\left( {1 + k} \right)\sqrt {1 + k} = \frac{4}{3}\)\(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt {1 + k} } \right)^3} = 2 \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{4} - 1.\)
Câu 314: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} - 2x,\,\,y = 0,\,\,x = 0\) và x=1. A. \(V = \frac{{8\pi }}{{15}}.\) B. \(V = \frac{{7\pi }}{8}.\) C. \(V = \frac{{8\pi }}{7}.\) D. \(V = \frac{{15\pi }}{8}.\) Spoiler: Xem đáp án \(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \frac{{8\pi }}{{15}}.\)
Câu 315: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {l{n^2}x + 1} .\frac{{lnx}}{x}\) và \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{3}.\) Tính A. \({\left[ {F\left( e \right)} \right]^2} = \frac{8}{3}.\) B. \({\left[ {F\left( e \right)} \right]^2} = \frac{8}{9}.\) C. \({\left[ {F\left( e \right)} \right]^2} = \frac{1}{3}.\) D. \({\left[ {F\left( e \right)} \right]^2} = \frac{1}{9}.\) Spoiler: Xem đáp án Xét \(\int {f\left( x \right)} .{\rm{d}}x = \int {\sqrt {l{n^2}x + 1} .\frac{{lnx}}{x}} .{\rm{d}}x\). Đặt \(\sqrt {l{n^2}x + 1} = t\) \(\Rightarrow l{n^2}x = {t^2} - 1 \Rightarrow \frac{{lnx}}{x}.{\rm{d}}x = t.{\rm{d}}t\) Vì vậy: \(F\left( x \right) = \int {{t^2}d} = \frac{1}{3}{t^3} + C = \frac{{\sqrt {{{\left( {l{n^2}x + 1} \right)}^3}} }}{3} + C.\) Do \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{3} \Rightarrow C = 0\). Vậy \({\left[ {F\left( e \right)} \right]^2} = \frac{8}{9}.\)
Câu 316: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = 2x{\left( {{x^2} + 1} \right)^4},\) biết F(1)=6. A. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}{{({x^2} + 1)}^5}}}{5} - \frac{2}{5}\) B. \(F\left( x \right) = \frac{{{{({x^2} + 1)}^5}}}{5} - \frac{2}{5}\) C. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}{{({x^2} + 1)}^5}}}{5} + \frac{2}{5}\) D. \(F\left( x \right) = \frac{{{{({x^2} + 1)}^4}}}{4} - \frac{2}{5}\) Spoiler: Xem đáp án Xét nguyên hàm: \(\int {2x{{({x^2} + 1)}^4}dx}\) Đặt: \(u = {x^2} + 1 \Rightarrow du = 2xdx\) Khi đó: \(\int {2x{{({x^2} + 1)}^4}dx} = \int {{u^4}du} = \frac{1}{5}{u^5} + C = \frac{1}{5}{({x^2} + 1)^5} + C\) Khi đó \(F\left( 1 \right) = \frac{{32}}{5} + C = 6 \Rightarrow C = - \frac{2}{5}\). Vậy \(F\left( x \right) = \frac{{{{({x^2} + 1)}^5}}}{5} - \frac{2}{5}\).
Câu 317: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = x,y = x + {\sin ^2}x,x = 0,x = \pi .\) A. \(S=\pi\) B. \(S=\pi-\frac{1}{2}\) C. \(S=\pi-1\) D. \(S=\frac{\pi}{2}\) Spoiler: Xem đáp án \(S = \int\limits_0^\pi {\left| {x - \left( {x + {{\sin }^2}x} \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^\pi {{{\sin }^2}x} {\rm{d}}x = \left. {\left( {\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x} \right){\rm{ }}} \right|_0^\pi = \frac{\pi }{2}.\)
Câu 318: Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đồ thị \(y = {3^x},y = 4 - x\) và trục tung. A. \(S = \frac{9}{2} + \frac{2}{{\ln 3}}.\) B. \(S = \frac{9}{2} + \frac{3}{{\ln 3}}.\) C. \(S = \frac{7}{2} - \frac{3}{{\ln 3}}.\) D. \(S = \frac{7}{2} - \frac{2}{{\ln 3}}.\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm \({3^x} + x = 4 \Leftrightarrow x = 1,\) do VT tổng hai hàm đồng biến là hàm đồng biến, VP là hằng số nên x=1 là nghiệm duy nhất. Vậy: \(S = \int\limits_0^1 {\left| {{3^x} + x - 4} \right|} {\rm{d}}x = \left| {\left. {\left( {\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \frac{{{x^2}}}{2} - 4x} \right)} \right|_0^1} \right|\) \(= \left| {\frac{3}{{\ln 3}} - \frac{7}{2} - \frac{1}{{\ln 3}}} \right| = \frac{7}{2} - \frac{2}{{\ln 3}}.\)
Câu 319: Cho khối cầu tâm O bán kính R. Mặt phẳng (P) cách O một khoảng \(\frac{R}{2}\) chia khối cầu thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó (Phần nhỏ trên phần lớn). A. \(\frac{5}{{27}}\). B. \(\frac{5}{{19}}\). C. \(\frac{5}{{24}}\). D. \(\frac{5}{{32}}\). Spoiler: Xem đáp án Thể tích khối chỏm cầu có chiều cao h là: \(V = \int\limits_{R - h}^R {S\left( x \right)dx} = \int\limits_{R - h}^R {\pi {{\left( {{r_x}} \right)}^2}dx = \pi \int\limits_{R - h}^R {\left( {{R^2} - {x^2}} \right)} }\) \(= \pi \left( {{R^2}x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} R\\ {R - h} \end{array} = \pi {h^2}} \right.\left( {R - \frac{h}{3}} \right)\) Khi đó: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3};{V_1} = \pi {h^2}\left( {R - \frac{h}{3}} \right) = \pi {\left( {\frac{R}{2}} \right)^2}\left( {R - \frac{R}{6}} \right) = \frac{5}{{24\pi {R^3}}}\) Do đó: \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{{V_1}}}{{V - {V_1}}} = \frac{5}{{27}}.\)
Câu 320: Tính tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {\frac{{\sin x{\rm{d}}x}}{{\sqrt {1 - 2\alpha \cos x + {\alpha ^2}} }}}\) (với \(\alpha>1\)). A. I=2. B. \(I = \frac{\alpha }{2}.\) C. \(I = 2\alpha.\) D. \(I = \frac{2 }{\alpha}.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = \sqrt {1 - 2\alpha \cos x + {\alpha ^2}} \Rightarrow {t^2} = 1 - 2\alpha \cos x + {\alpha ^2} \Rightarrow \frac{t}{\alpha }dt = \sin x{\rm{d}}x\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = \sqrt {1 - 2\alpha + {\alpha ^2}} = \left| {1 - \alpha } \right| = \alpha - 1\,(\alpha > 1)\\ x = 0 \Rightarrow t = \sqrt {1 + 2\alpha + {\alpha ^2}} = \left| {1 + \alpha } \right| = \alpha + 1\,(\alpha > 1) \end{array} \right.\) Vậy: \(I = \frac{1}{\alpha }\int\limits_{\alpha - 1}^{\alpha + 1} {\frac{{tdt}}{t}} = \frac{1}{\alpha }.\left. t \right|_{\alpha - 1}^{\alpha + 1} = \frac{2}{\alpha }.\)
