Câu 321: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = \left( {e + 1} \right)x\), \(y = \left( {1 + {e^x}} \right)x.\) A. \(S = e + \frac{1}{2}.\) B. \(S = e - \frac{1}{2}.\) C. \(S = \frac{e}{2} - 1.\) D. \(S = \frac{e}{2} + 1.\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm: \((e + 1)x = (1 + {e^x})x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.\) Diện tích \(S = \int\limits_0^1 {\left| {(e + 1)x - (1 + {e^x})x} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {(e - {e^x})x{\rm{d}}x}\) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = (e - {e^x})dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\ v = ex - {e^x} \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \int\limits_0^1 {(e - {e^x})x{\rm{d}}x} = \left. {x(ex - {e^x})} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {(ex - {e^x}){\rm{d}}x} \\ = - \left. {\left( {e\frac{{{x^2}}}{2} - {e^x}} \right)} \right|_0^1 = \frac{e}{2} - 1. \end{array}\) Vậy: \(S = \frac{e}{2} - 1.\)
Câu 322: Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2} - 2x\), y=0, x=-1, x=2 quanh trục Ox. A. \(V = \frac{{5\pi }}{{18}}.\) B. \(V = \frac{{18\pi }}{5}.\) C. \(V = \frac{{17\pi }}{5}.\) D. \(V = \frac{{16\pi }}{5}.\) Spoiler: Xem đáp án Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có \({x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\). Thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^2 {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}{\rm{d}}x}\) \(= \pi \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2}} \right){\rm{d}}x}\)\(= \pi \left. {\left( {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2}} \right)} \right|_{ - 1}^2 = \frac{{18\pi }}{5}.\)
Câu 323: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\sin x\cos x.\) A. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{4}\sin 2x + \frac{x}{2}\cos 2x} \right) + C.\) B. \(\int {f(x)dx = } - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{4}\sin 2x - \frac{x}{2}\cos 2x} \right) + C.\) C. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{4}\sin 2x - \frac{x}{2}\cos 2x} \right) + C.\) D. \(\int {f(x)dx = } - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{4}\sin 2x + \frac{x}{2}\cos 2x} \right) + C.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}x.\sin 2x\) Ta tính \(I = \frac{1}{2}\int {x.\sin 2x{\rm{d}}x}\). Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ {\rm{d}}v = \sin 2x \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\ v = - \frac{1}{2}\cos 2x \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} I = \frac{1}{2}\left( { - \frac{1}{2} \cdot x.\cos 2x - \int {\left( { - \frac{1}{2}} \right)\cos 2x{\rm{d}}x} } \right)\\ = \frac{1}{2}\left( { - \frac{1}{2}x.\cos 2x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin 2x} \right) + C \end{array}\) \(= \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{4}\sin 2x - \frac{1}{2}x.\cos 2x} \right) + C.\)
Câu 324: Một hạt proton di chuyển trong điện trường có gia tốc \(a(t) = \frac{- 20}{(2t + 1)^2} \; (cm^2)\) với t tính bằng giây. Tìm hàm vận tốc v theo t, biết rằng khi t=0 thì v=30 cm/s. A. \(v = \frac{{ - 20}}{{2t + 1}} + 30.\) B. \(v = \frac{{10}}{{2t + 1}}.\) C. \(v = \frac{{10}}{{2t + 1}} + 20.\) D. \(v = {\left( {2t + 1} \right)^{ - 3}} + 30.\) Spoiler: Xem đáp án Dễ thấy \(v\left( t \right) = \int {\frac{{ - 20}}{{{{\left( {2t + 1} \right)}^2}}}\;} {\rm{d}}t\) \(= \frac{{10}}{{2t + 1}} + C\) (cm/s) Khi t=0 thì \(v = 30\; cm/s\) suy ra: \(v\left( 0 \right) = \frac{{10}}{{2.0 + 1}} + C = 30 \Leftrightarrow C = 20.\) Do đó \(v\left( t \right) = \frac{{10}}{{2t + 1}} + 20\,\,(cm/s).\)
Câu 325: Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 1}}\)? A. \(F\left( x \right) = \ln \left| {2x + 1} \right| + 1.\) B. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + 2.\) C. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {4x + 2} \right| + 3.\) D. \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}\ln \left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) + 3\). Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\begin{array}{l} F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} dx = \int {\frac{1}{{2x + 1}}} dx\\ = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C = \frac{1}{4}\ln \left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) + C. \end{array}\)
Câu 326: Cho miền phẳng (H) giới hạn bởi $(C): x^2 + y^2 = 4$ đường tròn có bán kính $R=2$, đường cong $y=\sqrt{4-x}$ và trục hoành (miền gạch ngang trong hình bên). Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho miền (H) quay xung quanh trục hoành. A. \(V = \frac{{77\pi }}{6}\) B. \(V = \frac{{76\pi }}{7}\) C. \(V = \frac{{67\pi }}{7}\) D. \(V = \frac{{66\pi }}{7}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có thể tích khối cầu có bán kính r=2: \(r = 2:{V_C} = \frac{{4\pi {r^3}}}{3} = \frac{{4\pi {2^2}}}{3} = \frac{{32\pi }}{3}.\) Suy ra thể tích khối tròn xoay xinh ra khi cho \(\frac{1}{4}\) đường tròn xoay quanh trục hoành là: \({V_1} = \frac{{{V_C}}}{2} = \frac{{16\pi }}{3}.\) Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đường cong \(y = \sqrt {4 - x}\) và trục hoành là: \({V_2} = \pi \int\limits_0^3 {\left( {4 - x} \right)dx} = \frac{{15\pi }}{2}\) \(\Rightarrow V = {V_1} + {V_2} = \frac{{77\pi }}{6}.\)
Câu 327: Biết hàm số f(x) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = ax + \frac{b}{{{x^2}}}\left( {a,b \ne 0} \right),f\left( { - 1} \right) = 2,f\left( 1 \right) = 4,f'\left( x \right) = 0.\) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(f\left( x \right) = - \frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{x} + \frac{{11}}{2}\) B. \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{x} + \frac{5}{2}\) C. \(f\left( x \right) = 4{x^2} + \frac{4}{x} + 2\) D. \(f\left( x \right) = 2{x^2} + \frac{2}{x} + 2\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f'\left( x \right) = ax + \frac{b}{{{x^2}}} \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)} dx = \int {\left( {ax + \frac{b}{{{x^2}}}} \right)dx = \frac{{a{x^2}}}{2}} - \frac{b}{x} + C.\) Mà \(f'\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow a + b = 0\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 1} \right) = 2}\\ {f\left( 1 \right) = 4} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{a}{2} + b + C = 2}\\ {\frac{a}{2} - b + C = 4} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1}\\ {b = - 1} \end{array}}\\ {c = \frac{5}{2}} \end{array}} \right.\) \(\Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{x} + \frac{5}{2}.\)
Câu 328: Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo nên do quay xung quanh trục trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {(1 - x)^2},\,\,\,y = 0,\,\,\,x = 0,\,\,\,x = 2.\) A. \(V = \frac{{8\pi \sqrt 2 }}{3}\) B. \(V = \frac{{2\pi }}{5}\) C. \(V = \frac{{5\pi }}{2}\) D. \(V = 2\pi\) Spoiler: Xem đáp án Gọi V là thể tích cần tìm: \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{(1 - x)}^4}dx} .\) Đặt: \(u = 1 - x \Rightarrow du = - dx\) Khi đó: \(V = - \pi \int\limits_1^{ - 1} {{u^4}du} = \pi \left. {\frac{1}{5}.{u^5}} \right|_{ - 1}^1 = \frac{2}{5}\pi .\)
Câu 329: Tìm hàm số f(x) biết \(f\left( x \right) = \int {\frac{{5 + 4x}}{{{x^2}}}.lnxdx} .\) A. \(f\left( x \right) = 2{\ln ^2}x - \frac{5}{x}\left( {\ln x + 1} \right) + C\) B. \(f\left( x \right) = 2{\ln ^2}x - \frac{5}{x}\left( {\ln x - 1} \right) + C\) C. \(f\left( x \right) = 2{\ln ^2}x - \frac{5}{x}\ln x - \frac{5}{x}\) D. \(f\left( x \right) = 2\ln x - \frac{5}{x}\left( {\ln x + 1} \right) + C\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f\left( x \right) = \int {\frac{{5 + 4x}}{{{x^2}}}} \ln xdx = \int {\frac{{5\ln x}}{{{x^2}}}dx + \int {\frac{{4.\ln x}}{x}} dx = 2{{\ln }^2}x + \int {\frac{{5\ln x}}{{{x^2}}}} dx + C}\) Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = \ln x}\\ {dv = \frac{{dx}}{{{x^2}}}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = \frac{{dx}}{x}}\\ {v = - \frac{1}{x}} \end{array}} \right.\) \(\Rightarrow \int {\frac{{5\ln x}}{{{x^2}}}dx} = - \frac{{5\ln x}}{x} + 5.\int {\frac{{dx}}{{{x^2}}}} = - \frac{{5\ln x}}{x} - \frac{5}{x} + C\) \(\Rightarrow f\left( x \right) = 2{\ln ^2}x - \frac{5}{x}\left( {\ln x + 1} \right) + C.\)
Câu 330: Cho đồ thị hàm số y=f(x). Tìm công thức tính diện tích hình phẳng là phần tô đậm trong hình bên dưới. A. \(S = \left| {\int\limits_{ - 2}^2 {f(x)dx} } \right|\) B. \(S = \int\limits_{ - 2}^0 {f(x)dx} + \int\limits_0^2 {f(x)dx}\) C. \(S = \left| {\int\limits_{ - 2}^2 {f(x)dx} } \right|\) D. \(S = \left| {\int\limits_{ - 2}^2 {f(x)dx} } \right|\) Spoiler: Xem đáp án Gọi S là diện tích cần tìm ta có: \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {f(x)} \right|dx = } \left| {\int\limits_{ - 2}^0 {f(x)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^2 {f(x)dx} } \right| = \int\limits_{ - 2}^0 {f(x)dx} - \int\limits_0^2 {f(x)dx.}\)
