Câu 331: Hàm số \(F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x}}\) là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau? A. \(f(x) = {e^{2x}}\) B. \(f(x) = 2x{e^{{x^2}}}\) C. \(f(x) = \frac{{{e^{{x^2}}}}}{{2x}}\) D. \(f(x) = {x^2}{e^{{x^2}}} - 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left( {\frac{1}{2}{e^{2x}}} \right)' = \frac{1}{2}.(2x)'.{e^{2x}} = {e^{2x}}.\) Vậy A là phương án đúng.
Câu 332: Kí hiệu (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right).\) Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox. A. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left( {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right)dx}\) B. \(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left( {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right)}^2}dx}\) C. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx}\) D. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left( {{g^2}\left( x \right) - {f^2}\left( x \right)} \right)dx}\) Spoiler: Xem đáp án Công thức tính thể tích khối tròn xoay theo đề bài là: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} = \pi \int\limits_a^b {\left| {{g^2}\left( x \right) - {f^2}\left( x \right)} \right|dx} .\)
Câu 333: Tính thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y=x^2$ và $x=y^2$ quay quanh trục Ox tạo thành. A. \(V = \frac{{3\pi }}{{10}}.\) B. \(V =10 \pi.\) C. \(V = \frac{{10\pi }}{{3}}.\) D. \(V = 3\pi.\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của \(({C_1}),({C_2})\) là \(\left\{ \begin{array}{l} y = {x^2}\\ x = {y^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y = 0\\ x = 1;y = 1 \end{array} \right.\) Trong đoạn \(x \in \left[ {0;1} \right]\) suy ra \(y = {x^2};y = \sqrt x\) Thể tích khối tròn xoay cần tính là \({V_{{\rm{Ox}}}} = \pi \left| {\int\limits_0^1 {({x^4} - x)dx} } \right| = \pi \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1} \right| = \frac{{3\pi }}{{10}}.\)
Câu 334: Tìm nguyên hàm của hàm số \(y = {x^2} - 3x + \frac{1}{x} \) A. \(\int {f(x) = } \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln x + C.\) B. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} - \ln \left| x \right| + C.\) C. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right| + C.\) D. \(\int {f(x) = } \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln x + C.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y = {x^2} - 3x + \frac{1}{x} \Rightarrow \int {\left( {{x^2} - 3x + \frac{1}{x}} \right)dx = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln |x| + C} .\)
Câu 335: Một chất điểm đang cuyển động với vận tốc \(v_0=15m/s\) thì tăng vận tốc với gia tốc \(a(t) = {t^2} + 4t\,(m/{s^2}).\) Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc. A. 68,25 m B. 70,25 m C. 69,75 m D. 67,25 m Spoiler: Xem đáp án Ta có \(v(t) = \int {a(t)dt = \int {({t^2} + 4t)dt = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + C\,\,(m/s)} }\) Do khi bắt đầu tăng tốc \(v_0=15\) nên \(v(0) = 15 \Rightarrow C = 15 \Rightarrow v(t) = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + 15\) Khi đó quãng đường đi được bằng \(S = \int\limits_0^3 {v(t)dt} = \int\limits_0^3 {\left( {15 + \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2}} \right)dt = \left. {\left( {15t + \frac{{{t^4}}}{{12}} + \frac{2}{3}{t^3}} \right)} \right|_0^3 = 69,75\,\,m} .!\)
Câu 336: Tìm nguyên hàm của hàm số \(y = f(x) = {\cos ^3}x.\) A. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{{\cos }^4}x}}{x} + C.\) B. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{4}\left( {\frac{{\sin 3x}}{3} + 3\sin x} \right) + C.\) C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{12}}\sin 3x - \frac{3}{4}\sin x + C.\) D. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{{\cos }^4}x.\sin x}}{4} + C.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int {f(x)dx = \int {{{\cos }^3}xdx = \frac{1}{4}\int {(\cos 3x + 3\cos x)dx = \frac{1}{4}\left( {\frac{{\sin 3x}}{3} + 3\sin x} \right)} + C} } .\)
Câu 337: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{\sin 4x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}\) thỏa mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0.\) Tính F(0). A. \(F(0) = - 4 + 6\ln 2.\) B. \(F(0) = - 4 - 6\ln 2.\) C. \(F(0) = 4 - 6\ln 2.\) D. \(F(0) = 4 + 6\ln 2.\) Spoiler: Xem đáp án \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2\sin 2x\cos 2x}}{{1 + \frac{{1 + \cos 2x}}{2}}}dx} = 4\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos 2x.\sin 2x}}{{3 + \cos 2x}}dx}\) Đặt: \(t = \cos 2x \Rightarrow dt = - 2\sin 2x\) \(\Rightarrow I = - 2\int\limits_1^{ - 1} {\frac{t}{{t + 3}}dx} = 2\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{t + 3 - 3}}{{t + 3}}dt} = 2\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 - \frac{3}{{t + 3}}} \right)dt}\) \(= \left. {\left( {2t - 6\ln \left| {t + 3} \right|} \right)} \right|_{ - 1}^1 = 4 - 6\ln 2.\) \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - F\left( 0 \right) = 4 - 6\ln 2 \Rightarrow F\left( 0 \right) = - 4 + 6\ln 2.\)
Câu 338: Parabol $y = \frac{x^2}{2}$ chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng $R = 2\sqrt 2$ thành hai phần có diện tích $S_1$ và $S_2$. Tính tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$. A. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{3\pi + 2}}{{21\pi - 2}}.\) B. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{3\pi + 2}}{{9\pi - 2}}.\) C. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{3\pi + 2}}{{12\pi }}.\) D. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{9\pi - 2}}{{3\pi + 2}}.\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình đường tròn tâm O bán kính \(R = 2\sqrt 2\) là: \({x^2} + {y^2} = 8.\) Giao điểm của Parabol và đường tròn là nghiệm hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 8\\ y = \frac{{{x^2}}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \pm 2\\ y = 2 \end{array} \right.\) Ta có parabol và đường tròn như hình vẽ bên. Khi đó \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)dx} = 2\pi + \frac{4}{3}.\) Diện tích hình tròn là \(S = \pi {R^2} = 8\pi .\) Suy ra \({S_2} = 8\pi - {S_1} = 6\pi - \frac{4}{3}.\) Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{2\pi + \frac{4}{3}}}{{6\pi - \frac{4}{3}}} = \frac{{3\pi + 2}}{{9\pi - 2}}.\)
Câu 339: Biết \(I = \int\limits_0^4 {x\ln (2x + 1)dx} = \frac{a}{b}\ln 3 - c,\) trong đó a, b, c là các số nguyên dương và \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản. Tính \(S=a+b+c\) A. S=60 B. S=70 C. S=72 D. S=68 Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln (2x + 1)\\ dv = xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{2}{{2x + 1}}dx\\ v = \frac{{{x^2}}}{2} \end{array} \right. \Rightarrow I = \left. {\left[ {\frac{{{x^2}}}{2}\ln (2x + 1)} \right]} \right|_0^4 - \int\limits_0^4 {\frac{{{x^2}}}{{2x + 1}}dx}\) \(\Rightarrow I = \left. {\left[ {\frac{{{x^2}}}{2}\ln (2x + 1)} \right]} \right|_0^4 - \int\limits_0^4 {\left( {\frac{x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{{4(2x + 1)}}} \right)dx}\) \(= \left. {\left[ {\frac{{{x^2}}}{2}\ln (2x + 1)} \right]} \right|_0^4 - \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{1}{4}x + \frac{1}{8}\ln (2x + 1)} \right)} \right|_0^4\) \(\Rightarrow I = \frac{{63}}{4}\ln 3 - 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 63\\ b = 4\\ c = 3 \end{array} \right. \Rightarrow S = a + b + c = 70.\) Cách khác: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln (2x + 1)\\ dv = xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{2}{{2x + 1}}dx\\ v = \frac{{{x^2} - \frac{1}{4}}}{2} = \frac{{(2x + 1)(2x - 1)}}{8} \end{array} \right.\) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln (2x + 1)\\ dv = xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{2}{{2x + 1}}dx\\ v = \frac{{{x^2} - \frac{1}{4}}}{2} = \frac{{(2x + 1)(2x - 1)}}{8} \end{array} \right.\) \(\Rightarrow I = \left. {\left[ {\frac{{4{x^2} - 1}}{8}\ln (2x + 1)} \right]} \right|_0^4 - \int\limits_0^4 {\frac{{2x - 1}}{4}dx}\) \(\Rightarrow I = \frac{{63}}{8}\ln 9 - \left. {\frac{{({x^2} - x)}}{4}} \right|_0^4 = \frac{{63}}{4}\ln 3 - 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 63\\ b = 4\\ c = 3 \end{array} \right.\) \(\Rightarrow S = a + b + c = 70.\)
Câu 340: Ký hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {\left( {x - 1} \right){e^{{x^2} - 2x}}} ,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = 2.\) Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục hoành. A. \(V = \frac{{\pi \left( {2e - 1} \right)}}{{2e}}\) B. \(V = \frac{{\pi \left( {2e - 3} \right)}}{{2e}}\) C. \(V = \frac{{\pi \left( {e - 1} \right)}}{{2e}}\) D. \(V = \frac{{\pi \left( {e - 3} \right)}}{{2e}}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm \(\sqrt {\left( {x - 1} \right){e^{{x^2} - 2x}}} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right){e^{{x^2} - 2x}} = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) Thể tích cần tính là \(V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left[ {\sqrt {\left( {x - 1} \right){e^{{x^2} - 2x}}} } \right]}^2}dx}\) \(= \pi \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right){e^{{x^2} - 2x}}dx} = \frac{\pi }{2}.{e^{{x^2} - 2x}}\left| \begin{array}{l} ^2\\ _1 \end{array} \right. = \frac{\pi }{2}\left( {1 - \frac{1}{e}} \right) = \frac{{\pi \left( {e - 1} \right)}}{{2e}}.\)
