Câu 341: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} - 2x + 4\) và \(y = x + 2.\) A. \(S=\frac{1}{6}\) B. \(S=\frac{1}{2}\) C. \(S=\frac{1}{3}\) D. \(S=\frac{1}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} - 2x + 4 = x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 2 \end{array} \right.\) Diện tích cần tính là \(S = \int\limits_1^2 {\left| {\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) - \left( {x + 2} \right)} \right|dx} = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|dx.}\) Rõ ràng trên khoảng (1;2) phương trình \({x^2} - 3x + 2 < 0 \Rightarrow S = - \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)dx} = \frac{1}{6}\)
Câu 342: Tính tích phân \(I = \int\limits_1^{{2^{1000}}} {\frac{{\ln x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} .\) A. \(I = - \frac{{\ln {2^{1000}}}}{{1 + {2^{1000}}}} + 1000\ln \frac{2}{{1 + {2^{1000}}}}.\) B. \(I = - \frac{{1000\ln 2}}{{1 + {2^{1000}}}} + \ln \frac{{{2^{1000}}}}{{1 + {2^{1000}}}}.\) C. \(I = \frac{{\ln {2^{1000}}}}{{1 + {2^{1000}}}} - 1000\ln \frac{2}{{1 + {2^{1000}}}}.\) D. \(I = \frac{{1000\ln 2}}{{1 + {2^{1000}}}} - \ln \frac{{{2^{1000}}}}{{1 + {2^{1000}}}}.\) Spoiler: Xem đáp án Xét tích phân: \(I = \int\limits_1^{{2^{1000}}} {\frac{{\ln x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx}\) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln x\\ dv = \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{1}{x}dx\\ v = - \frac{1}{{x + 1}} \end{array} \right.\) Khi đó: \(I = - \frac{{\ln x}}{{x + 1}}\left| \begin{array}{l} ^{{2^{1000}}}\\ _1 \end{array} \right. + \int\limits_1^{{2^{1000}}} {\frac{1}{{x + 1}}.\frac{1}{x}dx}\) \(= - \frac{{\ln {2^{1000}}}}{{1 + {2^{1000}}}} + \int\limits_1^{{2^{1000}}} {\frac{1}{{x + 1}}.\frac{1}{x}dx} = - \frac{{1000\ln 2}}{{1 + {2^{1000}}}} + \int\limits_1^{{2^{1000}}} {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx}\) \(= - \frac{{1000\ln 2}}{{1 + {2^{1000}}}} + \left( {\ln \left| x \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)\left| \begin{array}{l} ^{{2^{1000}}}\\ _1 \end{array} \right. = - \frac{{1000\ln 2}}{{1 + {2^{1000}}}} + \ln \left| {\frac{x}{{x + 1}}} \right|\left| \begin{array}{l} ^{{2^{1000}}}\\ _1 \end{array} \right.\) \(= - \frac{{1000\ln 2}}{{1 + {2^{1000}}}} + \ln \frac{{{2^{1000}}}}{{1 + {2^{1000}}}}.\)
Câu 343: Tính tích phân \(I = \int\limits_1^3 {x{{\left( {x - 1} \right)}^{1000}}dx} .\) A. \(I = \frac{{{{2003.2}^{1002}}}}{{1003002}}\) B. \(I = \frac{{{{1502.2}^{1001}}}}{{501501}}\) C. \(I = \frac{{{{3005.2}^{1002}}}}{{1003002}}.\) D. \(I = \frac{{{{2003.2}^{1001}}}}{{501501}}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(x - 1 = t \Rightarrow dx = dt,\) khi \(x = 1 \Rightarrow t = 0;{\rm{ }}x = 3 \Rightarrow t = 2\) Khi đó: \(I = \int\limits_0^2 {(t + 1){t^{1000}}dt} = \int\limits_0^2 {\left( {{t^{1001}} + {t^{1000}}} \right)dt}\) \(\begin{array}{l} = \left( {\frac{{{t^{1002}}}}{{1002}} + \frac{{{t^{1001}}}}{{1001}}} \right)\left| \begin{array}{l} ^2\\ _0 \end{array} \right. = = \frac{{{2^{1002}}}}{{1002}} + \frac{{{2^{1001}}}}{{1001}}\\ = {2^{1001}}\left( {\frac{2}{{1002}} + \frac{1}{{1001}}} \right) = \frac{{{{1502.2}^{1001}}}}{{501501}}. \end{array}\)
Câu 344: Trong Vật lý, công được hình thành khi một lực tác động vào một vật và gây ra sự dịch chuyển, ví dụ như đi xe đạp. Một lực F(x) biến thiên, thay đổi, tác động vào một vật thể làm vật này di chuyển từ x = a đến x=b thì công sinh ra bởi lực này có thể tính theo công thức \(W = \int\limits_a^b {F(x)dx}\) Với thông tin trên, hãy tính công sinh ra khi một lực tác động vào một vật thể làm vật này di chuyển từ x=1 đến x=6. A. W=20 B. W=12 C. W=18 D. W=14 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(W = \int\limits_1^6 {\sqrt {3x - 2} dx}\) Đặt: \(t = \sqrt {3x - 2} \Rightarrow x = \frac{{{t^2} + 2}}{3},\) khi x=1 thì t=1 khi x=6 thì t=4 Do đó: \(W = \int\limits_1^4 {td\frac{{{t^2} + 2}}{3}} = \int\limits_1^4 {t.\frac{{2t}}{3}dt} = \frac{2}{3}.\frac{{{t^3}}}{3}\left| \begin{array}{l} ^4\\ _1 \end{array} \right. = 14.\)
Câu 345: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = {1000^x}\) A. \(F\left( x \right) = \frac{{{{10}^{3x}}}}{{3\ln 10}} + C.\) B. \(F\left( x \right) = {3.10^{3x}}\ln 10.\) C. \(F\left( x \right) = \frac{{{{1000}^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C.\) D. \(F\left( x \right) = {1000^x} + C\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(F\left( x \right) = \int {{{1000}^x}dx} = \frac{{{{1000}^x}}}{{\ln 1000}} + C = \frac{{{{\left( {{{10}^3}} \right)}^x}}}{{\ln {{10}^3}}} + C = \frac{{{{10}^{3x}}}}{{3\ln 10}} + C.\)
Câu 346: Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? A. \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = - 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} .\) B. \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} .\) C. \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx}\) D. \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx} .\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}\) (1) Xét tích phân \(A = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} ,\) đặt \(x = - t \Rightarrow t = - x.\) Khi \(x = - 2 \Rightarrow t = 2;{\rm{ }}x = 0 \Rightarrow t = 0.\) Do đó \(A = - \int\limits_0^2 {f\left( { - t} \right)d\left( { - t} \right)} = \int\limits_0^2 {f\left( { - t} \right)dt} = \int\limits_0^2 {f\left( { - x} \right)dx} .\) Thế vào (1) ta được \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {f\left( { - x} \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx} .\)
Câu 347: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong \((C):{y^2} - 1 - x = 0\) và hai đường thẳng x=0, x=3. A. \(S = \frac{{14}}{3}\) B. \(S = \frac{{28}}{3}\) C. \(S = \frac{{7}}{3}\) D. \(S = \frac{{32}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({y^2} - 1 - x = 0 \Leftrightarrow {y^2} = x + 1 \Leftrightarrow y = \sqrt {x + 1}\) nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai đường thẳng x = 0, x = 3 là: \(S = \int\limits_0^3 {\sqrt {x + 1} dx} = \left. {\left[ {\frac{2}{3}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} } \right]} \right|_0^3 = \frac{{16}}{3} - \frac{2}{3} = \frac{{14}}{3}.\)
Câu 348: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x\sqrt {\ln x}\), trục hoành và đường thẳng x = e quay quanh Ox. A. \(V = \frac{{2{e^3} + 1}}{9}\) B. \(V = \frac{{2{e^3} + 1}}{3}\) C. \(V = \frac{{2{e^3} - 1}}{9}\) D. \(V = \frac{{2{e^3} - 1}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của (C) với trục Ox là \(x\sqrt {\ln x} = 0 \Leftrightarrow x = 1\) Thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V = \pi \int\limits_1^4 {{x^2}\ln xdx}\) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln x\\ dv = {x^2}dx \end{array} \right. \Rightarrow du = \frac{{dx}}{x};v = \frac{{{x^3}}}{3}\) \(V = \left. {\frac{{{x^3}.\ln x}}{3}} \right|_1^4 - \int\limits_1^4 {\frac{{{x^2}}}{3}dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}.\ln x}}{3} - \frac{{{x^3}}}{9}} \right)} \right|_1^4 = \frac{{{e^3}}}{3} - \frac{{{e^3}}}{9} + \frac{1}{9} = \frac{{2{e^3} + 1}}{9}.\)
Câu 349: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^3} - x\) và \(y = x - {x^2}\) A. \(S=\frac{37}{12}\) B. \(S=\frac{9}{4}\) C. \(S=\frac{155}{12}\) D. \(S=\frac{17}{12}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là: \({x^3} - x = x - {x^2} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = 0\\ x = 1 \end{array} \right..\) Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn cần tính là: \(\begin{array}{l} S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} - x - (x - {x^2})} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} + {x^2} - 2x} \right|dx} \\ = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} - \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} = \frac{{37}}{{12}}. \end{array}\)
Câu 350: Biết \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{2^x} + 1}}} = {\log _a}b.\) Tính \(S=a+3b\) A. \(S=4\) B. \(S=\frac{8}{3}\) C. \(S=\frac{20}{3}\) D. \(S=6\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = {2^x} \Rightarrow dt = {2^x}.\ln 2dx \Leftrightarrow {2^x}dx = \frac{{dt}}{{\ln 2}}.\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \to t = 1\\ x = 1 \to t = 2 \end{array} \right.\) Khi đó \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{2^x} + 1}}} = \int\limits_0^1 {\frac{{{2^x}dx}}{{{2^x}.({2^x} + 1)}} = \frac{1}{{\ln 2}}\int\limits_1^2 {\frac{{dt}}{{t(t + 1)}}} = \frac{1}{{\ln 2}}\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{{t + 1}}} \right)dt = \frac{1}{{\ln 2}}.\ln \left. {\left| {\frac{t}{{t + 1}}} \right|} \right|_1^2} }\)\(\Rightarrow I = \frac{1}{{\ln 2}}.\left( {\ln \frac{2}{3} - \ln \frac{1}{2}} \right) = \frac{{\ln \frac{4}{3}}}{{\ln 2}} = {\log _2}\left( {\frac{4}{3}} \right)\) mà \(I = {\log _a}b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = \frac{4}{3} \end{array} \right. \Rightarrow S = a + 3b = 6.\)
