Câu 351: Biết \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{dx}}{{\sin x}}} = - \frac{1}{2}(\ln a + \ln b).\) Tính \(S=a+b\) A. \(S = 10 - 4\sqrt 3\) B. \(S = \frac{{22}}{3} - 4\sqrt 3\) C. \(S = 10 + 4\sqrt 3\) D. \(S = \frac{{22}}{3} + 4\sqrt 3\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = cosx\Leftrightarrow dt = - \sin {\rm{x}}dx\) và \({\sin ^2}x = 1 - {t^2}.\) Đổi cận: \(\left\{ {x = \frac{\pi }{6} \Rightarrow t = \frac{{\sqrt 3 }}{2};x = \frac{\pi }{3} \Rightarrow t = \frac{1}{2}} \right\}\) Khi đó \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{dx}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\sin x}}{{1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}dx = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\frac{1}{{1 - {t^2}}}dt} = \frac{1}{2}.\ln \left. {\left| {\frac{{t + 1}}{{t - 1}}} \right|} \right|} _{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}\) \(= \frac{1}{2}\ln (7 + 4\sqrt 3 ) - \frac{1}{2}\ln 2.\) Suy ra \(I = - \frac{1}{2}\left[ {\ln (7 - 4\sqrt 3 ) + \ln 3} \right] = - \frac{1}{2}(\ln a + \ln b)\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 7 - 4\sqrt 3 \\ b = 3 \end{array} \right. \Rightarrow a + b = 10 - 4\sqrt 3 .\)
Câu 352: Cho \(\int\limits_7^{11} {f(x)dx = 10} .\) Tính \(I = 2\int\limits_3^5 {f(2x + 1)dx} .\) A. I=10 B. I=20 C. I=5 D. I=30 Spoiler: Xem đáp án Xét tích phân \(I = 2\int\limits_3^5 {f(2x + 1)dx} .\) Đặt: \(t = 2x + 1 \Leftrightarrow dt = 2dx\) và đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow t = 7\\ x = 5 \Rightarrow t = 11 \end{array} \right.\) Khi đó: \(I = \int\limits_7^{11} {f(t)dt} = \int\limits_7^{11} {f(x)dx = 10} .\)
Câu 353: Tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}.\) A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{2}\sqrt {2x + 1} + C\) B. \(\int {f(x)dx} = 2\sqrt {2x + 1} + C\) C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }} + C\) D. \(\int {f(x)dx} = \sqrt {2x + 1} + C\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int {f(x)dx = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {2x + 1} }} = \int {{{(2x + 1)}^{ - \frac{1}{2}}}dx = {{(2x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C = \sqrt {2x + 1} + C} } } .\)
Câu 354: Tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^{2x}}.\) A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{{4^x}.\ln 4}} + C\) B. \(\int {f(x)dx} = {4^x} + C\) C. \(\int {f(x)dx} = {4^x}.\ln 4 + C\) D. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int {f(x)dx = \int {{2^{2x}}dx = \int {{4^x}dx = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C} } } .\)
Câu 355: Cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.\) Tìm hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết \(F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 0.\) A. \(F(x) = \sqrt 3 - \cot x\) B. \(F(x) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \cot x\) C. \(F(x) = - \sqrt 3 - \cot x\) D. \(F(x) = - \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \cot x\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(F(x) = \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}} = - \cot x + C}\) Mà: \(F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 0 \Rightarrow C - \sqrt 3 = 0 \Rightarrow C = \sqrt 3 \Rightarrow f(x) = \sqrt 3 - \cot x.\)
Câu 356: Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 2x - 2m - \frac{1}{3}\) có đồ thị (C). Tìm \(m \in \left( {0;\frac{5}{6}} \right)\) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng x=0, x=2, y=0 có diện tích bằng 4. A. \(m=\frac{1}{3}\) B. \(m=\frac{1}{2}\) C. \(m=\frac{2}{3}\) D. \(m=\frac{3}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 2x - 2m - \frac{1}{3}\) trên [0;2] Ta có: \(\begin{array}{l} y' = {x^2} + 2mx - 2\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - m - \sqrt {{m^2} + 2} \\ x = - m + \sqrt {{m^2} + 2} \end{array} \right. \end{array}\) Do \(m \in \left( {0;\frac{5}{6}} \right)\) nên \(- m - \sqrt {{m^2} + 2} < 0,\,\,0 < - m + \sqrt {{m^2} + 2} < 2\) Mặt khác: \(y(0) = - 2m - \frac{1}{3} < 0;\,\,y(2) = 2m - \frac{5}{3} < 0\) Ta có bảng biến thiên trong [0;2] Dựa vào bảng biến thiên suy ra: \(y < 0,\forall x \in \left( {0;2} \right)\) Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Ta có: \(\begin{array}{l} S = 4 \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {\left| {\frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 2x - 2m - \frac{1}{3}} \right|dx} = 4\\ \Leftrightarrow - \int\limits_0^2 {\left( {\frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 2x - 2m - \frac{1}{3}} \right)dx} = 4 \Leftrightarrow \frac{{4m + 10}}{3} = 4 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}. \end{array}\)
Câu 357: Tìm các số a, b để hàm số \(f\left( x \right) = a\sin \pi x + b\) thỏa mãn: f(1)=2 và \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 4.\) A. \(a = \pi ,b = 2\) B. \(a = -\pi ,b = 2\) C. \(a = \frac{\pi }{2} ,b = 2\) D. \(a =- \frac{\pi }{2} ,b = 2\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f\left( 1 \right) = 2 \Leftrightarrow a\sin \pi + b = 2 \Leftrightarrow b = 2\) \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 4 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left( {a\sin \pi x + 2} \right)dx} = 4 \Leftrightarrow \left. {\left( {\frac{{ - a\cos \pi x}}{\pi } + 2x} \right)} \right|_0^1 = 4\) \(\Leftrightarrow a = \pi\)
Câu 358: Tìm nguyên hàm của hàm số \(\int {\frac{{2{\rm{x}} + 3}}{{2{{\rm{x}}^2} - x - 1}}d{\rm{x}}}\). A. \(\int {f(x)dx} = - \frac{2}{3}\ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| - \frac{2}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\) B. \(\int {f(x)dx} = - \frac{2}{3}\ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| - \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\) C. \(\int {f(x)dx} = - \frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\) D. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{3}\ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\) Spoiler: Xem đáp án Họ nguyên hàm của hàm số \(\int {\frac{{2{\rm{x}} + 3}}{{2{{\rm{x}}^2} - x - 1}}d{\rm{x}}}\) là: Ta có: \(\int {\frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}}dx} = \int {\frac{{2x + 3}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}dx} \\ = \int {\left[ { - \frac{4}{3}.\frac{1}{{2x + 1}} + \frac{5}{4}.\frac{1}{{x - 1}}} \right]dx}\) \(= - \frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
Câu 359: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {3^x}\sqrt {{3^x} + 1} .\) A. \(F\left( x \right) = \frac{{{3^x}\left( {2 + {3^{x + 1}}} \right)\ln 3}}{{2\sqrt {{3^x} + 1} }}\) B. \(F\left( x \right) = \frac{2}{3}\left( {{3^x} + 1} \right)\sqrt {{3^x} + 1} + C\) C. \(F\left( x \right) = \frac{{2\sqrt {{3^x} + 1} }}{{3\ln 3}} + C\) D. \(F\left( x \right) = \frac{{2\left( {{3^x} + 1} \right)\sqrt {{3^x} + 1} }}{{3\ln 3}} + C\) Spoiler: Xem đáp án \(\int {f(x)dx} = \int {{3^x}\sqrt {{3^x} + 1} dx}\) Đặt \(u = \sqrt {{3^x} + 1} \Rightarrow {u^2} = 3x + 1 \Rightarrow 2udu = {3^x}\ln 3dx \Rightarrow \frac{2}{{\ln 3}}udu = {3^x}dx\) khi đó: \(\begin{array}{l} \int {f(x)dx} = \frac{2}{{\ln 3}}\int {u.udu} = \frac{2}{{\ln 3}}\int {{u^2}du} = \frac{2}{{3\ln 3}}{u^3} + C\\ = \frac{2}{{3\ln 3}}\sqrt {{{\left( {{3^x} + 1} \right)}^3}} + C = \frac{2}{{3\ln 3}}({3^x} + 1)\sqrt {\left( {{3^x} + 1} \right)} + C. \end{array}\)
Câu 360: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y=3x, y=x, x=0 và x=1 quanh trục Ox. A. \(V = \frac{{8\pi }}{3}\) B. \(V = \frac{{8{\pi ^2}}}{3}\) C. \(V = 8{\pi ^2}\) D. \(V = 8{\pi }\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(S = \pi \int\limits_0^1 {\left| {9{x^2} - {x^2}} \right|} dx = \pi \int\limits_0^1 {8{x^2}dx = \pi \frac{{8{x^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{{8\pi }}{3}} .\)
