Câu 361: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y=x^2,\) trục hoành, trục tung và đường thẳng x=2. A. \(S = \frac{8}{9}\) B. \(S = \frac{16}{3}\) C. \(S = 16\) D. \(S = \frac{8}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=x^2\) và trục hoành là: \({x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0.\) Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2}} \right|d{\rm{x}}} = \int\limits_0^2 {{x^2}d{\rm{x}}} = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^2 = \frac{8}{3}.\)
Câu 362: Tính đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right) = \int\limits_0^{{x^2}} {\cos \sqrt t dt} .\) A. \(F'\left( x \right) = {x^2}\cos x\) B. \(F'\left( x \right) = 2x\cos x\) C. \(F'\left( x \right) = \cos x\) D. \(F'\left( x \right) = \cos x - 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(G\left( t \right) = \int {\cos \sqrt t dt} \Rightarrow G'\left( t \right) = \cos \sqrt t .\) Suy ra \(F'\left( x \right) = \left( {G\left( {{x^2}} \right) - G\left( 0 \right)} \right) = 2x\cos x.\)
Câu 363: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên [0;1] Biết \(f\left( 0 \right) = 1;\,f\left( 1 \right) = - 1.\) Tính \(I = \int_0^1 {f'\left( x \right)} dx.\) A. \(I = 1\) B. \(I = 2\) C. \(I = -2\) D. \(I = 0\) Spoiler: Xem đáp án \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} dx = \left. {f\left( x \right)} \right|_0^1 = f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = - 1 - 1 = - 2.\)
Câu 364: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x.\) A. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{2}\cos 2x + C\) B. \(\int {f\left( x \right)dx = - 2\cos 2x + C}\) C. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{ - 1}}{2}\cos 2x + C\) D. \(\int {f\left( x \right)dx} = 2\cos 2x + C\) Spoiler: Xem đáp án \(\int {\sin 2xdx} = - \frac{1}{2}\cos 2x + C.\)
Câu 365: Cho kết quả \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)} {\left( {\sin x + \cos x} \right)^3}dx = \frac{{a\sqrt 2 - b}}{5},\) với a, b là hai số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức \(P = 2{a^3} - 3ab + 4{b^3}.\) A. P=120 B. P=14 C. P=128 D. P=418 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right){{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^3}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\cos x - \sin x} \right){{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^4}} dx\)Đặt \(u = \sin x + \cos x \Rightarrow du = \left( {\cos x - \sin x} \right)dx\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow u = 1\\ x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow u = \sqrt 2 \end{array} \right.\) Khi đó: \(I = \int\limits_0^{\sqrt 2 } {{u^4}du} = \left. {\frac{1}{5}{u^5}} \right|_0^{\sqrt 2 } = \frac{{4\sqrt 2 - 1}}{5} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 4}\\ {b = 1} \end{array}} \right.\) Do đó \(P = 2{a^3} - 3ab + 4{b^3} = 120.\)
Câu 366: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) và F(0) = 1. Tính F(1). A. \(F\left( 1 \right) = \ln 2 + 1\) B. \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\ln 2 + 1\) C. \(F\left( 1 \right) = 0\) D. \(F\left( 1 \right) = \ln 2 + 2\) Spoiler: Xem đáp án \(\int {f(x)dx} = \int {\frac{x}{{{x^2} + 1}}dx}\) Đặt: \(u = {x^2} + 1 \Rightarrow du = 2xdx\) Vậy: \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{2}\int {\frac{1}{u}du} = \frac{1}{2}\ln \left| u \right| + C = \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\) Do F(0) = 1 nên C=1 Vậy: \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\ln 2 + 1.\)
Câu 367: Người ta cần trồng hoa tại phần đất nằm phía ngoài đường tròn tâm gốc tọa độ O, bán kính bằng $\frac{\sqrt{2}}{2}$ và phía trong của Elip có độ dài trục lớn bằng \(2\sqrt 2\) và độ dài trục nhỏ bằng 2 (như hình vẽ bên). Trong mỗi một đơn vị diện tích cần bón $100$ kg phân hữu cơ. Hỏi cần sử dụng bao nhiêu kg phân hữu cơ để bón cho hoa? A. 30kg B. 40kg C. 50kg D. 45kg Spoiler: Xem đáp án Phương trình elip: \(\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\) Ta có: \(y = \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{2}}\) (một nửa của elip). Diện tích của elip tạo sẽ là: \(S = 4\int\limits_0^{\sqrt 2 } {\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{2}} dx}\) Đặt \(x = \sqrt 2 \cos a \Rightarrow 1 - \frac{x}{2} = {\sin ^2}a.\) Suy ra: \(dx = - \sqrt 2 \sin adx\) Đổi cận \(x = \sqrt 2 \Rightarrow a = \frac{\pi }{4};x = 0\) thì a=0; \({S_1} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^0 { - \sqrt 2 } {\sin ^2}a.da = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^0 {\left( {\cos 2a - 1} \right)da}\) \(= \left. {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{1}{2}\sin 2a - x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{2}}^0 = \frac{{\sqrt 2 \pi }}{4}.\) \(\Rightarrow S = 4{S_1} = \sqrt 2 \pi .\) Diện tích hình tròn là: \(\frac{1}{2}\pi\) Vậy diện tích trồng hoa: \({S_b} = \pi \left( {\sqrt 2 - \frac{1}{2}} \right)\) Số kg phân bón là: \(\frac{{100}}{{\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)\pi }}.\left( {\sqrt 2 - \frac{1}{2}} \right)\pi = 50\) (kg).
Câu 368: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng K và a,b,c là ba số bất kì thuộc K. Khẳng định nào sau đây sai? A. \(\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} ;{\rm{ }}\left( {c \in \left( {a;b} \right)} \right).\) B. \(\int\limits_a^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 0.\) C. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \ne \int\limits_a^b {f\left( t \right){\rm{d}}} t.\) D. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_b^a {f\left( t \right){\rm{d}}} t.\) Spoiler: Xem đáp án Tích phân không phụ thuộc vào biến. Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) thì ta có: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( b \right) - F\left( a \right) = \int\limits_a^b {f\left( t \right){\rm{d}}t} .\)
Câu 369: Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\),\(\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2016,}\) \(\int\limits_4^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2017.}\) Tính \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x.}\) A. \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x = } 4023.\) B. \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x = } 1\) C. \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x = } -1.\) D. \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x = } 0.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int\limits_1^3 {f(x){\rm{d}}x} + \int\limits_3^4 {f(x){\rm{d}}x} = \int\limits_1^4 {f(x){\rm{d}}x}\) nên \(\int\limits_1^4 {f(x){\rm{d}}x} = 2016 - 2017 = - 1.\)
Câu 370: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^2}\frac{x}{2} - {\cos ^2}\frac{x}{2}.\) A. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \sin x + C.}\) B. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{2}{3}\left( {{{\sin }^3}\frac{x}{2} - {{\cos }^3}\frac{x}{2}} \right) + C.}\) C. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = -\sin x + C.}\) D. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{3}\left( {{{\sin }^3}\frac{x}{2} - {{\cos }^3}\frac{x}{2}} \right) + C.\) Spoiler: Xem đáp án Ta thấy \(f(x) = {\sin ^2}\frac{x}{2} - {\cos ^2}\frac{x}{2} = - \cos x\) nên \(\int {f(x){\rm{d}}x = \int { - \cos x{\rm{d}}x} = - \sin x + C} .\)
