Câu 371: Biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{x + 2}}{{{x^2} + 4x + 7}}{\rm{d}}x = a\ln \sqrt {12} + b\ln \sqrt 7 } ,\) với a,b là các số nguyên. Tính tổng a+b. A. -1. B. 1. C. \(\frac{1}{2}\). D. 0. Spoiler: Xem đáp án Xét \(\int\limits_0^1 {\frac{{x + 2}}{{{x^2} + 4x + 7}}{\rm{d}}x}\) Đặt \(u = {x^2} + 4x + 7 \Rightarrow du = 2x + 4dx \Rightarrow \frac{1}{2}du = \left( {x + 2} \right)dx\) Vậy: \(\begin{array}{l} \int\limits_0^1 {\frac{{x + 2}}{{{x^2} + 4x + 7}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int\limits_7^{12} {\frac{1}{u}} = \frac{1}{2}\left. {\ln \left| u \right|} \right|_7^{12} = \frac{1}{2}\\ = \frac{1}{2}\ln 12 - \frac{1}{2}\ln 7 = \ln \sqrt {12} - \ln \sqrt 7 . \end{array}\) Suy ra \(\int\limits_0^1 {\frac{{x + 2}}{{{x^2} + 4x + 7}}{\rm{d}}x} = a\ln \sqrt {12} + b\ln \sqrt 7 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1}\\ {b = - 1} \end{array}} \right.\) Vậy a+b=0.
Câu 372: Một ôtô đang chạy với vận tốc 19 m/s thì người lái hãm phanh, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = - 38t + 19\,\,m/s,\) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 4,75 (m) B. 4,5 (m) C. 4,25 (m) D. 5 (m) Spoiler: Xem đáp án Ta có thời gian ô tô bắt đầu hãm phanh đến khi dừng hẳn là: \(- 38t + 19 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}{\rm{ }}\left( s \right)\). Trong khoảng thời gian này ô tô di chuyển một đoạn đường: \(s = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( { - 38t + 19} \right)} {\rm{d}}x = \left. {\left( { - 19{t^2} + 19t} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}} = \frac{{19}}{4}\left( m \right) = 4,75\left( m \right)\).
Câu 373: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{ - x}}\left( {2{e^x} + 1} \right)\) biết \(F(0)=1.\) A. \(F\left( x \right) = 2x + {e^{ - x}}.\) B. \(F\left( x \right) = 2x - {e^{ - x}} + 2.\) C. \(F\left( x \right) = 2 + {e^{ - x}}.\) D. \(F\left( x \right) = 2x - {e^{ - x}} + 1.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {{e^{ - x}}\left( {2{e^x} + 1} \right){\rm{d}}x = \int {\left( {2 + {e^{ - x}}} \right){\rm{d}}x = 2x - {e^{ - x}} + C.} } }\) Do \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow - {e^0} + C = 1\)\(\Leftrightarrow - 1 + C = 1\)\(\Leftrightarrow C = 2.\). Vậy \(F\left( x \right) = 2x - {e^{ - x}} + 2.\)
Câu 374: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} - x,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = 0\) và x=2 được tính bởi công thức nào sau đây? A. \(\int\limits_0^2 {\left( {x - {x^2}} \right){\rm{d}}x} .\) B. \(\int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} .\) C. \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} .\) D. \(\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} .\) Spoiler: Xem đáp án Diện tích hình phẳng: \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - x} \right|{\rm{d}}x} .\) Bảng xét dấu: \(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - x} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - x} \right|{\rm{d}}x} \\ = - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} } = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} . \end{array}\)
Câu 375: Cho \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {{x^n}{\rm{d}}x} = \frac{1}{{64}}\) và \(\int\limits_1^5 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{2x - 1}}} = \ln m\), với m,n là các số nguyên dương. Khẳng định nào sau đây đúng? A. n>m B. 1<n+m<5 C. n<m D. n=m Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\begin{array}{l} \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {{x^n}{\rm{d}}x = \frac{1}{{64}}} \Leftrightarrow \left. {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{{64}} \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 1}} \cdot \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} = \frac{1}{{64}}\\ \Leftrightarrow n + 1 = 4 \Leftrightarrow n = 3. \end{array}\) Và \(\int\limits_1^5 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{2x - 1}}} = \ln m \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left. {\ln \left| {2x - 1} \right|} \right|_1^5 = \ln m \Leftrightarrow \frac{1}{2}\ln 9 = \ln m \Leftrightarrow m = 3.\) Vậy \(n=m.\).
Câu 376: Cho S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2x - {x^2}\) và trục hoành. Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá S. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm: \(2x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc x=2. Ta có \(S = \left| {\int\limits_0^2 {2x - {x^2}{\rm{d}}x} } \right| = \frac{4}{3}.\) Suy ra số nguyên lớn nhất không vượt quá S là 1.
Câu 377: Gọi S là diện tích của ban công của một ngôi nhà có dạng như hình vẽ (S được giới hạn bởi parabol (P): \(y = a{x^2} + bx + c\,(a \ne 0)\) và trục Ox). Tìm S. A. \(S=\frac{9}{2}\) B. \(S=1\) C. \(S=\frac{4}{3}\) D. \(S=2\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\,(a \ne 0)\) có đồ thị là Parabol (P). Các điểm (0;1), (-1;0), (1;0) thuộc (P) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} c = 1\\ a - b + c = 0\\ a + b + c = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 1\\ b = 0\\ c = 1 \end{array} \right.\) Vậy phương trình đường cong parabol là: \(y = - {x^2} + 1.\) \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {1 - {x^2}} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 - {x^2}} \right)} dx = \left. {\left( {x - \frac{1}{3}{x^3}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{4}{3}.\)
Câu 378: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\int_0^x {\frac{t}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}} dt > 0.\) A. \(S = \left( { - \infty ;0} \right)\) B. \(S = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\) C. \(S = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\) D. \(S = \left( {0; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Tích phân: \(\int\limits_0^x {\frac{t}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}} dt\) Đặt \(u = \sqrt {{t^2} + 1} \Rightarrow {u^2} = {t^2} + 1 \Rightarrow udu = tdt\) Vậy: \(\int\limits_0^x {\frac{t}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}} dt = \int\limits_1^{\sqrt {{x^2} + 1} } {\frac{u}{u}du} = \left. u \right|_1^{\sqrt {{x^2} + 1} } = \sqrt {{x^2} + 1} - 1.\) \(\sqrt {{x^2} + 1} - 1 > 0 \Leftrightarrow x \ne 0.\) Vậy tập nghiệm BPT là: \(S = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}.\)
Câu 379: Cho \( \int_0^4 {f\left( x \right)} dx = - 1,\) tính tích phân \(I = \int_0^1 {f\left( {4x} \right)} dx.\) A. \(I =- \frac{{1}}{2}\) B. \(I = -\frac{{ 1}}{4}\) C. \(I = \frac{{1}}{4}\) D. \(I = -2\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t=4x\) suy ra \(dt=4dx\) Đổi cận với \(x=0\) thì \( t=0;x=1\) thì \(t=4\) \(\int\limits_0^1 {f\left( {4x} \right)} dx = \frac{1}{4}\int\limits_0^4 {f\left( t \right)} dt = \frac{1}{4}\int\limits_0^4 {f\left( x \right)} dx = - \frac{1}{4}\)vì tích phân không phụ thuộc vào biến số.
Câu 380: Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho biểu thức \(P = n\ln n - \int_1^n {\ln xdx}\) có giá trị không vượt quá 2017. A. 2017 B. 2018 C. 4034 D. 4036 Spoiler: Xem đáp án Tính tích phân: \(I = \int_1^n {\ln xdx}\) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln x\\ dv = dx \end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{1}{x}dx\\ v = x \end{array} \right.\) Vậy: \(I = \left. {x\ln x} \right|_1^n - \int_1^n {\frac{x}{x}} dx = n\ln \left( n \right) - n + 1\) Vậy \(P = n - 1.\) Để \(n - 1 \le 2017\) thì \(n \le 2018\) và n nguyên dương. Nên sẽ có 2018 giá trị của n.
