Câu 381: Hàm số nào sau đây không phải làm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2\sin 2x.\) A. \(F(x) = 2{\sin ^2}x\) B. \(F(x) = - 2{\cos ^2}x\) C. \(F(x) = - 1 - \cos 2x\) D. \(F(x) = - 1 - 2\cos x\sin x\) Spoiler: Xem đáp án \(I = \int {2\sin 2x} dx = - \cos 2x + C.\) Với C=1 thì \(I = 1 - \cos 2x = 2{\sin ^2}x.\) Với C=-1 thì \(I = - 1 - \cos 2x = - (1 + \cos 2x) = - 2{\cos ^2}x.\) Vậy các hàm số ở phương án A B C đều là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2\sin 2x.\) Suy ra: D là phương án cần tìm.
Câu 382: Trong các tích phân sau, tích phân nào không có cùng giá trị với \(I = \int\limits_1^2 {{x^3}\sqrt {{x^2} - 1} dx} .\) A. \(\frac{1}{2}\int_1^2 {t\sqrt {t - 1} dt}\) B. \(\frac{1}{2}\int_1^4 {t\sqrt {t - 1} dt}\) C. \(\int_0^{\sqrt 3 } {\left( {{t^2} + 1} \right){t^2}dt}\) D. \(\int_0^{\sqrt 3 } {\left( {{x^2} + 1} \right){x^2}dx}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \({x^2} = t \Rightarrow xdx = \frac{{dt}}{2}.\) Đổi cận x=1 thì t=1;x=2 thì t=4 Vậy \(I = \frac{1}{2}\int_1^4 {t\sqrt {t - 1} } dt.\) Vậy ta thấy A là phương án cần tìm. Ngoài ra ta còn cách đổi biến số khác với tích phân này: Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} - 1 \Rightarrow tdt = xdx\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow t = 0\\ x = 2 \Rightarrow t = \sqrt 3 \end{array} \right.\) Vậy \(I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {({t^2} + 1){t^2}dt} .\) Ta cũng có thể viết lại: \( I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {({x^2} + 1){x^2}dx}\) (Do tích phân không phụ thuộc vào biến số).
Câu 383: Biết \(F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}\) là nguyên hàm của hàm số \(y = \left( {2x + 3} \right).{e^x}.\) Tính tổng a + b. A. a+b=2 B. a+b=3 C. a+b=4 D. a+b=5 Spoiler: Xem đáp án Xét nguyên hàm: \(\int {\left( {2x + 3} \right){e^x}} dx\) Đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = 2x + 3}\\ {dv = {e^x}dx} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = 2dx}\\ {v = {e^x}} \end{array}} \right.\) Khi đó: \(\int {\left( {2x + 3} \right){e^x}dx} = \left( {2x + 3} \right){e^x} - \int {{e^x}2dx} = \left( {2x + 3} \right){e^x} - 2{e^x} = \left( {2x + 1} \right){e^x}\) Vậy: a+b=3
Câu 384: Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=x^2\) và \(y=x\). A. \(S=\frac{1}{2}\) (đvdt) B. \(S=\frac{1}{3}\) (đvdt) C. \(S=\frac{1}{4}\) (đvdt) D. \(S=\frac{1}{6}\) (đvdt) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=x^2\) và đường thẳng y=x là: \({x^2} = x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.\) Vậy diện tích cần phải tính là \(S = \int_0^1 {\left| {{x^2} - x} \right|} dx = \int_0^1 {\left( {x - {x^2}} \right)} dx = \left( {\frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{3}{x^3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{1}{6}.\)
Câu 385: Giả sử \(I = \int_1^2 {\frac{{4\ln x + 1}}{x}} dx = a{\ln ^2}2 + b\ln 2,\) với a, b là các số hữu tỉ. Tính tổng \(S = 4a + b.\) A. S=3 B. S=5 C. S=7 D. S=9 Spoiler: Xem đáp án \(I = \int_1^2 {\frac{{4\ln x + 1}}{x}} dx = \int_1^2 {\frac{{4\ln x}}{x}} dx + \int_1^2 {\frac{1}{x}} dx = \int_1^2 {\frac{{4\ln x}}{x}} dx + \left. {\ln x} \right|_1^2\) Tính: \(\int_1^2 {\frac{{4\ln x}}{x}} dx\) Đặt: \(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx.\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow u = 0\\ x = 2 \Rightarrow u = \ln 2 \end{array} \right.\) \(\int_1^2 {\frac{{4\ln x}}{x}} dx = 4\int\limits_0^{\ln 2} {udu} = \left. {2{u^2}} \right|_0^{\ln 2} = 2{\ln ^2}2\) Vậy: \(I = 2{\ln ^2}2 + \ln 2.\) Suy ra \(a = 2;b = 1.\) Nên \(4a + b = 9.\)
Câu 386: Biết \(I = \int\limits_0^2 {{e^x}\left( {2x + {e^x}} \right)dx} = ae^4 + be^2 + c\) với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính $S = a+b+c$ A. S=2 B. S=-4 C. S=-2 D. S=4 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(I = \int\limits_0^2 {{e^x}\left( {2x + {e^x}} \right)dx = } \int\limits_0^2 {{e^{2x}}dx + \int\limits_0^2 {2x.{e^x}dx = } } \left. {\frac{{{e^{2x}}}}{2}} \right|_0^2 + 2\int\limits_0^2 {x{e^x}dx = \frac{{{e^x}}}{2} - \frac{1}{2} + 2\int\limits_0^2 {x{e^x}dx} }\) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\) \(\Rightarrow I = \frac{{{e^4}}}{2} - \frac{1}{2} + \left. {\left( {2x.{e^x}} \right)} \right|_0^2 - 2\int\limits_0^2 {{e^x}dx} = \frac{{{e^4}}}{2} - \frac{1}{2} + \left. {\left( {2x.{e^2}} \right)} \right|_0^2 - \left. {\left( {2{e^x}} \right)} \right|_0^2\) \(= \frac{{{e^4}}}{2} + 2{e^2} + \frac{3}{2}\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{2}\\ b = 2\\ c = \frac{3}{2} \end{array} \right. \Rightarrow S = a + b + c = 4.\)
Câu 387: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \(y = {x^2};y = 0;x = 2\). Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay (H) quanh trục Ox. A. \(V = \frac{8}{3}\) B. \(V = \frac{{32}}{5}\) C. \(V = \frac{{8\pi }}{3}\) D. \(V = \frac{{32\pi }}{5}\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích cần tính là \(V = \pi \int\limits_0^2 {{x^4}dx = \pi .\left. {\frac{{{x^5}}}{5}} \right|} _0^2 = \frac{{32\pi }}{5}\)
Câu 388: Trong các hàm số dưới đây hàm số nào không phải là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x.\) A. \({F_1}\left( x \right) = \frac{1}{2}{\rm{cos2x}}\) B. \({F_4}\left( x \right) = {\sin ^2}x + 2\) C. \({F_2}\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\sin }^2}x - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \right)\) D. \({F_3}\left( x \right) = - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = \int {\sin 2xdx = - \frac{1}{2}cos2x + C} }\) \(cos2x = co{s^2}x - {\sin ^2}x = 2{\cos ^2}x - 1 = 1 - 2{\sin ^2}x\) nên B, C, D đúng. Vậy A là phương án cần tìm.
Câu 389: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {4^x}{.2^{2x + 3}}.\) A. \(F\left( x \right) = \frac{{{2^{4x + 1}}}}{{\ln 2}}\) B. \(F\left( x \right) = {2^{4x + 3}}.\ln 2\) C. \(F\left( x \right) = \frac{{{2^{4x + 3}}}}{{\ln 2}}\) D. \(F\left( x \right) = {2^{4x + 1}}.\ln 2\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = \int {{4^x}{{.2}^{2x + 3}}dx = } \int {{{4.2}^{2x}}{{.2}^{2x + 1}}dx} } = \int 4 {.2^{4x + 1}}dx\) Đặt: \(u = 4x + 1 \Rightarrow du = 4dx\) Vậy: \(\int {f(x)dx} = \int {{2^u}du} = \frac{{{2^u}}}{{\ln 2}} + C = \frac{{{2^{4x + 1}}}}{{\ln 2}} + C.\)
Câu 390: Cho \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là hai hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\). Mệnh đề nào sau đây là sai? A. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = } \int\limits_a^b {f\left( y \right)dy}\) B. \(\int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)dx = } \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx + } \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}\) C. \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0\) D. \(\int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right)dx = } \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào đáp án ta có Dễ thấy B và C là tính chất của tính phân, Suy ra B và C đúng. Tích phân không phụ thuộc vào biến số, suy ra A đúng. D sai, đây không phải là tích chất của Tích phân, ta có thể dùng một số hàm cụ thể để kiểm tra.
