Câu 31: Cho \(\int\limits_a^d {f(x)dx} = 5;\int\limits_b^d {f(x)dx} = 2\) , với \(a < d < b\) . Tính \(I = \int\limits_a^b {f(x)dx} \) A. \(I = 3\) B. \(I = 0\) C. \(I = 7\) D. \(I = - 3\) Spoiler: Xem đáp án \(I = \int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_a^d {f(x)dx} + \int\limits_d^b {f(x)dx} = \int\limits_a^d {f(x)dx} - \int\limits_b^d {f(x)dx} = 5 - 2 = 3.\)
Câu 32: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 2x + 1,\) trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = 3.\) A. \(S = \frac{{64}}{3}.\) B. \(S = \frac{{56}}{3}.\) C. \(S = \frac{{37}}{3}.\) D. \(S = 21.\) Spoiler: Xem đáp án Diện tích cần tính bằng \(S = \int\limits_{ - 1}^3 {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)dx} = \frac{{64}}{3}.\)
Câu 33: Tìm số thực m sao cho \(\int\limits_1^m {\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)dx} = \frac{{32}}{3}.\) A. \(m = 4.\) B. \(m = 5.\) C. \(m = 3.\) D. \(m = 2.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int\limits_1^m {\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 5x} \right)} \right|_1^m = \frac{{{m^3} - 1}}{3} - \left( {{m^2} - 1} \right) + 5\left( {m - 1} \right) = \frac{{32}}{3} \Rightarrow m = 3.\)
Câu 34: Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x.\) A. \(F\left( x \right) = - \frac{1}{2}\sin 2x + C.\) B. \(F\left( x \right) = 2\sin 2x + C.\) C. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\sin 2x + C.\) D. \(F\left( x \right) = - 2\sin 2x + C.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int {f\left( x \right)dx = \int {\cos 2xdx = } \frac{1}{2}sin2x + C.} \)
Câu 35: Hình (H) được cho dưới đây là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường \(\left( {{C_1}} \right):y = \left| x \right| + \sqrt {16 - {x^2}} ,\) \(\left( {{C_2}} \right):y = \left| x \right| - \sqrt {25 - {x^2}} \) và hai đoạn thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = x\) với \(x \in \left[ {4;5} \right],\left( {{d_2}} \right):y = - x\) với \(x \in \left[ { - 5; - 4} \right]\). Tính diện tích S của hình (H). A. \(\frac{{41}}{4}\) B. \(\frac{{41\pi }}{4}\) C. \(\frac{{41\pi }}{2}\) D. \(\frac{{41}}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(y = x - \sqrt {25 - {x^2}} ,y = x,x = 0,x = 5\) được tô màu trong hình bên suy ra \({S_1} = \int\limits_0^5 {\left( {x - \left( {x - \sqrt {25 - {x^2}} } \right)} \right)dx} = \frac{{25}}{4}\pi \). Gọi S2 là điện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(y = x + \sqrt {16 - {x^2}} ,y = x,x = 0,x = 4\) được tô màu trong hình bên suy ra \({S_2} = \int\limits_0^4 {\left( {\left( {x + \sqrt {16 - {x^2}} } \right) - x} \right)d{\rm{x}}} = 4\pi \). Diện tích cần tính bằng \(S = 2\left( {{S_1} + {S_2}} \right) = \frac{{41}}{2}\pi \).
Câu 36: Biết rằng hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = - 2,\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = - 3\) và \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 1\) (với \(a,b,c \in \mathbb{R}\)). Tính giá trị của biểu thức \(P = a + b + c\). A. \(P = - \frac{{25}}{6}\) B. \(P = - \frac{{13}}{6}\) C. \(P = \frac{{23}}{6}\) D. \(P = \frac{{35}}{6}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\left( {a{x^2} + bx + c} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{a}{3}{x^3} + \frac{b}{2}{x^2} + cx} \right)} \right|_0^1 = - 2\\\int\limits_0^2 {\left( {a{x^2} + bx + c} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{a}{3}{x^3} + \frac{b}{2}{x^2} + cx} \right)} \right|_0^2 = - 3\\\int\limits_0^3 {\left( {a{x^2} + bx + c} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{a}{3}{x^3} + \frac{b}{2}{x^2} + cx} \right)} \right|_0^3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = - 2\\\frac{{8a}}{3} + 2b + 2c = - 3\\9a + \frac{9}{2}b + 3c = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2,b = - 3\\c = - \frac{7}{6}\end{array} \right. \Rightarrow P = - \frac{{13}}{6}.\)
Câu 37: Cho hai hàm số \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \sin x,g'\left( x \right) = 2x\), \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = g\left( 0 \right) = 0\). Tính \(\int {g\left( x \right)d\left[ {f\left( x \right)} \right]} \). A. \(\int {g\left( x \right)d\left[ {f\left( x \right)} \right]} = - {x^2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C\) B. \(\int {g\left( x \right)d\left[ {f\left( x \right)} \right]} = {x^2}\cos x - 2x\sin x + 2\cos x + C\) C. \(\int {g\left( x \right)d\left[ {f\left( x \right)} \right]} = - {x^2}\cos x + 2x\sin x - 2\cos x + C\) D. \(\int {g\left( x \right)d\left[ {f\left( x \right)} \right]} = {x^2}\cos x - 2x\sin x - 2\cos x + C\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = \int {\left( {\sin x} \right)dx} = - \cos x + C,f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = - \cos x\\g\left( x \right) = \int {2xdx} = {x^2} + C,g\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow g\left( x \right) = {x^2}\end{array} \right.\) Suy ra \(\int {g\left( x \right)d\left[ {f\left( x \right)} \right]} = \int {{x^2}\sin xdx} \) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = \sin xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = - \cos x\end{array} \right. \Rightarrow \int {{x^2}\sin xdx} = - {x^2}\cos x + 2\int {x\cos xdx} \) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = x\\d{v_1} = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d{u_1} = dx\\{v_1} = \sin x\end{array} \right. \Rightarrow \int {{x^2}\sin xdx} = - {x^2}\cos x + 2x\sin x - 2\int {\sin xdx} \) \( \Rightarrow \int {g\left( x \right)d\left[ {f\left( x \right)} \right]} = - {x^2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C.\)
Câu 38: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 6\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {2f\left( {2x + 1} \right)dx} .\) A. \(I = 24\) B. \(I = \frac{3}{2}\) C. \(I = 12\) D. \(I = 6\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = 2x + 1 \Rightarrow dt = 2dx \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0;t = 1\\x = 1;t = 3\end{array} \right. \Rightarrow I = \int\limits_1^3 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 6.\)
Câu 39: Cho \(P = \int {x.\cos 2xdx} \). Hỏi P bằng biểu thức nào sau đây? A. \(P = \frac{1}{2}x\sin 2x - \frac{1}{2}\int {\sin 2xdx} \) B. \(P = x\sin 2x + \int {\sin 2xdx} \) C. \(P = \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{2}\int {\sin 2xdx} \) D. \(P = x\sin 2x - \int {\sin 2xdx} \) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \cos 2xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \frac{1}{2}\sin 2x\end{array} \right. \Rightarrow P = \frac{1}{2}x\sin 2x - \frac{1}{2}\int {\sin 2xdx} .\)
Câu 40: Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đường cong \(\left( C \right):y = {x^3} - 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;x = 4.\) A. \(S = 32\) B. \(S = 32\pi \) C. \(S = 40\) D. \(S = 40\pi \) Spoiler: Xem đáp án PT hoành độ giao điểm là: \({x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 2\end{array} \right.\) Suy ra diện tích cần tính bằng \(S = \int\limits_0^2 {\left( { - {x^3} + 3x} \right)dx} + \int\limits_2^4 {\left( {{x^3} - 4x} \right)dx} = 40\).
