Câu 391: Cho \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx = 1,} \int\limits_{ - 2}^4 {f\left( t \right)dt = - 4} .\) Tính \(\int\limits_2^4 {f\left( y \right)dy} .\) A. I=-5 B. I=-3 C. I=3 D. I=5 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int\limits_{ - 2}^4 {f\left( t \right)dt} - \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx = \int\limits_{ - 2}^4 {f\left( t \right)dt} + } \int\limits_2^{ - 2} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^4 {f\left( y \right)dy} + \int\limits_2^{ - 2} {f\left( y \right)dy = \int\limits_2^4 {f\left( y \right)dy} = - 5} .\)
Câu 392: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc \(v\left( t \right) = 160 - 10t\left( {m/s} \right).\) Tìm quãng đường S mà vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm đến thời điểm vật dừng lại. A. S=2560(m) B. S=1280(m) C. S=2480(m) D. S=3840(m) Spoiler: Xem đáp án Khi vật dừng lại thì \(v\left( t \right) = 160 - 10t\left( {m/s} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 16\) Quãng đường vật đi được là \(S = \int_0^{16} {\left( {160 - 10t} \right)dt = \left. {\left( {160t - 5{t^2}} \right)} \right|} _0^{16} = 1280.\)
Câu 393: Giả sử f(x) là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và các số thực a < b < c. Mệnh đề nào sau đây sai? A. \(\int\limits_a^b {cf(x)dx} = - c\int\limits_a^b {f(x)dx}\) B. \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_b^a {f(x)dx} + \int\limits_a^c {f(x)dx}\) C. \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} - \int\limits_b^c {f(x)dx}\) D. \(\int\limits_a^c {f(x)dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_b^c {f(x)dx}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: a<b<c suy ra: \(\begin{array}{l} \int\limits_a^c {f(x)dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_b^c {f(x)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} - \int\limits_b^c {f(x)dx} . \end{array}\) Từ đó ta thấy B là mệnh đề sai.
Câu 394: Biết rằng \(\int\limits_1^5 {\frac{3}{{{x^2} + 3x}}dx} = a\ln 5 + b\ln 2, \left( {a,b \in Z } \right).\) Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a + 2b = 0 B. a + b = 0 C. a - b = 0 D. 2a - b = 0 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \int\limits_1^5 {\frac{3}{{{x^2} + 3x}}dx} = \int\limits_1^5 {\frac{3}{{x(x + 3)}}dx} = \int\limits_1^5 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 3}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^5 - \left. {\left( {\ln \left| {x + 3} \right|} \right)} \right|_1^5 = \ln 5 - \ln 2\\ \Rightarrow a + b = 0. \end{array}\)
Câu 395: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^3},y = 2 - x\) và y = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. \(S = \int\limits_0^1 {{x^3}dx} + \int\limits_1^2 {\left( {x - 2} \right)dx}\) B. \(S = \frac{1}{2} + \int\limits_0^1 {{x^3}dx}\) C. \(S = \left| {\int\limits_0^2 {({x^3} + x - 2)dx} } \right|\) D. \(S=\int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - (2 - x)} \right|dx}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 2 - x và đường cong y = x3 là: \({x^3} = 2 - x \Leftrightarrow {x^3} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) Vậy diện tích hình phẳng là: \(S = {S_{OAB}} + {S_{ABC}} = \int\limits_0^1 {{x^3}dx} + \frac{1}{2}.\)
Câu 396: Cho F(x) là một nguyên hàm của \(f(x) = {e^{3x}}\) thỏa mãn F(0) = 1. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. \(F(x) = {e^{3x}}\) B. \(F(x) = - \frac{1}{3}{e^{3x}} + \frac{4}{3}\) C. \(F(x) = \frac{1}{3}{e^{3x}} + \frac{2}{3}\) D. \(F(x) = \frac{1}{3}{e^{3x + 1}}\) Spoiler: Xem đáp án \(F(x) = \int {{e^{3x}}dx} = \frac{1}{3}{e^{3x}} + C\) \(\begin{array}{l} F(0) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{3} + C = 1 \Leftrightarrow C = \frac{2}{3}\\ F(x) = \frac{1}{3}{e^{3x}} + \frac{2}{3}. \end{array}\)
Câu 397: Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx} = 2.\) Mệnh đề nào sai? A. \(\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)dx} = 2\) B. \(\int\limits_{ - 3}^3 {f(x + 1)dx} = 2\) C. \(\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)dx} = 1\) D. \(\int\limits_0^6 {\frac{1}{2}f(x - 2)dx} = 1\) Spoiler: Xem đáp án Chọn một hàm liên tục và xác định trên \(\mathbb{R}\) sao cho: \(\int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx} = 2.\) Thường ta chọn f(x) là hàm hằng để dễ tính toán. Chọn \(f(x) = a \Rightarrow \int\limits_{ - 2}^4 {adx} = \left. {ax} \right|_{ - 2}^4 = 6a = 2 \Rightarrow f(x) = \frac{1}{3}\) Thay vào các phương án ta có: \(\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)dx} = 2 \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^2 {\frac{1}{3}dx} = 1 \ne 2\) Vậy A sai. \(\int\limits_{ - 3}^3 {f(x + 1)dx} = \int\limits_{ - 3}^3 {\frac{1}{3}dx} = 2\) Vậy B đúng. \(\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)dx} = 2 \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^2 {\frac{1}{3}dx} = 1\) Vậy C đúng. \(\int\limits_0^6 {\frac{1}{2}f(x - 2)dx} = \int\limits_0^6 {\frac{1}{2}.\frac{1}{3}dx} = 1\) Vậy D đúng.
Câu 398: Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 0,\,y = x\sqrt {\ln (x + 1)}\) và x = 1 xung quanh trục Ox. A. \(V = \frac{\pi }{{18}}(12\ln 2 - 5)\) B. \(V = \frac{{5\pi }}{{18}}\) C. \(V = \frac{{5\pi }}{{6}}\) D. \(V = \frac{\pi }{6}(12\ln 2 - 5)\) Spoiler: Xem đáp án \(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}\ln (x + 1)dx}\) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln (x + 1)\\ dv = {x^2}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{1}{{x + 1}}dx\\ v = \frac{1}{3}{x^3} \end{array} \right.\) Vậy: \(\begin{array}{l} V = \pi \left[ {\left. {\frac{{{x^3}}}{3}\ln (x + 1)} \right|_0^1 - \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {\frac{{{x^3}}}{{x + 1}}dx} } \right] = \pi \left[ {\frac{1}{3}\ln 2 - \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{{x^3} + 1}}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} } \right]\\ = \pi \left[ {\frac{1}{3}\ln 2 - \int\limits_0^1 {\left( {({x^2} - x + 1) - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} } \right] = \frac{\pi }{{18}}(12\ln 2 - 5). \end{array}\)
Câu 399: Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật \(v(t) = 10t - {t^2},\) trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v(t) được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là bao nhiêu? A. v = 5(m/p) B. v = 9(m/p) C. v = 3(m/p) D. v = 7(m/p) Spoiler: Xem đáp án \(v(t) = 10t - {t^2}\) \(s(t) = \int {(10t - {t^2})dt} = 5{t^2} - \frac{{{t^3}}}{3} + C\) Khi t=0 thì S=0 suy ra C=0 Tại \(t = {t_0} \Rightarrow s = 162: - \frac{{{t^3}}}{3} + 5{t^2} - 162 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 9\\ t = - 4,937\\ t = 10,9 \end{array} \right.\) Loại t=-4,937 vì thời gian không âm. Loại t=10,9 vì khi thay vào vận tốc âm. Vậy t=9 là giá trị cần cần tìm suy ra: \(v(9)=10.9-9^2=9\)
Câu 400: Cho parapol (P) \(y=x^2\) và hai điểm A, B thuộc (P) sao cho AB=2. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB. A. \(S_{max}=\frac{4}{3}\) B. \(S_{max}=\frac{3}{4}\) C. \(S_{max}=\frac{2}{3}\) D. \(S_{max}=\frac{3}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Giả sử \(A(a,{a^2}),\,B(b,{b^2}) \in \left( P \right)\,(b > a)\) sao cho: AB = 2 Phương trình đường thẳng AB có dạng: \(y = \frac{{\left( {{b^2} - {a^2}} \right)}}{{(b - a)}}x + m \Leftrightarrow y = (b + a)x + m\) Thay tọa độ \(A(a;a^2)\) ta có: \({a^2} = (b + a)a + m \Rightarrow m = - ba\) Vậy phương trình đường thẳng AB là: \(y=(b+a)x-ab\) Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm ta có: \(S = \int\limits_a^b {\left| {(b + a)x - ab - {x^2}} \right|dx} = \int\limits_a^b {\left[ {(b + a)x - ab - {x^2}} \right]dx} = \frac{1}{6}{(b - a)^3}\)\(\begin{array}{l} AB = 2 \Rightarrow {\left( {b - a} \right)^2} + {({b^2} - {a^2})^2} = 4 \Leftrightarrow {(b - a)^2}(1 + {(a + b)^2}) = 4\\ \Rightarrow \left| {b - a} \right| = b - a \le 2\,(do\,1 + {(a + b)^2} \ge 1,\forall a,b) \end{array}\)Vậy: \(S_{max}=\frac{4}{3}\)
