Câu 401: Giả sử một vật đi từ trạng thái nghỉ t=0(s) chuyển động thẳng với vận tốc \(v\left( t \right) = t\left( {5 - t} \right)\left( {m/s} \right)\) . Tìm quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại. A. \(s = \frac{{125}}{9}\left( m \right)\) B. \(s = \frac{{125}}{12}\left( m \right)\) C. \(s = \frac{{125}}{3}\left( m \right)\) D. \(s = \frac{{125}}{6}\left( m \right)\) Spoiler: Xem đáp án Khi vật dừng lại, vận tốc của vật bằng 0. Ta có \(t\left( {5 - t} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = 5 \end{array} \right.\) Quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại: \(s = \int\limits_0^5 {t\left( {5 - t} \right)dt} = \left. {\left( {\frac{{5{t^2}}}{2} - \frac{{{t^3}}}{3}} \right)} \right|_0^5 = \frac{{125}}{6}\)
Câu 402: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \(y=x^2-2x\), trục hoành, trục tung, đường thẳng x = 1. Tính thể tích V hình tròn xoay sinh ra bởi (H) khi quay (H) quanh trục Ox. A. \(V = \frac{{8\pi }}{{15}}\) B. \(V = \frac{{4\pi }}{3}\) C. \(V = \frac{{15\pi }}{8}\) D. \(V = \frac{{7\pi }}{8}\) Spoiler: Xem đáp án \(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2}} \right)dx}\) \(= \left. {\pi \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^4} + 4\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{8\pi }}{{15}}.\)
Câu 403: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = 2\sqrt {ax} \left( {a > 0} \right)\), trục hoành và đường thẳng x = a bằng \(ka^2\). Tính giá trị của tham số k. A. \(k=\frac{7}{3}\) B. \(k=\frac{4}{3}\) C. \(k=\frac{12}{5}\) D. \(k=\frac{6}{5}\) Spoiler: Xem đáp án \(S = \int\limits_0^a {\left| {2\sqrt {ax} } \right|dx} = 2\sqrt a .\left. {\frac{2}{3}.{x^{\frac{3}{2}}}} \right|_0^a = \frac{4}{3}{a^2} = k{a^2} \Rightarrow k = \frac{4}{3}\)
Câu 404: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt x \,(x > 0).\) A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{2}{5}{x^2}\sqrt x + C\) B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{5}{x^2}\sqrt x + C\) C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{2}{5}x\sqrt x + C\) D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{3}{2}\sqrt x + C\) Spoiler: Xem đáp án \(\int {x\sqrt x dx} = \int {{x^{\frac{3}{2}}}dx} = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + C = \frac{2}{5}{x^2}\sqrt x + C\)
Câu 405: Viết công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^2-1\), trục hoành và đường thẳng x = 2. A. \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 1} \right|d{\rm{x}}}\) B. \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^2} - 1} \right|d{\rm{x}}}\) C. \(S = \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 1} \right)d{\rm{x}}} } \right|\) D. \(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - 1} \right|d{\rm{x}}}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=x^2-1\) và trục hoành: \({x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\) \(\Rightarrow S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^2} - 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 1} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} - 1} \right|dx}\)
Câu 406: Biết \(\int\limits_0^a {\left( {2x - 3} \right)dx} = - 2\). Tính giá trị của tham số a. A. a = -2 B. a = 3 C. a = 1 D. a = 1, a =2 Spoiler: Xem đáp án \(\int\limits_0^a {\left( {2x - 3} \right)dx} = - 2 \Leftrightarrow \left. {\left( {{x^2} - 3x} \right)} \right|_0^a = - 2 \Leftrightarrow {a^2} - 3a + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 1\\ a = 2 \end{array} \right.\)
Câu 407: Một ô tô đang chạy đều với vân tốc a(m/s) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số \(v(t) = - 5t + a\,(m/s),\) trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi vận tốc ban đầu a của ô tô là bao nhiêu, biết từ lúc đạp phanh đến khi dừng hản ô tô di chuyển được 40 mét. A. a=20 B. a=10 C. a=40 D. a=25 Spoiler: Xem đáp án Khi xe dừng hẳn vận tốc bằng 0 nên: \(- 5t + a = 0 \Leftrightarrow t = \frac{a}{5}.\) Ta có: \(S = \int\limits_0^{\frac{a}{5}} {v(t)dt} = \int\limits_0^{\frac{a}{5}} {( - 5t + a)dt} = \frac{1}{{10}}{a^2}\) \(S = 40 \Leftrightarrow \frac{1}{{10}}{a^2} = 40 \Rightarrow a = 20.\)
Câu 408: Cho hình cong (H) giới hạn bởi các đường $y=xe^x$ và $x = 1$. Đường thẳng $x = k$ với $0 < k < 1$ chia (H) thành 2 phần có diện tích là $S_1$ và $S_2$ như hình vẽ bên. Để \({S_1} = {S_2}\) thì k thoả mãn hệ thức nào trong các hệ thức sau? A. \({e^k} = \frac{1}{{1 - k}}\) B. \({e^k} = \frac{2}{{1 - k}}\) C. \({e^k} = \frac{2}{{2 - k}}\) D. \({e^k} = \frac{1}{{2 - 2k}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(S = {S_1} + {S_2} = \int\limits_0^1 {x{e^x}dx}\). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = {e^x} \end{array} \right. \Rightarrow S = \left. {\left( {x{e^x} - {e^x}} \right)} \right|_0^1 = 1\) Mặt khác: \({S_1} = \int\limits_0^k {x{e^x}dx} = \left. {\left( {x{e^x} - {e^x}} \right)} \right|_0^k = \left( {k - 1} \right){e^k} + 1 = \frac{S}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {e^k} = \frac{1}{{2\left( {1 - k} \right)}}\)
Câu 409: Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=e^x\), trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=3$ quay quanh trục Ox tạo thành. A. \(V = \frac{{\left( {{e^6} - 1} \right)\pi }}{2}\) B. \(V = \frac{{{e^6} - 1}}{2}\) C. \(V = \frac{{\left( {{e^6} + 1} \right)\pi }}{2}\) D. \(V = \frac{{{e^6} + 1}}{2}\) Spoiler: Xem đáp án \(V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}dx = \pi \int\limits_0^3 {{e^{2x}}dx = \frac{\pi }{2}{e^{2x}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{\pi }{2}\left( {{e^6} - 1} \right)} }\)
Câu 410: Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi trục hoành, các đường thẳng $x=0, x=1$ và đường cong $y=e^x$ A. \(S=e -1\) B. \(S=\frac{1}{2}e +\frac{1}{2}\) C. \(S=\frac{3}{2}e-\frac{1}{2}\) D. \(S=2e -3\) Spoiler: Xem đáp án Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có \(S = \int\limits_0^1 {\left| {{e^x}} \right|dx} = \int\limits_0^1 {{e^x}dx} = e - 1.\)
