Câu 411: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{x + 1}}\left( {x > - 1} \right).\) A. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{3}{4}{\left( {x + 1} \right)^{\frac{4}{3}}} + C\) B. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{4}{3}{\left( {x + 1} \right)^{\frac{4}{3}}} + C\) C. \(\int {f\left( x \right)dx} = - \frac{2}{3}{\left( {x + 1} \right)^{\frac{2}{3}}} + C\) D. \(\int {f\left( x \right)dx} = - \frac{3}{2}{\left( {x + 1} \right)^{\frac{2}{3}}} + C\) Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(u = \sqrt[3]{{x + 1}} \Rightarrow {u^3} = x + 1 \Rightarrow 3{u^2}du = dx\) Vậy: \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\sqrt[3]{{x + 1}}dx} = 3\int {u.{u^2}du = \frac{3}{4}{u^4} + C} = \frac{3}{4}{\left( {x + 1} \right)^{\frac{4}{3}}} + C.\)
Câu 412: Đặt \(I = \int\limits_1^2 {\left( {2mx + 1} \right)dx}\) (m là tham số thực). Tìm m để $I=4$ A. m=-1 B. m=-2 C. m=1 D. m=2 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(I = \left( {m{x^2} + x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 1 \end{array} = \left( {4m + 2} \right) - \left( {m + 1} \right) = 3m + 1 = 4 \Leftrightarrow m = 1} \right.\)
Câu 413: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos \left( {3x + 1} \right).\) A. \(\int {f\left( x \right)dx} = 3\sin \left( {3x + 1} \right) + C\) B. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{3}\sin \left( {3x + 1} \right) + C\) C. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{ - 1}}{{3x}}\sin \left( {3x + 1} \right) + C\) D. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{3}\cos \left( {3x + 1} \right) + C\) Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(u = 3x + 1 \Rightarrow du = 3dx\) Vậy: \(\int {\cos \left( {3x + 1} \right)dx} = \frac{1}{3}\int {\cos udu} = \frac{1}{3}\sin u + C = \frac{1}{3}\sin \left( {3x + 1} \right) + C.\)
Câu 414: Một chiếc cổng Parabol cao 16m và 2 chân cổng cách nhau 8m như hình vẽ. Nhà thiết kế xây dựng xây 2 cây cột AD, BC cách nhau 4m (2 cây cột này đối xứng với nhau qua trục đối xứng của Parabol), 2 phần cổng nhỏ ở 2 bên dành cho xe máy và xe đạp qua lại và phần cổng to ở giữa chỉ dành riêng cho xe bus BRT. Tính diện tích phần thiết diện cổng dành cho xe bus BRT đi qua. A. \(S = \frac{{176}}{3}\left( {{m^2}} \right)\) B. \(S = \frac{{128}}{3}\left( {{m^2}} \right)\) C. \(S = \frac{{64}}{3}\left( {{m^2}} \right)\) D. \(S = \frac{{256}}{3}\left( {{m^2}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Chọn hệ trục như hình vẽ \(M\left( { - 4;0} \right);N\left( {4;0} \right)\) Khi đó phương trình Parabol có dạng \(y = a{x^2} + bx + c = a\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)\) (vì parabol cắt trục Ox tại M và N). Mặt khác Parabol đi qua điểm \(\left( {0;16} \right) \Rightarrow a = - 1\) Do đó \(\left( P \right):y = 16 - {x^2}\) Khi đó diện tích cổng to là \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {16 - {x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {16x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \frac{{176}}{3}\left( {{m^2}} \right)\)
Câu 415: Cho \(I = \int\limits_0^1 {f\left( {\frac{{\sqrt {x} }}{{\sqrt x + \sqrt {1 - x} }}} \right)dx}.\) . Tính \(J = \int\limits_0^1 {f\left( {\frac{{\sqrt {1 - x} }}{{\sqrt x + \sqrt {1 - x} }}} \right)dx}.\) A. J = 10 B. J = -10 C. J = -9 D. J = 9 Spoiler: Xem đáp án Đặt: t = 1 - x ta có: dt = -dx Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 1\\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \end{array} \right.\) Khi đó: \(J = \int\limits_1^0 {f\left( {\frac{{\sqrt t }}{{\sqrt {1 - t} + \sqrt t }}} \right)\left( { - dt} \right)} = \int\limits_0^1 {f\left( {\frac{{\sqrt t }}{{\sqrt t + \sqrt {1 - t} }}} \right)dt}\) \(J = \int\limits_0^1 {f\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt {1 - x} }}} \right)dx} = I = 10\)
Câu 416: Biết rằng $I = \int_{1}^{\sqrt{e}} \frac{dx}{x(\ln^2 x - 3\ln x + 2)} = a\ln3 + b\ln2 + c$. Tính tổng \(S = a + b + c.\) A. S = 3 B. S = 2 C. S = 0 D. S = 4 Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(t = \ln x \Rightarrow I = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{dt}}{{{t^2} - 3t + 2}}} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( {\frac{1}{{t - 2}} - \frac{1}{{t - 1}}} \right)dt}\) \(= \left. {\ln \left| {\frac{{t - 2}}{{t - 1}}} \right|} \right|_0^{\frac{1}{2}} = \ln \frac{3}{2} = \ln 3 - \ln 2\) Do đó \(a = 1;b = - 1;c = 0 \Rightarrow S = 0\)
Câu 417: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^2.e^x$, trục hoành và đường thẳng $x = 1$. A. S = e - 2 B. S = 2 + e C. S = 2 - e D. S = 1 Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm \({x^2}{e^x} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) Ta có \(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2}{e^x}} \right|dx} = \int\limits_0^1 {{x^2}{e^x}dx} = e - 2\)
Câu 418: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \tan x\). A. \(\int {f(x)dx} = - \ln \left| {\cos x} \right| + C\) B. \(\int {f(x)dx} = \ln \left| {\cos x} \right| + C\) C. \(\int {f(x)dx} = - \ln \left| {\sin x} \right| + C\) D. \(\int {f(x)dx} = \ln \left| {\sin x} \right| + C\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int {f(x)dx} = \int {\tan xdx} = \int {\frac{{\sin xdx}}{{\cos x}}}\) Đặt \(u = \cos \Rightarrow du = - \sin xdx\) Vậy \(\int {f(x)dx} = - \int {\frac{1}{u}du = - \ln \left| u \right|} = - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)
Câu 419: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [1;5], biết rằng $\int_{1}^{3} f'(x)dx = 3$; $\int_{1}^{5}f'(x)dx = 4$. Tính \(I = \int\limits_5^3 {f'\left( x \right)dx}.\) A. I = 7 B. I = 1 C. I = -7 D. I = -1 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(I = \int\limits_5^3 {f'\left( x \right)dx} = \int\limits_5^1 {f'\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f'\left( x \right)dx} = - \int\limits_1^5 {f'\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f'\left( x \right)dx}\)\(= - 4 + 3 = - 1\)
Câu 420: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\) và \(F(2)=3\). Tính F(1). A. \(F\left( 1 \right) = 3 - \ln \frac{7}{3}\) B. \(F\left( 1 \right) = 3 + \ln \frac{7}{3}\) C. \(F\left( 1 \right) = 3 - \ln 2\) D. \(F\left( 1 \right) = 3 + \ln 2\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int {f(x)dx} = \int {\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}dx}\) Đặt: \(u = {x^2} + x + 1 \Rightarrow du = \left( {2x + 1} \right)dx\) Vậy: \(\int {f(x)dx} = \int {\frac{1}{u}du} = \ln \left| u \right| + C = \ln \left| {{x^2} + x + 1} \right| + C = \ln ({x^2} + x + 1) + C\) Ta có: \(F(2) = 3 \Rightarrow \ln 7 + C = 3 \Rightarrow C = 3 - \ln 7\) Do đó: \(F\left( 1 \right) = \ln 3 + 3 - \ln 7 = 3 - \ln \frac{7}{3}.\)
