Câu 421: Cho hàm số \(f(x) = \frac{a}{{{{(x + 1)}^3}}} + bx{e^x}.\) Tìm a và b biết rằng \(f'(x) = - 22\) và \(\int\limits_0^1 {f(x)dx = 5.}\) A. \(a = - 2;b = - 8\) B. \(a = 2;b =8\) C. \(a =8;b =2\) D. \(a =-8;b =-2\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(f'(x) = - \frac{{3a}}{{{{(x + 1)}^2}}} + b{e^x}(x + 1);f'(0) = - 22 \Leftrightarrow - 3a + 2b = - 22\,(1)\) \(\begin{array}{l} \int\limits_0^1 {f(x)dx = 5} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left( {a{{\left( {x + 1} \right)}^{ - 3}} + bx{e^x}} \right)dx} = 5\\ \Leftrightarrow \left. {\frac{a}{{ - 2{{(x + 1)}^2}}}} \right|_0^1 + b\left( {\left. {x{e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx} } \right) = 5\\ \Leftrightarrow \left. {\frac{{ - a}}{{2{{(x + 1)}^2}}}} \right|_0^1 + \left. {bx{e^x}} \right|_0^1 - \left. {b{e^x}} \right|_0^1 \Leftrightarrow \frac{3}{8}a + b = 5\,\,(2) \end{array}\) Từ (1) (2) suy ra a=8; b=2.
Câu 422: Cho a, b, c là các số tự nhiên không âm, tính tổng \(S=a + b + c\) biết \(\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{cosx}}{{{{\left( {sinx} \right)}^2} - 5\sin x + 6}}dx = aln\frac{4}{c} + b.\) A. S=4 B. S=1 C. S=3 D. S=0 Spoiler: Xem đáp án Tính tích phân: \(\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{cosx}}{{{{\left( {sinx} \right)}^2} - 5\sin x + 6}}dx.\) Đặt \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = t,\) \(t \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow \cos xdx = dt\). Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0;x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\) Lúc đó: \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{{t^2} - 5 + 6}} = \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{(t - 2)(t - 3)}}} }\)\(= \left. {\left( {\ln \left| {t - 3} \right| - \ln \left| {t - 2} \right|} \right)} \right|_0^1 = \ln \frac{4}{3}.\) Khi đó \(a = 1,b = 0,c = 3\) hay \(a + b + c = 1 + 3 + 0\).
Câu 423: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2x - {x^2}\) và Ox. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục hoành. A. \(V = \frac{{16\pi }}{{15}}\) B. \(V = \frac{{136\pi }}{{15}}\) C. \(V = \frac{{16}}{{15}}\) D. \(V = \frac{{136 }}{{15}}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm: \(2x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\) Khi đó thể tích khối tròn xoay là: \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx} = \left. {\pi \left( {\frac{{4{x^3}}}{3} - {x^4} + \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{16\pi }}{{15}}.\)
Câu 424: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{x - 1}}{{{x^2}}}.\) A. \(\int {f(x)dx = } \ln \left| x \right| - \frac{1}{x} + C\) B. \(\int {f(x)dx = } \ln \left| x \right| + \frac{1}{x} + C\) C. \(\int {f(x)dx = } {e^x} + \frac{1}{x} + C\) D. \(\int {f(x)dx = } \ln x + \frac{1}{x} + C\) Spoiler: Xem đáp án \(\int {\frac{{x - 1}}{{{x^2}}}dx} = \int {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} = \ln \left| x \right| + \frac{1}{x} + C\)
Câu 425: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x = 0;x = \pi\), biết rằng thiết diện của vật thể với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \(x\left( {0 \le x \le \pi } \right)\) là một tam giác đều có cạnh là \(2\sqrt {\sin x} .\) A. \(V = \sqrt 3\) B. \(V = \frac{\pi}{\sqrt 3}\) C. \(V = 2\sqrt 3\) D. \(V = 2\pi\) Spoiler: Xem đáp án Gọi S(x) là diện tích của thiết diện đã cho thì: \(S\left( x \right) = {\left( {2\sqrt {\sin x} } \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 \sin x.\) Thể tích vật thể là: \(V = \int\limits_0^\pi {S\left( x \right)dx} = \int\limits_0^\pi {\sqrt 3 \sin xdx} = 2\sqrt 3 .\)
Câu 426: Tìm m sao cho \(\int\limits_0^m {\left( {2x + 6} \right)dx} = 7.\) A. m=1 hoặc m=7 B. m=1 hoặc m=-7 C. m=-1 hoặc m=7 D. m=-1 hoặc m=-7 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \int\limits_0^m {\left( {2x + 6} \right)dx} = 7 \Leftrightarrow \left. {\left( {{x^2} + 6x} \right)} \right|_0^2 = 7 \Leftrightarrow {m^2} + 6m = 7\\ \Leftrightarrow {m^2} + 6m - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m = - 7 \end{array} \right. \end{array}\)
Câu 427: Cho \(\int\limits_0^2 {f(x)dx = 3.}\) Tính \(I = \int\limits_0^2 {\left[ {4f(x) - 3} \right]dx.}\) A. I=2 B. I=-1 C. I=6 D. I=8 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\begin{array}{l} I = \int\limits_0^2 {\left[ {4f(x) - 3} \right]dx} = 4\int\limits_0^2 {f(x)dx - 3} \int\limits_0^2 {dx} \\ = \left. {4.3 - 3x} \right|_0^2 = 12 - 6 = 6. \end{array}\)
Câu 428: Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = ax + \frac{b}{{{x^2}}}\,(x \ne 0),\) biết rằng \(F( - 1) = 1,F(1) = 4,f(1) = 0.\) A. \(F(x) = \frac{{3{x^2}}}{2} - \frac{3}{{2x}} - \frac{1}{2}\) B. \(F(x) = \frac{{3{x^2}}}{4} - \frac{3}{{2x}} - \frac{1}{2}\) C. \(F(x) = \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{3}{{4x}} - \frac{7}{2}\) D. \(F(x) = \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{3}{{2x}} + \frac{7}{4}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \int {f(x)dx} = \int {\left( {ax + \frac{b}{{{x^2}}}} \right)dx} = \int {\left( {ax + b{x^{ - 2}}} \right)dx} \\ = \frac{{a{x^2}}}{2} + \frac{{b{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} + C = \frac{{a{x^2}}}{2} - \frac{b}{x} + C = F(x). \end{array}\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} F( - 1) = 1\\ F(1) = 4\\ f(1) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{a}{2} + b + C = 1\\ \frac{a}{2} - b + C = 4\\ a + b = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{3}{2}\\ b = - \frac{3}{2}\\ c = \frac{7}{4} \end{array} \right.\) Vậy: \(F(x) = \frac{{3{x^2}}}{4} + \frac{3}{{2x}} + \frac{7}{4}\)
Câu 429: Cho \(f(x) = (a{x^2} + bx + c)\sqrt {2x - 1}\) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{{10{x^2} - 7x + 2}}{{\sqrt {2x - 1} }}\) trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right).\)Tính tổng S=a+b+c. A. S=3 B. S=0 C. S=4 D. S=2 Spoiler: Xem đáp án \(\left( {\left( {a{x^2} + bx + c} \right)\sqrt {2x - 1} } \right)' = \frac{{5a{x^2} + ( - 2a + 3b)x - b + c}}{{\sqrt {2x - 1} }} = \frac{{10{x^2} - 7x + 2}}{{\sqrt {2x - 1} }}\) Vậy: \(\left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = - 1\\ c = 1 \end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 2.\)
Câu 430: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x\cos 2xdx} .\) A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C\) B. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{2}\cos 2x + C\) C. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}\sin 2x}}{4} + C\) D. \(\int {f(x)dx} = \sin 2x + C\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = \cos 2xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = \frac{1}{2}\sin 2x \end{array} \right.\) Vậy: \(\begin{array}{l} \int {x\cos 2xdx} = \frac{1}{2}x.\sin 2x - \frac{1}{2}\int {\sin 2xdx} \\ = \frac{1}{2}x.\sin 2x - \frac{1}{4}\cos 2x + C. \end{array}\)
