Câu 431: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {(\sin x + 1)^3}\cos dx.\) A. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{{({\mathop{\rm cosx}\nolimits} + 1)}^4}}}{4} + C\) B. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{{\sin }^4}x}}{4} + C\) C. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{{(sinx + 1)}^4}}}{4} + C\) D. \(\int {f(x)dx} = 4{(\sin x + 1)^3} + C\) Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(u = \sin x + 1 \Rightarrow du = \cos xdx\) Vậy: \(\int {{{(\sin x + 1)}^3}\cos x} dx = \int {{u^3}du} = \frac{1}{4}{u^4} + C = \frac{1}{4}{(\sin x + 1)^4} + C.\)
Câu 432: Tìm nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{{\ln 2x}}{{{x^2}}}.\) A. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{x}\ln (2x - 1)\) B. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{x}\ln (2x + 1)\) C. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{x}\ln (2x + 1)\) D. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{x}\ln (1-2x)\) Spoiler: Xem đáp án \(I = \int {\frac{{\ln 2x}}{{{x^2}}}}\) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln 2x\\ dv = \frac{1}{{{x^2}}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{1}{x}dx\\ v = - \frac{1}{x} \end{array} \right.\) \(I = - \frac{{\ln 2x}}{x} + \int {\frac{1}{{{x^2}}}dx} = - \frac{{\ln 2x}}{x} - \frac{1}{x} + C = \frac{1}{x}(\ln 2x + 1) + C.\)
Câu 433: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2x({e^x} - 1).\) A. \(\int {f(x)dx = 2{e^x}(x - 1) - {x^2}}\) B. \(\int {f(x)dx = 2{e^x}(x - 1) -4 {x^2}}\) C. \(\int {f(x)dx = 2{e^x}(x - 1) -2 {x^2}}\) D. \(\int {f(x)dx = 2{e^x}(1-x) - {x^2}}\) Spoiler: Xem đáp án \(I = \int {2x({e^x} - 1)dx}\) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = 2x\\ dv = ({e^x} - 1)dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 2dx\\ v = {e^x} - x \end{array} \right.\) Vậy: \(\begin{array}{l} I = 2x({e^x} - x) - \int {2({e^x} - x)dx} \\ = 2x({e^x} - x) - (2{e^x} - {x^2}) + C\\ = 2x{e^x} - 2{x^2} - 2{e^x} + {x^2} + C\\ = 2{e^x}(x - 1) - {x^2} + C. \end{array}\)
Câu 434: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x.{e^x}.\) A. \(\int {f(x)dx = x.{e^x} + C}\) B. \(\int {f(x)dx = {e^x} + C}\) C. \(\int {f(x)dx = x.{e^x}-e^x + C}\) D. \(\int {f(x)dx = x.{e^x}+e^x + C}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\) Vậy: \(\int {x.{e^x}dx} = x{e^x} - \int {{e^x}dx} = x{e^x} - {e^x} + C.\)
Câu 435: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {2 - {x^2}} }}.\) A. \(\int {f(x)dx = x\sqrt {2 - {x^2}} } + C\) B. \(\int {f(x)dx = - \frac{1}{3}({x^2} + 4)\sqrt {2 - {x^2}} } + C\) C. \(\int {f(x)dx = - \frac{1}{3}{x^2}\sqrt {2 - {x^2}} } + C\) D. \(\int {f(x)dx = } - \frac{1}{3}({x^2} - 4)\sqrt {2 - {x^2}} + C\) Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(t = \sqrt {2 - {x^2}} \Rightarrow {t^2} = 2 - {x^2} \Rightarrow {x^2} = 2 - {t^2} \Rightarrow xdx = - tdt\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {2 - {x^2}} }}dx = } \int {\left( {{t^2} - 2} \right)dt} = \frac{{{t^3}}}{3} - 2t + C\\ = \frac{1}{3}{\left( {\sqrt {2 - {x^2}} } \right)^3} - 2\sqrt {2 - {x^2}} = - \frac{1}{3}({x^2} + 4)\sqrt {2 - {x^2}} \end{array}\)
Câu 436: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{(1 - 4x)}^{10}}}}}}.\) A. \(\int {f(x)dx = } - \frac{3}{7}{(1 - 4x)^{ - \frac{7}{3}}} + C\) B. \(\int {f(x)dx = } \frac{12}{7}{(1 - 4x)^{ - \frac{7}{3}}} + C\) C. \(\int {f(x)dx = } \frac{3}{28}{(1 - 4x)^{ - \frac{7}{3}}} + C\) D. \(\int {f(x)dx = } -\frac{3}{28}{(1 - 4x)^{ - \frac{7}{3}}} + C\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = \sqrt[3]{{1 - 4x}} \Rightarrow {t^3} = 1 - 4x \Rightarrow 3{t^2}dt = - 4dx \Rightarrow - \frac{3}{4}{t^2}dt = dx\) Vậy: \(\begin{array}{l} \int {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{{(1 - 4x)}^{10}}}}}}dx} = - \frac{3}{4}\int {\frac{{{t^2}}}{{{t^{10}}}}dt} = - \frac{3}{4}\int {\frac{1}{{{t^8}}}dt} \\ = \frac{3}{{28}}.\frac{1}{{{t^7}}} + C = \frac{3}{{28}}{\left( {1 - 4x} \right)^{ - \frac{7}{3}}} + C. \end{array}\)
Câu 437: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{7{x^3} + 1}}.\) A. \(y =\ln\left| {7{x^3} + 1} \right|\) B. \(y =\frac{1}{7}\ln\left| {7{x^3} + 1} \right|\) C. \(y =\frac{1}{21}\ln\left| {7{x^3} + 1} \right|\) D. \(y =\frac{1}{14}\ln\left| {7{x^3} + 1} \right|\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = 7{x^3} + 1 \Rightarrow dt = 21{x^2}dx \Rightarrow \frac{1}{{21}}dt = {x^2}dx\) \(\int {\frac{{{x^2}}}{{7{x^3} + 1}}dx} = \frac{1}{{21}}\int {\frac{1}{u}} du = \frac{1}{{21}}\ln \left| u \right| + C = \frac{1}{{21}}\ln \left| {7{x^3} + 1} \right| + C\)
Câu 438: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x\sqrt {1 + {x^2}} .\) A. \(\int {f(x)dx = \frac{{{x^2}}}{2}{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}\) B. \(\int {f(x)dx = \frac{{{1}}}{2}{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}\) C. \(\int {f(x)dx = \frac{{{1}}}{3}{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}\) D. \(\int {f(x)dx = \frac{{{1}}}{3}{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^3}}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = \sqrt {1 + {x^2}} \Rightarrow {t^2} = 1 + {x^2} \Rightarrow xdx = tdt\) Suy ra: \(\int {f(x)dx = \int {x\sqrt {1 + {x^2}} dx} = \int {{t^2}dt} = \frac{{{t^3}}}{3} + C = \frac{1}{3}{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^3} + C}\)
Câu 439: Tìm hàm số \(y=f(x)\) biết rằng \(f'(x) = ({x^2} - x)(x + 1)\) và \(f(0)=3.\) A. \(y = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2} + 3\) B. \(y = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2} - 3\) C. \(y = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^2}}}{2} + 3\) D. \(y = 3{x^2} - 1\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} f(x) = \int {({x^2} - x)(x + 1)dx} \\ f(0) = 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = \int {({x^3} - x)dx} \\ f(0) = 3 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2} + C\\ f(0) = C = 3 \end{array} \right. \Rightarrow f(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2} + 3. \end{array}\)
Câu 440: \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{2x + 3}}{{{x^2}}}\,\,(x \ne 0).\) Biết rằng \(F(1) = 1,\) \(F(x)\) là biểu thức nào sau đây? A. \(F(x) = 2x - \frac{3}{x} + 2\) B. \(F(x) = 2\ln \left| x \right| + \frac{3}{x} + 2\) C. \(F(x) = 2x + \frac{3}{x} -4\) D. \(F(x) = 2\ln \left| x \right| - \frac{3}{x} + 4\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} I = \int {\frac{{2x + 3}}{{{x^2}}}dx} = \int {\left( {\frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)dx} = 2\ln \left| x \right| - \frac{3}{4} + C\\ F(1) = 1 \Rightarrow C = 4 \Rightarrow F(x) = 2\ln \left| x \right| - \frac{3}{x} + 4 \end{array}\)
