Câu 451: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. \(\int {\sin 2xdx} = \frac{{ - \cos 2x}}{2} + C;C \in \mathbb{R}\) B. \(\int {\sin 2xdx} = \frac{{\cos 2x}}{2} + C;C \in\) C. \(\int {\sin 2xdx} =2\cos2x+ C;C \in \mathbb{R}\) D. \(\int {\sin 2xdx} =\cos2x+ C;C \in \mathbb{R}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx} = - \frac{1}{a}.\cos \left( {ax + b} \right) + C\) Áp dụng công thức trên ta có: \(\int {\sin 2xdx} = \frac{{ - 1}}{2}\cos 2x + C.\)
Câu 452: Tìm nguyên hàm \(I = \int {\frac{1}{{4 - {x^2}}}dx} .\) A. \(I = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x + 2}}{{x - 2}}} \right| + C\) B. \(I = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right| + C\) C. \(I = \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x+2}}} \right| + C\) D. \(I = \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{x + 2}}{{x - 2}}} \right| + C\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \int {\frac{1}{{4 - {x^2}}}dx} = \int {\frac{1}{{\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)}}dx} \\ = \frac{1}{4}\int {\left( { - \frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{2 + x}}} \right)dx} = \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right| + C \end{array}\)
Câu 453: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x\sin 2x\), trục hoành và các đường thẳng \(x = 0,x = \pi .\) A. \(S = 2\pi\) B. \(S = \frac{\pi}{4}\) C. \(S = \frac{\pi}{2}\) D. \(S = \pi\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(S = \int\limits_0^\pi {\left| {x\sin 2x} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\sin 2xdx} - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {x\sin 2xdx} = \pi\)
Câu 454: Tìm nguyên hàm \(I = \int {\left( {x - 1} \right)\sin 2xdx} .\) A. \(I = \frac{{\left( {1 - 2x} \right)\cos 2x + \sin 2x}}{2} + C\) B. \(I = \frac{{\left( {2 - 2x} \right)\cos 2x + \sin 2x}}{2} + C\) C. \(I = \frac{{\left( {1 - 2x} \right)\cos 2x + \sin 2x}}{4} + C\) D. \(I = \frac{{\left( {2- 2x} \right)\cos 2x + \sin 2x}}{24} + C\) Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x - 1\\ dv = \sin 2xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = - \frac{1}{2}\cos 2x \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \int {\left( {x - 1} \right)\sin 2xdx} = - \left( {x - 1} \right)\frac{1}{2}\cos 2x + \int {\frac{1}{2}\cos 2xdx} \\ = - \left( {x - 1} \right)\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C \end{array}\)
Câu 455: Tính thể tích V của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2} - 2x\) và \(y = - {x^2}\) quay quanh trục Ox. A. \(V = \frac{4}{3}\) B. \(V = \frac{4\pi}{3}\) C. \(V = \frac{\pi}{3}\) D. \(V = \frac{1}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} - 2x = - {x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.\) Do \(0> - {x^2} > {x^2} - 2x,\forall x \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow {\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} > {\left( { - x} \right)^2},\forall x \in \left[ {0;1} \right]\) nên: \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2} - {{\left( { - {x^2}} \right)}^2}} \right]dx} = \frac{\pi }{3}.\)
Câu 456: Tìm nguyên hàm \(I = \int {x\ln \left( {2x - 1} \right)dx} .\) A. \(I = \frac{{4{x^2} - 1}}{8}\ln \left| {2x - 1} \right| + \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{4} + C\) B. \(I = \frac{{4{x^2} - 1}}{8}\ln \left| {2x - 1} \right| - \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{4} + C\) C. \(I = \frac{{4{x^2} + 1}}{8}\ln \left| {2x - 1} \right| + \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{4} + C\) D. \(I = \frac{{4{x^2} + 1}}{8}\ln \left| {2x - 1} \right| - \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{4} + C\) Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln \left( {2x - 1} \right)\\ dv = xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{2}{{2x - 1}}\\ v = \frac{{{x^2}}}{2} \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \int {x\ln \left( {2x - 1} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2}.\ln \left( {2x - 1} \right) - \int {\frac{{{x^2}}}{{2x - 1}}} dx\\ = \frac{{{x^2}}}{2}.\ln \left( {2x - 1} \right) - \frac{1}{2}\int {\left( {\left( {x + 1} \right) + \frac{1}{{2x - 1}}} \right)dx} \end{array}\) \(= \frac{{4{x^2} - 1}}{8}\ln \left| {2x - 1} \right| - \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{4} + C\)
Câu 457: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \left( {x - 1} \right){e^{2x}},\) trục hoành và các đường thẳng \(x=0;x=2.\) A. \(S = \frac{{{e^4}}}{4} + \frac{{{e^2}}}{2} - \frac{3}{4}\) B. \(S = \frac{{{e^4}}}{4} - \frac{{{e^2}}}{2} - \frac{3}{4}\) C. \(S = \frac{{{e^4}}}{4} + \frac{{{e^2}}}{2} + \frac{3}{4}\) D. \(S = \frac{{{e^4}}}{4} - \frac{{{e^2}}}{2} + \frac{3}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \((x - 1){e^{2x}} = 0 \Leftrightarrow x = 1\) Trên khoảng (0;2): \(\begin{array}{l} (x - 1){e^{2x}} < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1\\ (x - 1){e^{2x}} > 0 \Leftrightarrow 1 < x < 2 \end{array}\) Suy ra: \(S = \int\limits_0^2 {\left| {\left( {x - 1} \right){e^{2x}}} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right){e^{2x}}dx} + \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right){e^{2x}}dx} = \frac{{{e^4}}}{4} + \frac{{{e^2}}}{2} - \frac{3}{4}\)
Câu 458: Tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \left( {x - 1} \right){e^x},y = {x^2} - 1.\) A. \(S = e + \frac{8}{3}\) B. \(S = e + \frac{2}{3}\) C. \(S = e - \frac{2}{3}\) D. \(S = e - \frac{8}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm: \(\left( {x - 1} \right){e^x} = {x^2} - 1 \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{e^x} - x - 1} \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} S = \int\limits_0^1 {\left| {\left( {x - 1} \right){e^x} - {x^2} + 1} \right|d{\rm{x}}} \\ = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 1 - (x - 1){e^x}} \right)dx} = e - \frac{8}{3} \end{array}\)
Câu 459: Tìm nguyên hàm \(I = \int {\left( {2x - 1} \right){e^{ - x}}dx} .\) A. \(I = - \left( {2x + 1} \right){e^{ - x}} + C\) B. \(I = - \left( {2x - 1} \right){e^{ - x}} + C\) C. \(I = - \left( {2x + 3} \right){e^{ - x}} + C\) D. \(I = - \left( {2x - 3} \right){e^{ - x}} + C\) Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = 2x - 1\\ dv = {e^{ - x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 2dx\\ v = - {e^{ - x}} \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \int {\left( {2x - 1} \right){e^{ - x}}dx} = - \left( {2x - 1} \right){e^{ - x}} + 2\int {{e^{ - x}}dx} \\ = - \left( {2x - 1} \right){e^{ - x}} - 2{e^{ - x}} + C = \left( { - 2x - 1} \right){e^{ - x}} + C \end{array}\)
Câu 460: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{{{{\cos }^2}x}}\) thỏa mãn \(F(0)=0\). Tính \(F(\pi)\). A. \(F\left( \pi \right) = - 1\) B. \(F\left( \pi \right) = \frac{1}{2}\) C. \(F\left( \pi \right) = 1\) D. \(F\left( \pi \right) = 0\) Spoiler: Xem đáp án \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{x}{{{{\cos }^2}x}}dx}\) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = \tan x \end{array} \right.\) \(\Rightarrow F(x) = x.\tan x - \int {{\mathop{\rm tanx}\nolimits} .dx} = x.\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + C\) \(F\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\) Thay \(x = \pi \Rightarrow F\left( x \right) = 0\)
