Câu 461: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^3}x}}{x}.\) A. \(F\left( x \right) = \frac{{x.{{\ln }^4}\left( {x + 1} \right)}}{4}\) B. \(F\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^4}\left( {x + 1} \right)}}{4}\) C. \(F\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^4}x}}{{2.{x^2}}}\) D. \(F\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^4}x + 1}}{4}\) Spoiler: Xem đáp án \(f\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^3}x}}{x} \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\frac{{{{\ln }^3}x}}{x}.dx} = \int {{{\ln }^3}x.\frac{1}{x}dx}\) Đặt: \(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\) \(\Rightarrow F(x) = \int {{u^3}du} = \frac{1}{4}{u^4} + C = \frac{{{{\ln }^4}x}}{4} + C\)
Câu 462: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{e^x} + 1}}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = - \ln 2.\) Tìm tập nghiệm S của phương trình \(F\left( x \right) + \ln \left( {{e^x} + 1} \right) = 3.\) A. \(S = \left\{ { - 3} \right\}\) B. \(S = \left\{ { - 3;3} \right\}\) C. \(S = \left\{ { 3} \right\}\) D. \(S = \emptyset\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} F\left( x \right) = \int {\frac{1}{{{e^x} + 1}}d{\rm{x}}} = \int {\left( {1 - \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}} \right)d{\rm{x}}} \\ = \int {1.d{\rm{x}}} - \int {\frac{{{e^x}.d{\rm{x}}}}{{{e^x} + 1}}} = x - \int {\frac{{{e^x}.d{\rm{x}}}}{{{e^x} + 1}}} = x - \ln \left( {{e^x} + 1} \right) + C \end{array}\) \(F\left( 0 \right) = - \ln 2 + C = - \ln 2 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow F\left( x \right) = x - \ln \left( {{e^x} + 1} \right)\) \(\Rightarrow F\left( x \right) + \ln \left( {{e^x} + 1} \right) = x = 3\)
Câu 463: Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng( như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/1m2. Hỏi Ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? ( Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn). A. 7.862.000 đồng B. 7.653.000 đồng C. 7.128.000 đồng D. 7.826.000 đồng Spoiler: Xem đáp án Phương trình elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\). Ta có diện tích mảnh vườn cần tìm được chia làm 2 qua trục lớn, gọi diện tích 1 phần là S. Gắn tâm elip là O, trục lớn là Ox, trục bé là Oy. Sử dụng ứng dụng tích phân, diện tích phần này sẽ giới hạn qua đường cong: \(y = \sqrt {25 - \frac{{25{x^2}}}{{64}}}\) và 2 đường thẳng \(x = 4;x = - 4.\) Ta có: \(S = \int\limits_{ - 4}^4 {\sqrt {25 - \frac{{25{x^2}}}{{64}}} dx} \approx 38,2644591.\) Như vậy số tiền cần có là: \(38,2644591.2.100000 = 7652891 \approx 7653000\)
Câu 464: Cho hình thang cong (H) giới hạn bới các đường $y=e^x$ và $x=\ln 4$. Đường thẳng $x=k$ chia (H) thành hai phần có diện tích là $S_1$ và $S_2$ như hình vẽ bên. Tìm $k$ để $S_1 = 2S_2$ A. \(k = \frac{2}{3}\ln 4\) B. \(k =ln2\) C. \(k = ln\frac{8}{3}\) D. \(k = ln3\) Spoiler: Xem đáp án
Câu 465: Biết \(\int\limits_3^4 {\frac{{dx}}{{{x^2} + x}}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5,\) với a, b, c là các số nguyên. Tính \(S=a+b+c.\) A. S=6 B. S=2 C. S=-2 D. S=0 Spoiler: Xem đáp án Lấy lũy thừa cơ số e hai vế ta có: Ta có: \({2^a}{.3^b}{.5^c} = {e^{\int\limits_3^4 {\frac{1}{{{x^2} + x}}dx} }} = \frac{{16}}{{15}} = \frac{{{2^4}}}{{3.5}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 4\\ b = - 1\\ c = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow S = 2.\)
Câu 466: Cho \(\int\limits_0^4 {f(x)dx} = 16.\) Tính \(I = \int\limits_0^2 {f(2x)dx} .\) A. I=32 B. I=8 C. I=16 D. I=4 Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = 2x \Rightarrow dt = 2dx\) Suy ra: \(\int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^4 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} .\)
Câu 467: Biết \(F(x)\) là một nguyên hàm của của hàm số \(f(x) = \,\frac{1}{{x - 1}}\) và \(F(2)=1.\) Tính \(F(3).\) A. \(F(3) = \ln 2 - 1\) B. \(F(3) = \ln 2 + 1\) C. \(F(3) =\frac{1}{2}\) D. \(F(3) = \frac{7}{4}\) Spoiler: Xem đáp án \(F\left( x \right) = \ln \left| {x - 1} \right| + C\) Ta có: \(F\left( 2 \right) = 1 \Rightarrow C = 1\) do đó \(F\left( 3 \right) = \ln 2 + 1.\)
Câu 468: Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên đoạn \([1;2]\), \(f(1)=1\) và \(f(2)=2\). Tính \(I = \int\limits_1^2 {f'(x)dx}\). A. I=1 B. I=-1 C. I=3 D. \(I=\frac{7}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int_1^2 {f'(x)dx = \left. {f(x)} \right|_1^2} = f(2) - f(1) = 1.\)
Câu 469: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = c{\rm{os}}\,{\rm{2x}}{\rm{.}}\) A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{2}{\rm{sin}}\,{\rm{2x}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{C}}\) B. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{2}{\rm{sin}}\,{\rm{2x}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{C}}\) C. \(\int {f(x)dx} = 2{\rm{sin}}\,{\rm{2x}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{C}}\) D. \(\int {f(x)dx} = - 2{\rm{sin}}\,{\rm{2x}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{C}}\) Spoiler: Xem đáp án \(\int {\cos 2xdx = \frac{{\sin 2x}}{2} + C.}\)
Câu 470: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{1}{{1 + \sqrt {4 - 3{\rm{x}}} }},y = 0,x = 0,x = 1\) quay quanh trục Ox. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành. A. \(V = \frac{\pi }{6}\left( {4\ln \frac{3}{2} - 1} \right)\) B. \(V = \frac{\pi }{4}\left( {6\ln \frac{3}{2} - 1} \right)\) C. \(V = \frac{\pi }{6}\left( {9\ln \frac{3}{2} - 1} \right)\) D. \(V = \frac{\pi }{9}\left( {6\ln \frac{3}{2} - 1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích cần tìm: \(V = \pi \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{{\left( {1 + \sqrt {4 - 3x} } \right)}^2}}}}\) Đặt \(t = \sqrt {4 - 3x} \Rightarrow dt = - \frac{3}{{2\sqrt {4 - 3x} }}dx \Leftrightarrow dx = - \frac{2}{3}tdt\left( {x = 0 \Rightarrow t = 2;x = 1 \Rightarrow t = 1} \right)\) Khi đó: \(\begin{array}{l} V = \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\frac{t}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}dt} = \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{1 + t}} - \frac{1}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}} \right)dt} \\ = \left. {\frac{{2\pi }}{3}\left( {\ln \left| {1 + t} \right| + \frac{1}{{1 + t}}} \right)} \right|_1^2 = \frac{\pi }{9}\left( {6\ln \frac{3}{2} - 1} \right). \end{array}\)
