Câu 471: Tính diện tích S của hình phẳng giởi hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2} - x.\) A. \(S = \frac{1}{{16}}\) B. \(S = \frac{1}{{12}}\) C. \(S = \frac{1}{{8}}\) D. \(S = \frac{1}{{4}}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm \({x^3} - x = {x^2} - x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.\) Vậy \({S_{HP}} = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - {x^2}} \right|dx} = \int\limits_0^1 {({x^2} - {x^3})dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{{12}}\)
Câu 472: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2008 + {{\ln }^2}x}}{x}\) ta được kết quả có dạng \(F\left( x \right) = a\ln x + \frac{{{{(\ln x)}^3}}}{b} + C.\) Tính tổng \(S=a+b.\) A. S=2012 B. S=2010 C. S=2009 D. S=2011 Spoiler: Xem đáp án Đặt \(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\) Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{2008 + {{\ln }^2}x}}{x}}dx = \int {\left( {2008 + {u^2}} \right)du = 2008\int {du + \int {{u^2}du} } }\) \(= 2008u + \frac{{{u^3}}}{3} + C = 2008\ln x + \frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^3}}}{3} + C\) Vậy a+b=2011.
Câu 473: Tìm a sao cho \(I = \int\limits_0^a {x.{e^{\frac{x}{2}}}d{\rm{x}}} = 4.\) A. a=1 B. a=0 C. a=4 D. a=2 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(I = \int\limits_0^a {x.{e^{\frac{x}{2}}}dx}\). Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = {e^{\frac{x}{2}}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = 2.{e^{\frac{x}{2}}} \end{array} \right.\) \(\Rightarrow I = \left. {2x.{e^{\frac{x}{2}}}} \right|_0^a - 2\int\limits_0^a {{e^{\frac{x}{2}}}dx} = 2a{e^{\frac{a}{2}}} - \left. {4.{e^{\frac{x}{2}}}} \right|_0^a = 2\left( {a - 2} \right){e^{\frac{a}{2}}} + 4\) Theo đề ra ta có: \(I = 4 \Leftrightarrow 2\left( {a - 2} \right){e^{\frac{a}{2}}} + 4 = 4 \Leftrightarrow a = 2\)
Câu 474: Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(x = 0;y = {e^x};x = 1.\) A. \(S = e - 1\) B. \(S = \frac{1}{2}e + \frac{1}{2}\) C. \(S = \frac{3}{2}e - \frac{1}{2}\) D. \(S = 2{\rm{e}} - 3\) Spoiler: Xem đáp án Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có \(S = \int\limits_0^1 {{e^x}dx} = e - 1.\)
Câu 475: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \ln 4x.\) A. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{x}{4}\left( {\ln 4x - 1} \right) + C\) B. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{x}{2}\left( {\ln 4x - 1} \right) + C\) C. \(\int {f\left( x \right)dx} = x\left( {\ln 4x - 1} \right) + C\) D. \(\int {f\left( x \right)dx} = 2x\left( {\ln 4x - 1} \right) + C\) Spoiler: Xem đáp án \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\ln 4x.dx}\) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln 4x\\ dv = dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{{dx}}{x}\\ v = x \end{array} \right.\). Khi đó \(\int {f\left( x \right)dx} = x.\ln 4x - \int {dx} = x\left( {\ln 4x - 1} \right) + C\)
Câu 476: Cho \(\int\limits_2^5 {\frac{{dx}}{x}} = \ln a\). Tìm a. A. \(a = \frac{5}{2}\) B. \(a = 2\) C. \(a =5\) D. \(a = \frac{2}{5}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int\limits_2^5 {\frac{{dx}}{x}} = \ln a \Leftrightarrow \left. {\ln \left| x \right|} \right|_2^5 = \ln a \Leftrightarrow \ln 5 - \ln 2 = \ln a \Leftrightarrow \ln \frac{5}{2} = \ln a \Leftrightarrow a = \frac{5}{2}\)
Câu 477: Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {(4x + 3).\ln xdx = 14\ln a + b}\). Tính tổng a+b. A. a+b=-1 B. a+b=-4 C. a+b=-3 D. a+b=-2 Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln x\\ dv = \left( {4x + 3} \right)dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{1}{x}dx\\ v = 2{x^2} + 3x \end{array} \right.\). Khi đó: \(\begin{array}{l} I = \left( {2{x^2} + 3x} \right)\ln x\left| \begin{array}{l} 2\\ 1 \end{array} \right. - \int\limits_1^2 {\frac{{2{x^2} + 3x}}{x}dx} \\ = \left( {{{2.2}^2} + 3.2} \right)\ln 2 - \left( {2.{1^2} + 3.1} \right)\ln 1 - \int\limits_1^2 {\left( {2x + 3} \right)dx} \end{array}\) \(\begin{array}{l} = 14\ln 2 - 0 - \left( {{x^2} + 3x} \right)\left| \begin{array}{l} 2\\ 1 \end{array} \right. = 14\ln 2 - 0 - \left[ {\left( {{2^2} + 3.2} \right) - \left( {{1^2} + 3.1} \right)} \right]\\ = 14\ln 2 - \left( {10 - 4} \right) = 14\ln 2 - 6 \end{array}\)
Câu 478: Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=1-x^2\) và đường thẳng y=0 quanh trục Ox. A. \(V = \frac{{16}}{{15}}\) B. \(V = \frac{{4}}{{3}}\) C. \(V = \frac{{16}}{{15}}\pi\) D. \(V = \frac{{4}}{{3}}\pi\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=1-x^2\) và đường thẳng y=0 là: \(1 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\) Thể tích khối tròn xoay là: \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {f{{(x)}^2}dx = \pi } \int\limits_{ - 1}^1 {{{(1 - {x^2})}^2}dx = \pi \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{2{x^3}}}{3} + x} \right)} _{ - 1}^1 = \frac{{16}}{{15}}\pi\)
Câu 479: Tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^3\) và các đường thẳng \(y=-x,x=1\). A. S=4 B. \(S = \frac{3}{4}\) C. \(S = \frac{1}{4}\) D. S=1 Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=x^3\) và đường thẳng \(y=-x\) là: \({x^3} + x = 0 \Rightarrow x = 0\) Vậy diện tích hình phẳng là: \(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} + x} \right|dx = \int\limits_0^1 {{x^3} + xdx = \left( {\left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_0^1 + \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1} \right) = \frac{3}{4}} }\)
Câu 480: Tính tích phân \(\int\limits_0^\pi {x\left( {x + \sin x} \right)dx = a{\pi ^3} + b\pi } .\) Tính tích ab. A. ab=3 B. \(ab = \frac{1}{3}\) C. ab=6 D. \(ab = \frac{2}{3}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} I = \int\limits_0^\pi {{x^2}dx} + \int\limits_0^\pi {x\sin xdx} = \left. {\frac{1}{3}{x^3}} \right|_0^\pi + \int\limits_0^\pi {x\sin xdx} \\ = \frac{1}{3}{\pi ^3} + \int\limits_0^\pi {x\sin xdx} \end{array}\) Tính \(\int\limits_0^\pi {x\sin xdx}\) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = \sin xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = - \cos x \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \int\limits_0^\pi {x\sin xdx} = \left. { - x{\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right|_0^\pi + \int\limits_0^\pi {\cos dx} \\ = \pi + \left. {\sin x} \right|_0^\pi = \pi \end{array}\) Vậy \(I = \frac{1}{3}{\pi ^3} + \pi .\)
