Câu 481: Cho tích phân \(I = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} }}{x}dx}\), đặt \(t = \sqrt {1 + 3\ln x}\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(I = \frac{2}{3}\int\limits_1^e {tdt}\) B. \(I = \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {tdt}\) C. \(I = \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {{t^2}dt}\) D. \(I = \frac{2}{3}\int\limits_1^e {{t^2}dt}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(t = \sqrt {1 + 3\ln x} \Rightarrow {t^2} = 1 + 3\ln x \Rightarrow 2tdt = \frac{3}{x}dx\) \(\begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow t = 1\\ x = e \Rightarrow t = 2 \end{array}\) \(I = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} }}{x}dx} = \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {t.tdt} = \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {{t^2}dt}\)
Câu 482: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt {{x^2} - 1} .\) A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{3}\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 1} + C\) B. \(\int {f(x)dx} = \frac{2}{3}\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 1} + C\) C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{3}\sqrt {{x^2} - 1} + C\) D. \(\int {f(x)dx} = \frac{2}{3}\sqrt {{x^2} - 1} + C\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} t = \sqrt {{x^2} - 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} - 1 \Rightarrow 2tdt = 2xdx\\ \Rightarrow \int {x\sqrt {{x^2} - 1} } dx = \int {{t^2}dt} = \frac{1}{3}{t^3} + C\\ = \frac{1}{3}\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 1} + C \end{array}\)
Câu 483: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) , trục hoành, đường thẳng (như hình bên) được tính bởi công thức nào sau đây? A. \(S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}\) B. \(S = \left| {\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} } \right|\) C. \(S = - \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx}\) D. \(S = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx}\) Spoiler: Xem đáp án Trên đoạn (a;c) ta có f(x)<0 suy ra phải đổi dấu. Trên đoạn (c;b) ta có f(x)>0 suy ra không phải đổi dấu.
Câu 484: Với giá trị nào của m thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^2 + 2x$ và $y = mx$ bằng 27 đơn vị diện tích. A. m=-1 B. m=-2 C. \(m \in \emptyset\) D. \(m \in\mathbb{R}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm: \(\begin{array}{l} - {x^2} + 2x = mx \Leftrightarrow {x^2} - \left( {2 - m} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 - m > 0 \end{array} \right.\\ S = \int_0^{2 - m} {\left| { - {x^2} + 2x - mx} \right|} dx = \int_0^{2 - m} {\left( { - {x^2} + 2x - mx} \right)} dx = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} - \frac{{m{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{2 - m}\\ = - {m^3} + 6{m^2} - 12m + 8 = 27 \end{array}\)Do đó m=-1.
Câu 485: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}.\) A. \(\int {f(x)dx = } \tan x + \cot x + C\) B. \(\int {f(x)dx = } \tan x - \cot x + C\) C. \(\int {f(x)dx = } \cot x - \tan x + C\) D. \(\int {f(x)dx = } 2\tan x - 2\cot x + C\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \int {f\left( x \right)dx = \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}} = \int {\frac{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}dx} } } \\ = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx + \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = \tan x - \cot x + C} \end{array}\)
Câu 486: Kết quả tích phân \(I = \int_0^2 {\left( {2x + \ln \left( {x + 1} \right)} \right)dx} = a\ln 3 + b \). Tính tổng $a+b$. A. a+b=5 B. a+b=2 C. a+b=1 D. a+b=7 Spoiler: Xem đáp án \(I = \int_0^2 {\left( {2x + \ln \left( {x + 1} \right)} \right)dx} = A + B\) Tính \(A = \int_0^2 {2xdx} = \left. {{x^2}} \right|_0^2 = 4\) Tính \(B = \int_0^2 {\left( {\ln \left( {x + 1} \right)} \right)} dx\) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln \left( {x + 1} \right)\\ dv = dx \end{array} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{{dx}}{{x + 1}}\\ v = x + 1 \end{array} \right.\) Dùng công thức tích phân từng phần: \(\begin{array}{l} B = \int_0^2 {\left( {\ln \left( {x + 1} \right)} \right)dx} = \left. {\left( {x + 1} \right).\ln \left( {x + 1} \right)} \right|_0^2 - \int_0^2 {\frac{{x + 1}}{{x + 1}}dx} \\ = \left. {3\ln 3 - x} \right|_0^2 = 3\ln 3 - 2 \end{array}\) Vậy: \(I = \int_0^2 {\left( {2x + \ln \left( {x + 1} \right)} \right)} dx = 3\ln 3 + 2\)
Câu 487: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) và các trục Ox, Oy. A. \(S = 3\ln \frac{2}{3} - 1\) B. \(S = 3\ln \frac{2}{3} + 1\) C. \(S = \ln \frac{2}{3} - 1\) D. \(S = 2\ln \frac{2}{3} - 1\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x=-1 Do đó: \(S = \int_{ - 1}^0 {\left| {\frac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right|dx}\) Ta có: \(\begin{array}{l} S = \int_{ - 1}^0 {\left| {\frac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right|dx = \left| {\int_{ - 1}^0 {\left( {1 + \frac{3}{{x - 2}}} \right)dx} } \right|} \\ = \left| {\left( {x + 3\ln \left| {x - 2} \right|_{ - 1}^0} \right)} \right| = \left| {1 + 3\ln \frac{2}{3}} \right| = 3\ln \frac{3}{2} - 1 \end{array}\)
Câu 488: Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {x\left( {2 + {e^x}} \right)} dx.\) A. I=2 B. I=-2 C. I=3 D. \(I=\frac{1}{2}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} I = \int\limits_0^1 {x\left( {2 + {e^x}} \right)} dx = \int\limits_0^1 {2x} dx + \int\limits_0^1 {x{e^x}dx} \\ = 1 + \int\limits_0^1 {x{e^x}dx} \end{array}\) Đặt: \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {x{e^x}dx} = \left. {x{e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx} = {e^x} - {e^x} + 1 \end{array}\) Vậy I=2. Lưu ý: Có thể dùng máy tính bỏ túi để tính nhanh kết quả.
Câu 489: Cho hình thang cong trong hình bên (phần tô đậm) quay quanh trục hoành, thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào sau đây? A. \(V = \int\limits_a^b {f(x)dx}\) B. \(V = \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx}\) C. \(V = \pi \int\limits_a^b {f(x)dx}\) D. \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx}\) Spoiler: Xem đáp án Đáp án đúng: D
Câu 490: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin \left( {5x - 2} \right).\) A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{5}\sin \left( {5x - 2} \right) + c\) B. \(\int {f(x)dx} =5\sin \left( {5x - 2} \right) + c\) C. \(\int {f(x)dx} = -\frac{1}{5}\sin \left( {5x - 2} \right) + c\) D. \(\int {f(x)dx} =-5\cos \left( {5x - 2} \right) + c\) Spoiler: Xem đáp án \(\int {\sin \left( {5x - 2} \right)dx = - \frac{1}{5}\cos \left( {5x - 2} \right)} + c\)
