Câu 41: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Viết công thức tính diện tích S của hình cong được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục Ox và hai đường thẳng \(x = a;x = b\). A. \(S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) B. \(S = \pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) C. \(S = \pi \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) D. \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) Spoiler: Xem đáp án Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), công thức tính diện tích S của hình cong được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục Ox và hai đường thẳng \(x = a;x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} .\)
Câu 42: Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng \(\frac{3}{4}\) chiều cao của bên đó (xem hình). Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi \(2,90\,c{m^3}/\)phút. Khi chiều cao của cát còn 4cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi \(8\pi \,cm\)(xem hình). Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) A. 8cm B. 12cm C. 9cm D. 10cm Spoiler: Xem đáp án Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng song song với đáy của hình trụ và cắt đồng hồ cát. Khi đó mặt cắt là một hình tròn có bán kính là x nên diện tích hình tròn là \({S_t} = \pi {R^2} = \pi {x^2}\) Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, gọi phương trình paralol (P) là \(y = a{x^2} + bx + c\) Vì (P) đi qua điểm \(O\left( {0;0} \right),\,\,A\left( {4;4} \right),\,\,B\left( {4; - 4} \right)\) Nên phương trình \(\left( P \right):y = \frac{{{x^2}}}{4} \Rightarrow {x^2} = 4y \Rightarrow S = 4\pi y\) \( \Rightarrow \) Thể tích cát ban đầu là \(V = \int\limits_0^h {{S_t}\,dy} \) vì mặt cắt vuông góc với Oy. Suy ra \(V = \int\limits_0^h {\left( {4\pi y} \right)dy} \) mà thể tích khối cát \({V_c} = 2,9.30 = 87\,c{m^3}\) \( \Rightarrow \int\limits_0^h {\left( {4\pi y} \right)dy} = 87 \Leftrightarrow 2\pi {y^2}\left| {\mathop {}\limits_0^h = 87 \Rightarrow 2\pi {h^2} = 87 \Rightarrow h = \sqrt {\frac{{87}}{{2\pi }}} } \right.\) Vậy chiều cao của khối trụ bên ngoài là \(2.\frac{4}{3}.h = 2.\frac{4}{3}.h = 2.\frac{4}{3}.\sqrt {\frac{{87}}{{2\pi }}} \approx 9,92\,cm.\)
Câu 43: Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x - 5\sin x + 6}}dx} = a\ln \frac{4}{c} + b\,\,\left( {c > 0} \right)\) . Tính tổng a + b + c? A. 3 B. 4 C. 0 D. 1 Spoiler: Xem đáp án \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\left( {\sin x} \right)}^2} - 5\sin x + 6}}dx} \) Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\) \(I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{{t^2} - 5t + 6}}dt} = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{(t - 2)(t - 3)}}dt} = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{(t - 2)(t - 3)}}dt} = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{t - 3}} - \frac{1}{{t - 2}}} \right)dt} \) \( = \ln \left| {\frac{{t - 3}}{{t - 2}}} \right|_0^1 = \ln 2 - \ln \frac{3}{2} = \ln \frac{4}{3}.\) Do đó: a = 1; b = 0; c = 3 S = a + b + c = 1 + 0 + 3 = 4.
Câu 44: Gọi S là số đo diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = 2{x^2} + 3x + 1,\,\,y = {x^2} - x - 2\). Tính \(\cos \left( {\frac{\pi }{S}} \right)?\) A. 0 B. \( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(2{x^2} + 3x + 1 = {x^2} - x - 2 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\) Vậy: \(S = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left| {{x^2} + 4x + 3} \right|dx} = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( { - {x^2} - 4x - 3} \right)dx} = \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} - 2{x^2} - 3x} \right)\left| {\mathop {}\limits_{ - 3}^{ - 1} = \frac{4}{3} - 0 = \frac{4}{3}} \right..\) Suy ra \(\cos \left( {\frac{\pi }{S}} \right) = \cos \frac{{3\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Câu 45: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = x\ln x,\,\,y = 0,\,\,x = e\) quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng \(\frac{\pi }{a}\left( {b\,{e^3} - 2} \right)\). Tìm a và b. A. \(a = 27;\,\,b = 5\) B. \(a = 26;\,\,b = 6\) C. \(a = 24;\,\,b = 5\) D. \(a = 27;\,\,b = 6\) Spoiler: Xem đáp án Xét phương trình: \(x\ln x = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\) Thể tích của khối tròn xoay là: \(V = \pi \int\limits_1^e {\left( {x\ln x} \right)dx} = \frac{1}{3}{x^3}{\ln ^3}x\left| {\mathop {}\limits_1^e - \frac{2}{3}\int\limits_1^e {{x^2}\ln x\,dx} = \frac{1}{3}{e^3} - \left( {\frac{2}{3}{e^3} + \frac{1}{9}} \right) = \left( {5{e^3} - 2} \right)\frac{\pi }{{27}}} \right.\) Do đó \(a = 27,\,\,b = 5.\)
Câu 46: Giả sử một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^3}} }} + \frac{1}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\) có dạng \(A\sqrt {1 - {x^3}} + \frac{B}{{1 + \sqrt x }}\) . Hãy tính A + B. A. \(A + B = - 2\) B. \(A + B = \frac{8}{3}\) C. \(A + B = 2\) D. \(A + B = - \frac{8}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\left( {A\sqrt {1 - {x^3}} + \frac{B}{{1 + \sqrt x }}} \right)^\prime } = A\frac{{ - 3{x^2}}}{{2\sqrt {1 - {x^3}} }} + B.\frac{{ - \frac{1}{{2\sqrt x }}}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}} = \frac{{ - \frac{3}{2}A{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^3}} }} + \frac{{ - \frac{B}{2}}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\) \( \Rightarrow A = - \frac{2}{3};\,\,B = - 2 \Rightarrow A + B = - \frac{8}{3}.\)
Câu 47: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\\1\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right..\) Tính tích phân \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} .\) A. \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 2\) B. \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \frac{3}{2}\) C. \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \frac{5}{2}\) D. \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {dx} + \int\limits_0^2 {x\,dx} = x\left| {\mathop {}\limits_0^1 + \frac{{{x^2}}}{2}\left| {\mathop {}\limits_1^2 = \frac{5}{2}} \right.} \right..\)
Câu 48: Tìm một nguyên hàm \(F\left( x \right)\)của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2{e^x} - 1\), biết \(F\left( 0 \right) = 1.\) A. \(F\left( x \right) = {x^3} + 2{e^x} - x - 1\) . B. \(F\left( x \right) = {x^3} + 2{e^x} - x\). C. \(F\left( x \right) = {x^3} - 2{e^x} - x + 3\). D. \(F\left( x \right) = {x^3} + \frac{2}{{{e^x}}} - x - 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(F\left( x \right) = \int {\left( {3{x^2} + 2{e^x} - 1} \right)dx = {x^3} + 2{e^x} - x + C} .\)
Câu 49: Một hình cầu có bán kính 6dm, người ta cắt bỏ hai phần bằng hai mặt phẳng song song và cùng vuông góc với đường kính để làm mặt xung quanh của một chiếc lu chứa nước (như hình vẽ). Tính thể tích V mà chiếc lu chứa được, biết mặt phẳng cách tâm mặt cầu 4dm. A. \(V = \frac{{736}}{3}\pi \left( {d{m^3}} \right).\) B. \(V = 192\pi \left( {d{m^3}} \right).\) C. \(V = \frac{{368}}{3}\pi \left( {d{m^3}} \right).\) D. \(V = 288\pi \left( {d{m^3}} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình đường tròn tâm O, bán kính 6dm là \({x^2} + {y^2} = 36.\) \(V = 2\pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\sqrt {36 - {x^2}} } \right)}^2}dx} = 2\pi \int\limits_0^4 {\left( {36 - {x^2}} \right)dx} = 2\pi \left. {\left( {36x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^4 = \frac{{736}}{3}\pi .\)
Câu 50: Ông An xây dựng sân bóng đá mini hình chữ nhật có chiều rộng 30 m và chiều dài 50 m. Để giảm bớt kinh phí cho việc trồng cỏ nhân tạo, ông An chia sân bóng ra làm hai phần (tô màu và không tô màu) như hình vẽ. Phần tô màu gồm hai miền diện tích bằng nhau và đường cong AIB là một parabol có đỉnh I. Phần tô màu được trồng cỏ nhân tạo với giá 130 nghìn đồng/m2 và phần còn lại được trồng cỏ nhân tạo với giá 90 nghìn đồng/m2. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng? A. 165 triệu đồng. B. 195 triệu đồng. C. 135 triệu đồng. D. 151 triệu đồng. Spoiler: Xem đáp án Phương trình Parabol có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\,(a \ne 0).\) Theo đề bài, ta có Parabol đi qua các điểm \(( - 15;0);\,\,(15;0);\,\,(0;10).\) Vậy ta tìm được phương trình Parabol \(\left( P \right):y = - \frac{2}{{45}}{x^2} + 10.\) Gọi \({S_1}\) là diện tích phần tô vàng suy ra \({S_1} = 2\int\limits_{ - 15}^{15} {\left( { - \frac{2}{{45}}{x^2} + 10} \right)dx} = 400\left( {{m^2}} \right).\) Gọi \({S_2}\) là diện tích phần không tô màu suy ra \({S_2} = 50.30 - {S_1} = 1100\left( {{m^2}} \right).\) Suy ra số tiền cần tìm là \(0,13.400 + 0,09.1100 = 151\) (triệu đồng).
