Câu 491: Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ 2 phần bằng 2 mặt phẳng vuông góc với bán kính và cách tâm 3dm như hình vẽ. Tính thể tích V của vật thể thu được. A. \(V = 132\pi\) B. \(V=41\pi\) C. \(V = \frac{100}{3}\pi\) D. \(V = 43\pi\) Spoiler: Xem đáp án Đặt hệ trục tọa độ tâm O là tâm của mặt cầu, đường thẳng đứng là trục Ox, đường ngang là trục Oy. Khi đó: đường tròn lớn có phương trình \({x^2} + {y^2} = 25.\) Bài toán trở thành tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi Ox, đường cong \(y = \sqrt {25 - {x^2}}\), đường thẳng x=3 và x=-3 quay quanh trục Ox. Vậy: \(V = \pi \int\limits_{ - 3}^3 {\left( {25 - {x^2}} \right)dx = 132\pi }\)
Câu 492: Tính tổng a+b biết \(\int\limits_0^2 {\frac{{5x + 7}}{{{x^3} + 3x + 2}}dx} = 2\ln a + 3\ln b.\) A. a+b=5 B. a+b=3 C. a+b=7 D. a+b=9 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \int\limits_0^2 {\frac{{5x + 7}}{{{x^3} + 3x + 2}}dx} \\ = \int\limits_0^2 {\frac{{5(2x + 3)}}{{2({x^2} + 3x + 2)}}} dx - \int\limits_0^2 {\frac{1}{{2({x^2} + 3x + 2)}}} dx \end{array}\) Tính \({I_1} = \int\limits_0^2 {\frac{{5(2x + 3)}}{{2({x^2} + 3x + 2)}}} dx\) Đặt \(u = {x^2} + 3x + 2 \Rightarrow du = \left( {2x + 3} \right)dx\) Khi đó: \({I_1} = \frac{5}{2}\int\limits_2^{12} {\frac{1}{u}} = \left. {\frac{5}{2}\ln \left| u \right|} \right|_2^{12} = \frac{5}{2}\ln 12 - \frac{5}{2}\ln 2\) Tính \({I_2} = \int\limits_0^2 {\frac{1}{{2({x^2} + 3x + 2)}}} dx\) \(\begin{array}{l} {I_2} = \int\limits_0^2 {\frac{{(x + 2) - (x + 1)}}{{2(x + 2)(x + 1)}}dx} \\ = \int\limits_0^2 {\frac{1}{{2(x + 1)}}dx} - \int\limits_0^2 {\frac{1}{{2(x + 2)}}dx} \\ = \left. {\frac{1}{2}\left[ {\ln \left| {x + 1} \right| - \ln \left| {x + 2} \right|} \right]} \right|_0^2\\ = \frac{1}{2}\ln 3 - \frac{1}{2}\ln 4 + \frac{1}{2}\ln 2 \end{array}\) Vậy: \(\begin{array}{l} I = {I_1} - {I_2} = \frac{5}{2}\ln 12 - \frac{5}{2}\ln 2 - \frac{1}{2}\ln 3 + \frac{1}{2}\ln 4 + \frac{1}{2}\ln 2\\ = 2\ln 3 + 3\ln 4 - 3\ln 2 = 2\ln 3 + 3\ln 2 \end{array}\)
Câu 493: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^4} - x\), đường thẳng x=2, trục tung và trục hoành. A. \(S = \frac{{22}}{5}\pi\) B. \(S = \frac{{344}}{9}\pi\) C. \(S = 5\) D. \(S = \frac{{44}}{5}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=x^4-x\) và trục hoành là: \({x^4} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\) Vậy ta có: \(\begin{array}{l} S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^4} - x} \right|dx = \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - x} \right|dx + } } \int\limits_1^2 {\left| {{x^4} - x} \right|dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^4} - x} \right)dx} = 5 \end{array}\)
Câu 494: Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x\), trục Ox và hai đường thẳng x=1, x=3 quanh trục Ox. A. \(V = \frac{{32}}{5}\) B. \(V = \frac{{32\pi }}{5}\) C. \(V = \frac{10}{3}\) D. \(V = \frac{10\pi}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích của khối tròn xoay là: \(V = \pi \int\limits_1^3 {{{\left( {{x^2} - 3x} \right)}^2}dx = \frac{{32\pi }}{5}}\)
Câu 495: Đổi biến \(x = 2\sin t\) tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} .\) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {tdt}\) B. \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {tdt}\) C. \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{1}{t}dt}\) D. \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {dt}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(x = 2\sin t \Rightarrow dx = 2\cos tdt\) Với x=0 thì t=0 Với x=1 thì \(t = \frac{\pi }{6}\) \(\sqrt {4 - {x^2}} = \sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} = 2\cos t\) (do \({\mathop{\rm cost}\nolimits} \ge 0,\forall t \in \left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]\)) Vậy \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {dt}\).
Câu 496: Cho \(f'(x) = 3 - 5\sin x\) và \(f(0) = 10\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. \(f(x) = 3x + 5\cos x + 2\) B. \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{3\pi }}{2}\) C. \(f(\pi ) = 3\pi\) D. \(f(x) = 3x - 5\cos x\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} f(x) = \int {(3 - 5sinx)dx = 3x + 5cosx + C} \\ f(0) = 10 \Rightarrow 5 + C = 10 \Leftrightarrow C = 5 \end{array}\) Vậy \(f(x) = 3x + 5\cos x + 5\) Vì thế A và D sai. Mặt khác:\(f(\pi ) = 3\pi\) nên C đúng.
Câu 497: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt {3x + 1} .\) A. \(\int {f(x)dx = \frac{2}{3}\sqrt {{{\left( {3x + 1} \right)}^3}} + C}\) B. \(\int {f(x)dx = \frac{2}{9}\sqrt {3x + 1} + C}\) C. \(\int {f(x)dx = \frac{2}{3}\left( {3x + 1} \right)\sqrt {3x + 1} + C}\) D. \(\int {f(x)dx = \frac{2}{9}\sqrt {{{\left( {3x + 1} \right)}^3}} + C}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \int {\sqrt {3x + 1} dx} = \int {{{\left( {3x + 1} \right)}^{\frac{1}{2}}}dx} \\ = \frac{1}{3}.\frac{2}{3}.{\left( {3x + 1} \right)^{\frac{1}{2} + 1}} + C\\ = \frac{2}{9}\sqrt {{{(3x + 1)}^3}} + C \end{array}\)
Câu 498: Từ khúc gỗ hình trụ có bán kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính và nghiêng với đáy một góc \(45^0\) để lấy một hình nêm như hình vẽ. Kí hiệu V là thể tích của hình nêm (Hình 2). Tìm V. A. \(V = 2250\,(c{m^3})\) B. \(V = \frac{{225\pi }}{4}(c{m^3})\) C. \(V = 1250\,(c{m^3})\) D. \(V = 1350\,(c{m^3})\) Spoiler: Xem đáp án Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó hình niêm có đáy là nửa đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} = 225\) hay \(y = \sqrt {225 - {x^2}} ,x \in \left[ { - 15;15} \right].\) Một mặt phẳng cắt và vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x, \(x \in \left[ { - 15;15} \right]\) cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là S(x) như hình vẽ trên. Đặt \(NP = y\) ta có: \(MN = NP.\tan {45^0} = y = \sqrt {15 - {x^2}}\) khi đó \(S(x) = \frac{1}{2}MN.NP = \frac{1}{2}.(225 - {x^2})\) Suy ra thể tích hình niêm là: \(V = \int\limits_{ - 15}^{15} {S(x)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 15}^{15} {(225 - {x^2})dx} = 2250\,(c{m^3}).\)
Câu 499: Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3}\) và \(y = {x^2}\) quanh trục hoành. A. \(V = \frac{{436}}{{35}}\pi\) B. \(V = \frac{{468}}{{35}}\pi\) C. \(V = \frac{{486}}{{35}}\pi\) D. \(V = \frac{{9\pi }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3}\) và đồ thị hàm số \(y = x^2\) là: \(\frac{{{x^3}}}{3} = {x^2} \Leftrightarrow {x^2}(3 - x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 3 \end{array} \right.\) Ta có: \({x^2} \ge \frac{{{x^3}}}{3},\forall x\left[ {0;3} \right]\) Suy ra: \(V = \pi \int\limits_0^3 {\left( {{x^4} - \frac{{{x^6}}}{9}} \right)} dx = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{{x^7}}}{{63}}} \right)} \right|_0^3 = \frac{{486\pi }}{{35}}\)
Câu 500: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;x = 1\). A. \(S = \frac{7}{3}\) B. \(S = \frac{8}{5}\) C. \(S = \frac{{38}}{{15}}\) D. \(S = \frac{{64}}{{25}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(f\left( x \right) = {x^4} - 5{x^2} + 4 > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;1} \right)\). Suy ra: \(\begin{array}{l} S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - 5{x^2} + 4} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - 5{x^2} + 4} \right)} dx\\ = \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{5}{3}{x^3} + 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array} = \frac{{38}}{{15}}} \right. \end{array}\)
