Câu 501: Cho hình phẳng trong hình bên (phần tô đậm) quay quanh trục hoành, thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào sau đây? A. \(V = \int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx}\) B. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx}\) C. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right]dx}\) D. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{g^2}(x) - {f^2}(x)} \right]dx}\) Spoiler: Xem đáp án Từ hình vẽ ta thấy trong đoạn [a;b]: \(f(x) > g(x) > 0\) nên \({f^2}(x) > {g^2}(x)\). Vậy: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right]dx}\) .
Câu 502: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức \(v(t) = 3t + 2\), thời gian được tính theo đơn vị giây, quãng đường đi được tính theo đơn vị met. Tại thời điểm t=2s thì vật đi được quãng đường 10m. Hỏi tại thời điểm t=30s thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu? A. 1410 m B. 1140 m C. 300 m D. 240 m Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\begin{array}{l} s(t) = \int {v(t) = \int {(3 + 2t)dt = \frac{3}{2}{t^2} + 2t + C} } \\ s(2) = 10 \Rightarrow C = 0\\ \Rightarrow s(30) = 1410 \end{array}\)
Câu 503: Nếu F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\), G(x) là nguyên hàm của hàm số \(g(x)\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. \(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx = \int {f(x)dx + \int {g(x)dx} } = F(x) + G(x) + C}\) B. Với mọi \(k\ne0\), ta có:\(\int {kf(x)dx = k\int {f(x)dx} } = kF(x) + C\) C. \(\int {\left[ {f(x).g(x)} \right]dx = \int {f(x)dx} } .\int {g(x)dx} = F(x).G(x) + C\) D. \(\left( {\int {f(x)dx} } \right)' = f(x)\) Spoiler: Xem đáp án Phương án A, B, D là các tính chất của nguyên hàm đã được học trong chương trình phổ thông. Phương án C sai: không có tính chất nguyên hàm của một tích bằng tích các nguyên hàm của từng thừa số.
Câu 504: Gọi \(F(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 4{x^3} - 3{x^2} + 2\). Tìm \(F(x)\) biết \(F( - 1) = 3.\) A. \(F(x) = {x^4} - {x^3} + 2x + 3\) B. \(F(x) = {x^4} - {x^3} + 2x\) C. \(F(x) = {x^4} - {x^3} + 2x + 4\) D. \(F(x) = {x^4} - {x^3} + 2x - 3\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(F(x) = \int {f(x)dx = {x^4} - {x^3} + 2x} + C\) \(F( - 1) = 3 \Rightarrow 1 + 1 - 2 + C = 3 \Leftrightarrow C = 3\)
Câu 505: Cho \({I_n} = \int\limits_1^e {{{(\ln x)}^n}dx,n \in} \mathbb{N}\). Tìm hệ thức liên hệ giữa \(I_{n+1}\) và \(I_n\). A. \({I_{n + 1}} + (n + 1){I_n} = 2e\) B. \({I_{n + 1}} + (n + 1){I_n} = e\) C. \({I_n} + (n + 1){I_{n + 1}} = e\) D. \({I_n} + (n + 1){I_{n + 1}} = 2e\) Spoiler: Xem đáp án Xét \({I_{n + 1}} = \int\limits_1^e {{{(\ln x)}^{n + 1}}dx}\) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = {(\ln x)^{n + 1}}\\ dv = dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = (n + 1){\ln ^n}.\frac{1}{x}dx\\ v = x \end{array} \right.\) Vậy: \(\begin{array}{l} {I_{n + 1}} = \left. {x{{(\ln x)}^{n + 1}}} \right|_1^e - \left( {n + 1} \right)\int\limits_1^e {{{\ln }^n}xdx = e - (n + 1){I_n}} \\ \Rightarrow {I_{n + 1}} + (n + 1){I_n} = e \end{array}\)
Câu 506: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay phần mặt phẳng giới hạn bởi đường cong \(y=x^2\) và \(y = \sqrt x\) quanh trục Ox. A. \(V = \frac{{13\pi }}{5}\) B. \(V = \frac{{13\pi }}{15}\) C. \(V = \frac{{3\pi }}{10}\) D. \(V = \frac{{3\pi }}{5}\) Spoiler: Xem đáp án Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có \({x^2} = \sqrt x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 1} \end{array}} \right.\) . Ta thấy trên (0;1) thì \(\sqrt x \ge x\). Nên \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left( {x - {x^4}} \right)dx} = \pi \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^5}}}{5}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right.\) \(= \pi \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\pi\)
Câu 507: Gọi N(t) (ml/phút) là tốc độ rò rỉ dầu từ cái thùng tại thời điểm t. Biết \(N'\left( t \right) = t{\left( {t - 1} \right)^2}\). Tính lượng dầu rò rỉ ra trong một tiếng đầu tiên. A. 3097800 ml B. \(\frac{1}{12}\)ml C. 30789800 ml D. 12 ml Spoiler: Xem đáp án \(N'\left( t \right) = t\left( {{t^2} - 2t + 1} \right) = {t^3} - 2{t^2} + t\). Vì lượng dầu tính theo phút, nên công thức tính lượng dầu sẽ được tính như sau: \(\int\limits_0^{60} {N'\left( t \right)} dt = \int\limits_0^{60} {\left( {{t^3} - 2{t^2} + t} \right)} dt\) \(= \frac{1}{4}{t^4} - \frac{2}{3}{t^3} + \frac{1}{2}{t^2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {60}\\ 0 \end{array}} \right.\) \(= 3097800\left( {ml} \right)\)
Câu 508: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) và các trục tọa độ. A. \(S = 3\ln 6\) B. \(S = 3\ln \frac{3}{2}\) C. \(S = 3\ln \frac{3}{2} - 2\) D. \(S = 3\ln \frac{3}{2} - 1\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm là : \(\frac{{x + 1}}{{x - 2}} = 0 \Rightarrow x = - 1\). Diện tích hình phẳng cần tính là \(S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {\frac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right|dx} = 3\ln \frac{3}{2} - 1\).
Câu 509: Cho tích phân \(I = \int\limits_0^5 {\left| {{3^x} - 9} \right|} dx\) và các kết quả sau: I. \(I = \int\limits_2^5 {\left( {{3^x} - 9} \right)dx + \int\limits_0^2 {\left( {{3^x} - 9} \right)} dx}\) II. \(I = \int\limits_2^5 {\left( {{3^x} - 9} \right)} dx - \int\limits_0^2 {\left( {{3^x} - 9} \right)} dx\) III. \(I = 2\int\limits_2^5 {\left( {{3^x} - 9} \right)} dx\) Trong các kết quả trên, kết quả nào đúng? A. Chỉ I B. Chỉ II C. Chỉ III D. Cả I, II, III Spoiler: Xem đáp án Ta có \({3^x} - 9 > 0 \Leftrightarrow x > 2\) . Vậy \(\int\limits_0^5 {\left| {{3^x} - 9} \right|} dx = \int\limits_0^2 {\left| {{3^x} - 9} \right|} dx + \int\limits_2^5 {\left| {{3^x} - 9} \right|} dx\)\(= \int\limits_0^2 {\left( {9 - {3^x}} \right)} dx + \int\limits_2^5 {\left( {{3^x} - 9} \right)dx}\) . Vậy I sai, II đúng và III sai.
Câu 510: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {\sin ^2}x\). A. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C\) B. \(\int {f(x)dx = } - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C\) C. \(\int {f(x)dx = } - \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C\) D. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C\) Spoiler: Xem đáp án \(\int {{{\sin }^2}xdx = \int {\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C} }\)
