Câu 511: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. \(\int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)} dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx + \int\limits_a^b {g\left( x \right)} dx\) B. \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)} dx = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx\) C. \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)} dx = 1\) D. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx + \int\limits_b^c {f\left( x \right)} dx = \int\limits_a^c {f\left( x \right)} dx\) Spoiler: Xem đáp án \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ a \end{array}} \right. = F\left( a \right) - F\left( a \right) = 0\) Các phương án còn lại đều là những tính chất của tích phân đã được học trong chương trình phổ thông.
Câu 512: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt {2x - 1} + 4}}\). A. \(\int {f(x) = } \sqrt {2x - 1} - 2\ln \left( {\sqrt {2x - 1} + 4} \right) + C\) B. \(\int {f(x) = } \sqrt {2x - 1} - \ln \left( {\sqrt {2x - 1} + 4} \right) + C\) C. \(\int {f(x) = } \sqrt {2x - 1} - 4\ln \left( {\sqrt {2x - 1} + 4} \right) + C\) D. \(\int {f(x) = } 2\sqrt {2x - 1} - \ln \left( {\sqrt {2x - 1} + 4} \right) + C\) Spoiler: Xem đáp án Phương pháp đổi biến : Đặt:\(\sqrt {2{\rm{x}} - 1} = t \Rightarrow {t^2} = 2x - 1 \Rightarrow tdt = x\) Khi đó: \(\int {f(x)dx = } \int {\frac{{tdt}}{{t + 4}}} = \int {\frac{{t + 4 - 4}}{{t + 4}}} dt = \int {\left( {1 - \frac{4}{{t + 4}}} \right)dt}\) \(= t - 4\ln \left| {t + 4} \right| + C = \sqrt {2x - 1} - 4\ln \left| {\sqrt {2x + 1} + 4} \right| + C\)
Câu 513: Tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=(x-1)e^x$ , trục hoành, đường thẳng x = 0 và x = 1. A. S = 2 + e B. S = 2 - e C. S = e - 2 D. S = e - 1 Spoiler: Xem đáp án Diện tích cần tính là \(S = \int\limits_0^1 {\left| {\left( {x - 1} \right){e^x}} \right|dx = \int\limits_0^1 {(1 - x){e^x}dx = e - 2} }\)
Câu 514: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{x\ln ({x^2} + 1)}}{{{x^2} + 1}}\). A. \(\int {f(x)dx = } \ln ({x^2} + 1) + C\) B. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{4}{\ln ^2}({x^2} + 1) + C\) C. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}\ln ({x^2} + 1) + C\) D. \(\int {f(x)dx = } {\ln ^2}({x^2} + 1) + C\) Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(u = \ln ({x^2} + 1) \Rightarrow du = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}dx\) \(\begin{array}{l} \int {\frac{{x\ln ({x^2} + 1)}}{{{x^2} + 1}}dx = \frac{1}{2}\int {udu} = \frac{1}{4}{u^2} + C} \\ \end{array}\) \(= \frac{1}{4}{\ln ^2}({x^2} + 1) + C\)
Câu 515: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \tan 2x\). A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{2}\ln \left| {\sin 2x} \right| + C\) B. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{2}\ln \left| {\cos 2x} \right| + C\) C. \(\int {f(x)dx} = 2\ln \left| {\sin 2x} \right| + C\) D. \(\int {f(x)dx} = - \ln \left| {\cos 2x} \right| + C\) Spoiler: Xem đáp án \(\int {f(x)dx = } \int {\tan 2xdx = } \int {\frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}}dx}\) Đặt: \(u = \cos 2x \Rightarrow du = - 2\sin 2xdx\) \(\begin{array}{l} \int {f(x)dx = } - \frac{1}{2}\int {\frac{1}{u}du} = - \frac{1}{2}\ln \left| u \right| + C\\ = - \frac{1}{2}\ln \left| {\cos 2x} \right| + C \end{array}\)
Câu 516: Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx}\). A. \(I = \frac{{\pi + 2}}{8}\) B. \(I = \frac{{\pi + 2}}{4}\) C. \(I = \frac{1}{3}\) D. \(I = \frac{2}{3}\) Spoiler: Xem đáp án \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(1 + \cos 2x)dx = } \left. {\frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}sin2x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{\pi + 2}}{8}\)
Câu 517: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{1 + \ln x}}{x}\) . A. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}{\ln ^2}x + \ln x + C\) B. \(\int {f(x)dx = } {\ln ^2}x + \ln x + C\) C. \(\int {f(x)dx = } x + {\ln ^2}x + C\) D. \(\int {f(x)dx = } x + \frac{1}{2}{\ln ^2}x + C\) Spoiler: Xem đáp án \(\int {\frac{{1 + \ln x}}{x}} dx\) Đặt \(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\) \(\begin{array}{l} \int {\frac{{1 + \ln x}}{x}} dx = \int {\left( {1 + u} \right)du} \\ = u + \frac{1}{2}{u^2} + C = \ln x + \frac{1}{2}{\ln ^2}x + C \end{array}\)
Câu 518: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt {2x + 1}\). A. \(\int {f(x)dx} = \frac{2}{3}\sqrt {{{(2x + 1)}^3}} + C\) B. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{2\sqrt {2x + 1} }} + C\) C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{3}\sqrt {{{(2x + 1)}^3}} + C\) D. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{4\sqrt {2x + 1} }} + C\) Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(2x + 1 = t \Rightarrow d(2x + 1) = dt \Rightarrow 2dx = dt \Rightarrow dx = \frac{1}{2}dt\) \(\int {\sqrt {2x + 1} dx = \frac{1}{2}} \int {\sqrt t } dt = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}\sqrt {{t^3}} + C = \frac{1}{3}\sqrt {{{(2x + 1)}^{^3}}} + C\)
Câu 519: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x(2 + 3{x^2})\). A. \(\int {f(x)dx = {x^2}\left( {1 + \frac{3}{4}{x^2}} \right) + C}\) B. \(\int {f(x)dx = \frac{{{x^2}}}{2}\left( {2x + {x^2}} \right) + C}\) C. \(\int {f(x)dx = {x^2}\left( {6x + 2} \right) + C}\) D. \(\int {f(x)dx = {x^2} + \frac{3}{4}{x^4}}\) Spoiler: Xem đáp án \(\int {f(x)dx = \int {(2x + 3{x^3})dx = {x^2} + \frac{3}{4}{x^4} + C = {x^2}\left( {1 + \frac{3}{4}{x^2}} \right) + C} }\)
Câu 520: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{3{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\). A. \(\int {f(x) = - \left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {1 - {x^2}} + C}\) B. \(\int {f(x) = \left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {1 - {x^2}} + C}\) C. \(\int {f(x) = - \left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {1 - {x^2}} + C}\) D. \(\int {f(x) = \left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {1 - {x^2}} + C}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(u = \sqrt {1 - {x^2}} \Rightarrow du = - \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }};\,\,{x^2} = 1 - {u^2}\) \(\begin{array}{l} \int {\frac{{3{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx = \int { - 3(1 - {u^2})du = {u^3} - 3u + C} } \\ = {\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)^3} - 3\sqrt {1 - {x^2}} + C = - \left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {1 - {x^2}} + C \end{array}\)
