Câu 521: Biết rằng \(\int {{e^{2x}}\cos 3xdx = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c}\), trong đó a, b, c là các hằng số. Tính tổng a+b. A. \(a + b = - \frac{1}{{13}}\) B. \(a + b = - \frac{5}{{13}}\) C. \(a + b = \frac{5}{{13}}\) D. \(a + b = \frac{1}{{13}}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(f(x) = {e^{2x}}(a\cos 3x + b\sin 3x) + c\) \(\begin{array}{l} f'(x) = 2a{e^{2x}}\cos 3x - 3a{e^{2x}}\sin 3x + 2b{e^{2x}}\sin 3x + 3b{e^{2x}}\cos 3x\\ = \left( {2a + 3b} \right){e^{2x}}\cos 3x + (2b - 3a){e^{2x}}\sin 3x \end{array}\) Để f(x) là nguyên hàm của hàm số \({e^{2x}}\cos 3x\) thì: \(f'(x) = {e^{2x}}\cos 3x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a + 3b = 1\\ 2b - 3a = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{2}{{13}}\\ b = \frac{3}{{13}} \end{array} \right. \Rightarrow a + b = \frac{5}{{13}}\)
Câu 522: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x{e^{{x^2} + 1}}\). A. \(\int {f(x)dx = } 2{e^{{x^2} + 1}} + C\) B. \(\int {f(x)dx = } {e^{{x^2} + 1}} + C\) C. \(\int {f(x)dx = } {x^2}{e^{{x^2} + 1}} + C\) D. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}{e^{{x^2} + 1}} + C\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(u = {x^2} + 1 \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow \frac{1}{2}du = xdx\) \(\int {x.{e^{{x^2} + 1}}dx} = \frac{1}{2}\int {{e^u}du} = \frac{1}{2}{e^u} + C = \frac{1}{2}{e^{{x^2} + 1}} + C\)
Câu 523: Cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{{x + 2}}\). Khẳng định nào sau đây là sai? A. \(\int {\frac{1}{{x + 2}}dx = \ln (x + 2) + C}\) B. \(\ln \left( {3\left| {x + 2} \right|} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) C. \(\ln \left| {x + 2} \right| + C\) là họ nguyên hàm của f(x) D. \(\ln \left| {x + 2} \right|\) là một nguyên hàm của f(x) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int {\frac{1}{{x + 2}}dx = \ln \left| {x + 2} \right| + C}\) Do đó các hàm số \(\ln \left| {x + 2} \right|\) và \(\ln \left( {3\left| {x + 2} \right|} \right) = \ln 3 + \ln \left| {x + 2} \right|\) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) . Hàm số \(y = \ln (x + 2)\) không phải nguyên hàm của hàm số f(x).
Câu 524: Cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) . Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) và đồ thị hàm số \(y=F(x)\) đi qua \(M\left( {\frac{\pi }{3};0} \right)\) thì \(F(x)\) là hàm số nào sau đây? A. \(F(x) = \frac{1}{{\sqrt 3 }} - \cot x\) B. \(F(x) = \sqrt 3 - \cot x\) C. \(F(x) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \cot x\) D. \(F(x) = - \cot x + C\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = - \cot x + C\) Điểm \(M\left( {\frac{\pi }{3};0} \right)\)thuộc đồ thị hàm số F(x) nên: \(C - \cot \frac{\pi }{3} = 0 \Leftrightarrow C = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) Vậy A là phương án đúng.
Câu 525: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{x^2} - x - 2}}\). A. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right| + C}\) B. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right| + C}\) C. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}} \right| + C}\) D. \(\int {f(x)dx = \ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right| + C}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \int {\frac{1}{{{x^2} - x - 2}}dx = \int {\frac{1}{{(x - 2)(x + 1)}}} } = \int {\frac{1}{3}\left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)} \\ = \frac{1}{3}\left( {\int {\frac{{dx}}{{x - 2}} - \int {\frac{{dx}}{{x + 1}}} } } \right) = \frac{1}{3}\left( {\ln \left| {x - 2} \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right) + C = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right| + C \end{array}\) Chú ý: \(\frac{1}{{\left( {x + a} \right)(x + b)}} = \frac{1}{{b - a}}\left[ {\left( {\frac{1}{{x + a}} - \frac{1}{{x + b}}} \right)} \right]\), công thức này có thể suy ra bằng cách sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số.
Câu 526: Tìm nguyên hàm cuả hàm số \(f(x) = \frac{{\sqrt {\ln x} }}{x}\). A. \(\int {f(x)dx = 2{{\left( {\ln x} \right)}^{\frac{3}{2}}} + C}\) B. \(\int {f(x)dx = \frac{2}{3}\sqrt {{{\left( {\ln x} \right)}^3}} + C}\) C. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{{2\sqrt {\ln x} }} + C}\) D. \(\int {f(x)dx = \frac{3}{2}\sqrt {{{\left( {\ln x} \right)}^3}} } + C\) Spoiler: Xem đáp án Đặt: $u = \ln x$, khi đó: \(\begin{array}{l} \int {\frac{{\sqrt {\ln x} }}{x}dx} = \int {\sqrt u du} = \int {{u^{\frac{1}{2}}}du} = \frac{2}{3}{u^{\frac{3}{2}}} + C\\ = \frac{2}{3}\sqrt {{u^3}} + C = \frac{2}{3}\sqrt {{{\left( {\ln x} \right)}^3}} + C \end{array}\)
Câu 527: Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ quay quanh trục Ox, biết $f(x) = (x-2)^2$. A. \(V = 3\pi\) B. \(V = \frac{55}{3}\pi\) C. \(V = \frac{33}{5}\pi\) D. \(V = \frac{1}{5}\pi\) Spoiler: Xem đáp án \(V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} dx = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}d\left( {x - 2} \right)}\) \(= \pi .\frac{1}{3}{\left( {x - 2} \right)^3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 0 \end{array}} \right. = \pi .\frac{1}{3}.\left( {{{\left( {3 - 2} \right)}^3} - {{\left( {0 - 2} \right)}^3}} \right)\) \(= 3\pi\)
Câu 528: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^4}x}}\). A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} - \frac{1}{{\cos x}} + C\) B. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} + \frac{1}{{\cos x}} + C\) C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{\cos x}} - \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} + C\) D. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{{\cos x}} - \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} + C\) Spoiler: Xem đáp án \(\int {f(x)dx} = \int {\frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^4}x}}dx} = \int {\frac{{{{\sin }^2}x.\sin x}}{{{{\cos }^4}x}}dx} = \int {\frac{{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\sin x}}{{{{\cos }^4}x}}dx}\) Đặt \(u = \cos x \Rightarrow du = \sin xdx\) Khi đó: \(\begin{array}{l} \int {f(x)dx} = - \int {\frac{{1 - {u^2}}}{{{u^4}}}du = - \int {\left( {\frac{1}{{{u^4}}} - \frac{1}{{{u^2}}}} \right)du} } \\ = - \left( { - \frac{1}{3}.\frac{1}{{{u^3}}} + \frac{1}{u}} \right) + C \end{array}\) Vậy \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} - \frac{1}{{\cos x}} + C\) .
Câu 529: Tính tích phân \(I = \int\limits_1^e {2x\left( {1 - \ln x} \right)dx}\). A. \(I = \frac{{{e^2} - 1}}{2}\) B. \(I = \frac{{{e^2} }}{2}\) C. \(I = \frac{{{e^2} - 3}}{4}\) D. \(I = \frac{{{e^2} - 3}}{2}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} I = \int\limits_1^e {2x\left( {1 - \ln x} \right)dx} = \int\limits_1^e {2xdx} - \int\limits_1^e {2x\ln xdx} \\ = \left. {{x^2}} \right|_1^e - \int\limits_1^e {2x\ln xdx} = {e^2} - 1 - \int\limits_1^e {2x\ln xdx} \end{array}\) Tính: \(\int\limits_1^e {2x\ln xdx}\) Đặt \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} u = \ln x\\ dv = 2xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{1}{x}dx\\ v = {x^2} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \int\limits_1^e {2x\ln xdx} = \left. {{x^2}{\mathop{\rm lnx}\nolimits} } \right|_1^e - \int\limits_1^e {xdx} \\ = \frac{1}{2}{e^2} + \frac{1}{2} \end{array}\) Vậy \(I = {e^2} - 1 - \frac{1}{2}{e^2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}{e^2} - \frac{3}{2}\) Lưu ý: Có thể sử dụng máy tính bỏ túi, và so sánh với các phương án.
Câu 530: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}}\). A. \(\int {f(x)dx = } \frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\) B. \(\int {f(x)dx = } - \frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\) C. \(\int {f(x)dx = } \frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| - \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\) D. \(\int {f(x)dx = } - \frac{1}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \int {\frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}}dx} = \int {\frac{{2x + 3}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}dx} = \int {\left[ {\frac{{ - 4}}{{3\left( {2x + 1} \right)}} + \frac{5}{{3\left( {x - 1} \right)}}} \right]dx} \\ = \frac{{ - 2}}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x + 1} \right| + C \end{array}\)
