Câu 531: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2}\) và trục Ox. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay (H) quanh Ox. A. \(V = \frac{{81\pi }}{{35}}\) B. \(V = \frac{{53\pi }}{{6}}\) C. \(V = \frac{{46\pi }}{{15}}\) D. \(V = \frac{{21\pi }}{{5}}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{1}{3}{x^3} - {x^2} = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\\ x = 0 \end{array} \right.\) Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quanh hình (H) quanh trục Ox là: \(V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2}} \right)}^2}d{\rm{x}}} = \frac{{81}}{{35}}\pi\)
Câu 532: Tính $I = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$ biết \(\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} = 5;\,\int\limits_b^d {f\left( x \right)} = 2\) với $a<b<d$. A. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = -2\) B. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = 7\) C. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = 0\) D. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = 3\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^d {f\left( x \right)dx} = 5\\ \Rightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = 3 \end{array}\)
Câu 533: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y = {x^2} - 1\) và \(y = - {x^2} + 2x + 3\) không được tính bằng công thức nào sau đây? A. \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^2} - x + 2} \right)} dx\) B. \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( {{x^2} - 1} \right) - \left( { - {x^2} + 2x + 3} \right)} \right|} dx\) C. \(S = \int\limits_2^{ - 1} {\left( {2{x^2} - 2x - 4} \right)} dx\) D. \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {2{x^2} - 2x - 4} \right|} dx\) Spoiler: Xem đáp án Ta có phương trình hoành độ giao điểm: \(- {x^2} + 2x + 3 = {x^2} - 1\) \(\Leftrightarrow 2{x^2} - 2x - 4 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1}\\ {x = 2} \end{array}} \right.\) Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đã cho được tính bằng công thức: \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( {{x^2} - 1} \right) - \left( { - {x^2} + 2x + 3} \right)} \right|} dx\). Từ đây suy ra phương án B và D đúng. C đúng vì: \(\begin{array}{l} S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( {{x^2} - 1} \right) - \left( { - {x^2} + 2x + 3} \right)} \right|} dx\\ = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {2{x^2} - 2x - 4} \right|} dx = \int\limits_2^{ - 1} {\left( {2{x^2} - 2x - 4} \right)} dx\\ (do\,2{x^2} - 2x - 4 < 0,\forall x \in \left( { - 1;2} \right)\, \end{array}\) Nhận xét ta có thể suy ra ngay A sai vì rõ ràng thiếu hẳn hệ số 2 và \({ - {x^2} - x + 2}\) không lớn hơn 0 \(\forall x\in(-1;2)\).
Câu 534: Tính thể tích V của khối tròn xoay khi cho đường cong có phương trình \({x^2} + {(y - 1)^2} = 1\) quay quanh trục hoành. A. \(V = 8{\pi ^2}\) B. \(V = 6{\pi ^2}\) C. \(V = 4{\pi ^2}\) D. \(V = 2{\pi ^2}\) Spoiler: Xem đáp án \({x^2} + {(y - 1)^2} = 1 \Leftrightarrow {(y - 1)^2} = 1 - {x^2} \Leftrightarrow y = 1 \pm \sqrt {1 - {x^2}} \,( - 1 \le x \le 1)\) Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là: \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {{{\left( {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2} - {{\left( {1 - \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}} \right]dx}\) \(= 4\pi \int\limits_{ - 1}^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} = 2{\pi ^2}\)
Câu 535: Tính tích phân \(I = \int\limits_{\ln 2}^{\ln 5} {\frac{{{e^{2x}}}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}dx}\) bằng phương pháp đổi biến số \(u = \sqrt {{e^x} - 1}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. \(I = \left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^2}\\ {_1} \end{array}} \right.\) B. \(I = \frac{4}{3}\left( {{u^3} + u} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^2}\\ {_1} \end{array}} \right.\) C. \(I = 2\left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^2}\\ {_1} \end{array}} \right.\) D. \(I = \frac{1}{3}\left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^2}\\ {_1} \end{array}} \right.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(u = \sqrt {{e^x} - 1} \Rightarrow {u^2} = {e^x} - 1 \Rightarrow 2udu = {e^x}dx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = \ln 2 \Rightarrow u = 1.\\ x = \ln 5 \Rightarrow u = 2. \end{array} \right.\) \(I = \int\limits_{\ln 2}^{\ln 5} {\frac{{{e^{2x}}}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}dx} = \int\limits_1^2 {\frac{{\left( {{u^2} + 1} \right)2u}}{u}} du\) \(= 2\int\limits_1^2 {{u^2}du + 2\int\limits_1^2 {du} = 2\left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^2}\\ {_1} \end{array}} \right.}\)
Câu 536: Một vật chuyển động với vận tốc \(v(t)\,(m/s)\) có gia tốc \(v'(t) = \frac{3}{{1 + t}}(m/{s^2})\). Vân tốc ban đầu của vật là 6 m/s. Tính vận tốc của vật sau 10 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). A. 14 m/s B. 13 m/s C. 11 m/s D. 12 m/s Spoiler: Xem đáp án \(v(t) = \int {v'(t)dt = \int {\frac{3}{{t + 1}}dt = 3\ln \left| {t + 1} \right| + C} }\) Tại thời điểm ban đầu (t=0) \(\begin{array}{l} v(0) = 3\ln 1 + C = 6 \Leftrightarrow C = 6\\ \Rightarrow v(t) = 3\ln \left| {t + 1} \right| + 6 \end{array}\) Tại thời điểm 10 giây: \(v(10) = 3\ln 11 + 6 \approx 13(m/s)\).
Câu 537: Gọi V là thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình \(y = {x^{\frac{1}{2}}}.{e^{\frac{x}{2}}}\), trục Ox, các đường thẳng x=1, x=2 quay một vòng quanh trục Ox. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. \(V = \pi \int\limits_1^2 {x.{e^x}dx}\) B. \(V = \pi \int\limits_1^2 {{x^{\frac{1}{2}}}.{e^{\frac{x}{2}}}dx}\) C. \(V = {\pi ^2}\int\limits_1^2 {x.{e^x}dx}\) D. \(V = {\pi ^2}\int\limits_1^2 {{x^{\frac{1}{2}}}.{e^{\frac{x}{2}}}dx}\) Spoiler: Xem đáp án \(V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {{x^{\frac{1}{2}}}.{e^{\frac{x}{2}}}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_1^2 {x{e^x}dx} .\)
Câu 538: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = {x^2} - 4x + 3\) và trục Ox. A. \(S = \frac{4}{3}\) B. \(S = \frac{2}{3}\) C. \(S = \frac{1}{3}\) D. \(S = 1\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) cắt trục Ox tại x=1 và x=3. \(\forall x \in \left[ {1;3} \right],y \le 0\) nên \(S = \int\limits_1^3 { - \left( {{x^2} - 4x + 3} \right)dx} = \frac{4}{3}\).
Câu 539: Cho tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}xdx.}\) Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. \(I = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^\pi }\\ {_0} \end{array}} \right.\) B. \(I = \frac{1}{8}\left( {x + \frac{1}{4}\sin 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^\pi }\\ {_0} \end{array}} \right.\) C. \(I = \frac{1}{8}\left( {x - \frac{1}{4}\sin 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^\pi }\\ {_0} \end{array}} \right.\) D. \(I = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^\pi }\\ {_0} \end{array}} \right.\) Spoiler: Xem đáp án \(I = \int\limits_0^\pi {{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}xdx} = \frac{1}{4}\int\limits_0^\pi {{{\sin }^2}2xdx}\) \(= \frac{1}{8}\int\limits_0^\pi {\left( {1 - \cos 4x} \right)dx} = \frac{1}{8}\left( {x - \sin 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^\pi }\\ {_0} \end{array}} \right.\)
Câu 540: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm là \(f'(x) = \frac{1}{{2x - 1}}\). Tính f(5) biết f(1)=1. A. ln 2 B. ln 3 C. ln 2+1 D. ln 3+1 Spoiler: Xem đáp án \(f'(x) = \frac{1}{{2x - 1}} \Rightarrow f(x) = \frac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right| + C\) \(f(1) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\ln 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 1\) Vậy: \(f(x) = \frac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right| + 1\) \(\Rightarrow f(5) = \frac{1}{2}\ln 9 + 1 = \ln 3 + 1.\)
