Câu 541: Gọi h(t) (cm) là mực nước ở bồn chứa sau khi bơm được t giây. Biết rằng \(h'(t) = \frac{1}{5}\sqrt[3]{{t + 8}}\) và lúc đầu bồn cầu không có nước. Tính mực nước ở bồn sau khi bơm được 6 giây. (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). A. 2.33 (cm) B. 5.06 (cm) C. 2.66 (cm) D. 3.33 (cm) Spoiler: Xem đáp án \(h(t) = \int {h'(t)dt = \int {\frac{1}{5}\sqrt[3]{{t + 8}}dt = \int {\frac{1}{5}{{\left( {t + 8} \right)}^{\frac{1}{3}}}dt = \frac{3}{{20}}{{\left( {t + 8} \right)}^{\frac{4}{3}}} + C} } }\) Tại thời điểm ban đầu (t=0) \(\begin{array}{l} h(0) = \frac{3}{{20}}{8^{\frac{4}{3}}} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{{12}}{5}\\ \Rightarrow h(t) = \frac{3}{{20}}{(t + 8)^{\frac{4}{3}}} - \frac{{12}}{5} \end{array}\) Tại thời điểm t=6 giây: \(h(6) = \frac{3}{{20}}{14^{\frac{4}{3}}} - \frac{{12}}{5} \approx 2.66\)
Câu 542: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong \((C):{y^2} - 2y + x = 0\) và đường thẳng \(d:x + y = 0\). A. \(S= \frac{7}{2}\) B. \(S= \frac{9}{2}\) C. \(S= \frac{11}{2}\) D. \(S= \frac{13}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Giao điểm của đường cong (C) và đường thẳng d là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2x + y = 0\\ x + y = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = - {x^2} + 2x\\ y = - x \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ y = 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = 3\\ y = -3 \end{array} \right. \end{array} \right.\) Diện tích hình phẳng là: \(S = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 2x - ( - x)} \right|}dx = \int\limits_0^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)dx = \frac{9}{2}}\) (do \(- {x^2} + 3x \ge 0\,,\forall x \in \left[ {0;3} \right]\))
Câu 543: Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=lnx, trục Ox, và đường thẳng x=2 quanh trục Ox. A. \(V = \pi {\left( {\ln 4 - 1} \right)^2}\) B. \(V = \pi {\left( {\ln 4 - 1} \right)^2}\) C. \(V = 2\pi {\left( {\ln 2 - 1} \right)^2}\) D. \(V = 2\pi {\left( {\ln 4 - 1} \right)^2}\) Spoiler: Xem đáp án Hoành độ giao điểm giữa (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình \(\ln x = 0 \Leftrightarrow x = 1\). \(V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {\ln x} \right)}^2}dx}\). Đến đây ta chỉ việc dùng máy tính bỏ túi để tính tích phần và đối chiếu với 4 phương án A, B, C, D.
Câu 544: Cho \(\int {f(x)dx = F(x) + C}\). Khi đó với \(a \ne 0\), tính \(\int {f(ax + b)dx}\). A. \(\int {f(ax + b)dx} = aF(ax + b) + C\) B. \(\int {f(ax + b)dx} = \frac{1}{a}F(ax + b) + C\) C. \(\int {f(ax + b)dx} = \frac{1}{{2a}}F(ax + b) + C\) D. \(\int {f(ax + b)dx} = F(ax + b) + C\) Spoiler: Xem đáp án \(\int {f(ax + b)dx} = \frac{1}{a}F(ax + b) + C\) Vì \(\frac{1}{a}\left[ {F(ax + b)} \right]' = \frac{1}{a}\left[ {a.f(ax + b)} \right] = f(ax + b)\)
Câu 545: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \left( {2x - 1} \right){e^x}dx\). A. \(\int {f(x) = 2x{e^x} + C}\) B. \(\int {f(x) = (2x - 1){e^x} + C}\) C. \(\int {f(x) = (2x - 2){e^x} + C}\) D. \(\int {f(x) = (2x - 3){e^x} + C}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = 2x - 1 \Rightarrow du = 2dx\\ dv = {e^x}dx \Rightarrow v = {e^x} \end{array} \right.\) \(\Rightarrow \int {(2x - 1){e^x}dx = \left( {2x - 1} \right)} {e^x} - \int {{e^x}2dx} = (2x - 1){e^x} - 2{e^x} + C\) \(= (2x - 3){e^x} + C\)
Câu 546: Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {x + {{\cos }^2}x} \right)\sin xdx}\). A. I=-1 B. \(I = \frac{4}{3}\) C. \(I = \frac{1}{3}\) D. I=0 Spoiler: Xem đáp án - Tính nhanh bằng máy tính bỏ túi: Shirt Mode+4 (chuyển chế độ rad) Nhập máy \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {x + \cos x\cos x} \right)\sin xdx} + \) Sẽ ra đáp án B - Tính bằng cách thông thường như sau: \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {x + {{\cos }^2}x} \right)\sin xdx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\sin xdx + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}x.\sin xdx} }\) Đặt: \({I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\sin xdx}\) tính bằng phương pháp tích phân từng phần. Đặt \({I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}x.\sin xdx}\) tính bằng phương pháp đổi biến (đặt t=cosx)
Câu 547: Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3}}}dx}\) ta được kết quả \(I = a + {\mathop{\rm lnb}\nolimits}\). Tính tổng a+b. A. a+b=1 B. a+b=2 C. a+b=0 D. a+b=-1 Spoiler: Xem đáp án \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3}}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx} = \left. {\left( {\ln \left| x \right| + \frac{2}{x}} \right)} \right|_1^2\) \(= \left( {\ln 2 + 1} \right) - \left( {\ln 1 + 2} \right) = - 1 + \ln 2\) Vậy a=-1; b=2. Suy ra a+b=1.
Câu 548: Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên miền \(D = \left[ {a;b} \right]\) có đồ thị là một đường cong C, người ta có thể tính độ dài C bằng công thức: \(L = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + {{\left( {f'(x)} \right)}^2}} dx}\) Với thông tin đó, hãy tính độ dài \({L_{(C)}}\) của đường cong C cho bởi \(y = \frac{{{x^2}}}{8} - \ln x\) trên [1;2] A. \({L_{(C)}} = \frac{3}{8} - \ln 2\) B. \({L_{(C)}} = \frac{{31}}{{24}} - \ln 4\) C. \({L_{(C)}} = \frac{3}{8} + \ln 2\) D. \({L_{(C)}} = \frac{{31}}{{24}} + \ln 4\) Spoiler: Xem đáp án \(f'(x) = \frac{x}{4} - \frac{1}{x}\) nên áp dụng công thức ta có: \(\sqrt {1 + {{\left( {f'(x)} \right)}^2}} = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{x}{4} - \frac{1}{x}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} \right)}^2}} = \frac{x}{4} + \frac{1}{x}\) với \(x \in \left[ {1;2} \right]\). Do đó: \({L_{(C)}} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} \right)dx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{8} + \ln x} \right)} \right|} _1^2 = \frac{3}{8} + \ln 2\)
Câu 549: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho \(h'\left( t \right) = 3a{t^2} + bt\) và: Ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150 m3 Sau 10 giây thi thể tích nước trong bể là 1100 m3 Tính thể tích V của nước trong bể sau khi bơm được 20 giây. A. V=8400 (m3) B. V=2200 (m3) C. V=600 (m3) D. V=4200 (m3) Spoiler: Xem đáp án Nhìn vào bài toán ta có thể nhận ra ngay đây là bài toán tính tích phân, vì đã có đạo hàm. Nên từ các dữ kiện đề cho ta có: \(\int\limits_0^5 {\left( {3a{t^2} + bt} \right)dt} = \left( {a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 0 \end{array}} \right.\)\(= 125a + \frac{{25}}{2}b = 150\) Tương tự ta có \(1000a + 50b = 1100\) Vậy từ đó ta tính được \(a = 1;b = 2\) Vậy thể tích nước sau khi bơm được 20 giây là \(\int\limits_0^{20} {h'\left( t \right)dt} = \left( {{t^3} + {t^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {20}\\ 0 \end{array}} \right. = 8400.\)
Câu 550: Tìm a biết\(\int {\frac{1}{{\sqrt {ax + {a^2} - 8} }}dx = \frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} + C}\). A. a=1 B. a=2 C. a=3 D. a=4 Spoiler: Xem đáp án \(\int {\frac{1}{{\sqrt {ax + {a^2} - 8} }}dx = \frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} + C}\) \(\Rightarrow \int \frac{1}{\sqrt{ax+a^{2}-8}}dx=\left ( \frac{2}{3}\sqrt{3x+1}+C \right )'=\frac{1}{\sqrt{3x+1}}\Rightarrow a=3\)
