Câu 551: Tính tích phân \(\int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx}\) được kết quả \(a + \frac{b}{e}\). Tính tổng \(a + b\). A. -2 B. -1 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án \(I = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx}\) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} \ln x = u \to du = \frac{1}{x}dx\\ \frac{{dx}}{{{x^2}}} = dv \Rightarrow v = - \frac{1}{x} \end{array} \right.\) Khi đó \(I = \left. { - \frac{1}{x}.\ln x} \right|_1^e - \int\limits_1^e { - \frac{1}{x}.\frac{1}{x}dx}\) \(= \left( { - \frac{1}{e}.{\mathop{\rm lne}\nolimits} } \right) - \left( { - \frac{1}{1}.\ln 1} \right) + \int\limits_1^e {\frac{1}{{{x^2}}}dx}\) \(= \frac{{ - 1}}{e} + \left. {\left( { - \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^e = \frac{{ - 1}}{e} - \frac{1}{e} + \frac{1}{1} = 1 - \frac{2}{e}\) Vậy a=1; b=-2 nên a+b=-1.
Câu 552: Tốc độ thay đổi doanh thu (bằng đô la trên một máy tính) cho việc bán x máy tính là f(x), biết \(f'\left( x \right) = 12{x^5} + 3{x^2} + 2x + 12\). Tìm tổng doanh thu khi bán được mười hai máy tính đầu tiên. A. 5973984 đô la B. 1244234 đô la C. 622117 đô la D. 2986992 đô la Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int {\left( {12{x^5} + 3{x^2} + 2x + 12} \right)dx}\) \(= \frac{{12}}{{5 + 1}}{x^6} + 3.\frac{1}{{2 + 1}}{x^3} + 2.\frac{1}{{1 + 1}}{x^2} + 12x + C\) \(= 2{x^6} + {x^3} + {x^2} + 12x + C\). Đây là “Tốc độ thay đổi doanh thu ( bằng đô la trên một máy tính) cho việc bán x máy tính” nên C = 0. Do vậy ta chỉ cần thay x = 12 vào sẽ được: \(f\left( {12} \right) = {2.12^6} + {12^3} + 12.12 = 5973984\)
Câu 553: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x{e^{3x}}\). A. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}\left( {x{e^{3x}} - {e^{3x}}} \right) + C}\) B. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}x{e^{3x}} - \frac{1}{9}{e^{3x}} + C}\) C. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{9}\left( {x{e^{3x}} - {e^{3x}}} \right) + C}\) D. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{9}x{e^{3x}} - \frac{1}{3}{e^{3x}} + C}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ {e^{3x}}dx = dv \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = \frac{1}{3}{e^{3x}} \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \int {f(x)dx = \int {x{e^{3x}}dx = \frac{1}{3}x{e^{3x}} - \frac{1}{3}\int {{e^{3x}}dx} } } \\ = \frac{1}{3}x{e^{3x}} - \frac{1}{9}{e^{3x}} + C \end{array}\)
Câu 554: Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {1 - {x^2}} ;x = 0;y = 0\) khi quay quanh trục Ox không được tính bằng công thức nào sau đây? A. \(\pi \int\limits_0^1 {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}dx}\) B. \(\pi \int\limits_0^1 {\left( {1 - {x^2}} \right)dx}\) C. \(\pi \left( {x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right.\) D. \(\frac{{2\pi }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Với bài toán này ta không thể cần thực hiện đủ các bước tính thể tích khối xoay mà vẫn có thể tìm được đáp án đúng như sau: Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right);x = a;x = b;y = 0;\) với a>b khi quay quanh trục Ox là \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} dx\). Nhìn vào đáp án A ta có thể nhận thấy ngay đáp án này sai do \({\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)^2} \ne {\left( {1 - {x^2}} \right)^2}\).
Câu 555: Một công ty phải gánh chịu nợ gia tăng với tốc độ D(t) đô la mỗi năm, với \(D'\left( t \right) = 90\left( {t + 6} \right)\sqrt {{t^2} + 12t}\) trong đó t là thời gian (tính theo năm) kể từ công ty bắt đầy vay nợ. Đến năm thứ tư công ty đã phải chịu 1 610 640 đô la tiền nợ nần. Tìm hàm số biểu diễn tốc độ nợ nần của công ty này? A. \(D\left( t \right) = 30\sqrt {{{\left( {{t^2} + 12t} \right)}^3}} + C\) B. \(D\left( t \right) = 30\sqrt[3]{{{{\left( {{t^2} + 12t} \right)}^2}}} + 1610640\) C. \(D\left( t \right) = 30\sqrt {{{\left( {{t^2} + 12t} \right)}^3}} + 1595280\) D. \(D\left( t \right) = 30\sqrt[3]{{{{\left( {{t^2} + 12t} \right)}^2}}} + 1610640\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int {90\left( {t + 6} \right)\sqrt {{t^2} + 12tdt} } = 45\int {\sqrt {{t^2} + 12t} d\left( {{t^2} + 12t} \right)}\) \(= 45\int {{{\left( {{t^2} + 12t} \right)}^{\frac{1}{2}}}d\left( {{t^2} + 2t} \right)}\) \(= 45.\frac{1}{{1 + \frac{1}{2}}}{\left( {{t^2} + 12t} \right)^{1 + \frac{1}{2}}}\) \(= 30.\sqrt {{{\left( {{t^2} + 12t} \right)}^3}}\) Vì đến năm thứ tư công ty đã chịu 1610640 tiền nợ nần nên số tiền mà công ty vay năm đầu sẽ được tính \(1610640 - 30\sqrt {{{\left( {{4^2} + 12.4} \right)}^3}} = 1595280\) Vậy công thức tính tiền nợ nần sẽ như sau: \(D\left( t \right) = 30\sqrt {{{\left( {{t^2} + 12t} \right)}^3}} + 1595280\)
Câu 556: Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {8 + \cos x} dx}\). Đặt \(u = 8 + \cos x\) thì kết quả nào sau đây là đúng? A. \(I = 2\int\limits_8^9 {\sqrt u du}\) B. \(I = \frac{1}{2}\int\limits_9^8 {\sqrt u du}\) C. \(I = \int\limits_9^8 {\sqrt u du}\) D. \(I = \int\limits_8^9 {\sqrt u du}\) Spoiler: Xem đáp án Ta nhận thấy \(\left( {\cos x + 8} \right)' = - \sin x\). Vậy \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {8 + \cos x} } dx = - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {8 + \cos x} d\left( {8 + \cos x} \right)}\) Đổi cận Khi đó: \(I = - \int\limits_9^8 {\sqrt u } du = \int\limits_8^9 {\sqrt u } du\)
Câu 557: Tính thể tích V của khối trong xoay được tạo nên khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {36 - {x^2}}\) với trục hoành khi quay quanh trục hoành. A. \(V = 288\pi\)(đvtt) B. \(V = 144\pi\)(đvtt) C. \(V = 12\pi\)(đvtt) D. Không tính được. Spoiler: Xem đáp án \(y = \sqrt {36 - {x^2}} \Leftrightarrow {y^2} + {x^2} = 36\) Đây là đồ thị phương trình đường tròn có tâm O(0;0) bán kính bẳng 6. Khi đó khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số với trục hoành quanh trục hoành chính là khối cầu tâm O(0;0) bán kính bằng 6. Thể tích khối cầu sẽ được tính bằng công thức \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}.\pi {.6^3} = 288\pi\)
Câu 558: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{4{x^3} - 5{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\). A. \(\int {f(x)} dx = 2{x^2} - 5x + \frac{1}{x} + C\) B. \(\int {f(x)} dx = {x^2} - 5x + \frac{1}{x} + C\) C. \(\int {f(x)} dx = 2{x^2} - 5x + \ln \left| x \right| + C\) D. \(\int {f(x)} dx = 2{x^2} - 5x - \frac{1}{x} + C\) Spoiler: Xem đáp án Nhìn vào phân thức cần tìm nguyên hàm ta thấy đa thức ở tử số có bậc lớn hơn bậc của mẫu số, nên ta sẽ tiến hành chia tử số cho mẫu số ta được: \(\int {\frac{{4{x^3} - 5{x^2} - 1}}{{{x^2}}}} dx = \int {\left( {4x - 5 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx}\).\(= 2{x^2} - 5x + \frac{1}{x} + C\)
Câu 559: Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{4}{{x - 4}},y = 0,x = 0,x = 2\) quay một vòng quanh trục Ox là (theo đơn vị thể tích). A. \(V = 2\pi\) (đvtt) B. \(V = 4\pi\) (đvtt) C. \(V = 6\pi\)(đvtt) D. \(V = 8\pi\)(đvtt) Spoiler: Xem đáp án Sử dụng Casio. \(V = \pi \int\limits_0^2 {\left| {{{\left( {\frac{4}{{x - 4}}} \right)}^2} - {0^2}} \right|dx} = \pi \int\limits_0^2 {\frac{{16}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}dx}\) Nhập vào máy \(\pi \int\limits_0^2 {\frac{{16}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}dx} = 4\pi\).
Câu 560: Tính tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}x.\sin xdx}\). A. \(I = - \frac{1}{4}{\pi ^4}\) B. \(I = - {\pi ^4}\) C. \(I = 0\) D. \(D = - \frac{1}{4}\) Spoiler: Xem đáp án + Cách 1: Bấm máy tính. + Cách 2: Giải bằng cách thông thường. Đặt \(u = \cos x \Rightarrow du = - \sin xdx\). \(I = - \int\limits_1^{ - 1} {{u^3}du = } \int\limits_{ - 1}^1 {{u^3}du = } \left. {\frac{1}{4}{u^4}} \right|_{ - 1}^1 = 0\)
