Trắc Nghiệm Chuyên Đề Nguyên Hàm, Tích Phân Và ứng Dụng

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Câu 561:
    Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
    • A. \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)dx} = \int\limits_1^0 {\left( {{x^2} - {x^3}} \right)} dx\)
    • B. \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)dx} = \int\limits_0^2 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)} dx + \int\limits_2^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)} dx\)
    • C. \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)} dx = \int\limits_0^2 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)} dx - \int\limits_2^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)} dx\)
    • D. \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)} dx = \int\limits_0^1 {{x^3}dx} - \int\limits_0^1 {{x^2}dx}\)
    Ta có:

    \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)} dx\)

    Từ công thức trên ta suy ra được mệnh đề B là mệnh đề đúng.

    Tiếp theo với mệnh đề A: Ta có \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_b^a { - f\left( x \right)dx}\) , nên mệnh đề này đúng.

    Với mệnh đề D, ta thấy đây là mệnh đề đúng. Và chỉ còn đáp án C.
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Câu 562:
    Cho hàm số f(x) xác định và đồng biến trên [0;1] và có \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\), công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các hàm số \({y_1} = f\left( x \right);{y_2} = {\left( {f\left( x \right)} \right)^2};{x_1} = 0;{x_2} = 1\) là:
    • A. \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {f\left( x \right)\left( {1 - f\left( x \right)} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)dx}\)
    • B. \(\int\limits_0^1 {\left\{ {f\left( x \right) - {{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}} \right\}dx}\)
    • C. \(\int\limits_0^1 {\left\{ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} - f\left( x \right)} \right\}dx}\)
    • D. \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left| {f\left( x \right)} \right|\left( {1 - f\left( x \right)} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)dx}\)
    Công thức tổng quát ứng với

    \({y_1} = f\left( x \right);{y_2} = g\left( x \right);{x_1} = a;{x_2} = b\left( {a < b} \right)\)

    \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}\)

    Do \(f\left( x \right)\) đồng biến nên ta có:

    \(f\left( x \right) < 1 \Rightarrow x < \frac{1}{2};\,f\left( x \right) \ge 1 \Rightarrow x \ge 1\)

    \(\Rightarrow S = \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right) - {{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)} \right|dx}\)

    \(= \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left| {f\left( x \right)} \right|\left( {1 - f\left( x \right)} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)dx}\)

    Vậy đáp án đúng là D.
     
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Câu 563:
    Tính tích phân\(I = \int\limits_0^1 {\left( {\left| {2x - 1} \right| - \left| x \right|} \right)dx}\).
    • A. I=0
    • B. I=1
    • C. I=2
    • D. I=3
    \(I = \int\limits_0^1 {\left( {\left| {2x - 1} \right| - \left| x \right|} \right)dx}\)

    [​IMG]

    \(\Rightarrow I = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( { - 2x + 1 - x} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {2x - 1 - x} \right)dx}\)

    \(= \left. {\left( { - \frac{{3{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}} + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^1 = \frac{{ - 3}}{8} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 - \frac{1}{8} + \frac{1}{2} = 0\)
     
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Câu 564:
    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi : \(y = \sqrt x ,y = x - 2,y = 0\).
    • A. S=3
    • B. S=10
    • C. \(S = \frac{{10}}{3}\)
    • D. \(S = \frac{{3}}{10}\)
    Bước 1 : Chuyển sang x theo y : \(y = \sqrt x ,y = x - 2,y = 0 \Rightarrow x = {y^2},x = y + 2\)

    Lập phương trình ẩn y: \({y^2} = y + 2 \Rightarrow y = 2,y = - 1\) (loại)

    Bước 2: \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{y^2} - y - 2} \right|dy} = \int\limits_0^2 { - \left( {{y^2} - y - 2} \right)dy} = \frac{{10}}{3}\)
     
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Câu 565:
    Tìm nguyên hàm của hàm số: \(f\left( x \right) = {e^x}\cos x\).
    • A. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}{e^x}\left( {\cos x + \sin x} \right) + C\)
    • B. \(\int {f(x)dx = } - {e^x}\sin x + C\)
    • C. \(\int {f(x)dx = } \frac{{{e^x}}}{{\cos x}} + C\)
    • D. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}{e^x}\left( {\cos x - \sin x} \right) + C\)
    \(\int {{e^x}\cos xdx} = {e^x}\sin x - \int {{e^x}\sin xdx}\)

    \(\int {{e^x}\sin xdx} = - {e^x}\cos x + \int {{e^x}\cos xdx}\)

    Do đó ta có:

    \(\int {{e^x}\cos xdx} = {e^x}\sin x + {e^x}\cos x - \int {{e^x}\cos xdx}\)

    \(\Rightarrow \int {{e^x}\cos xdx} = \frac{1}{2}{e^x}\left( {\cos x + \sin x} \right)\)

    Vậy đáp án đúng là A.
     
  6. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Câu 566:
    Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x\left( {4 - x} \right)\) với trục hoành.
    • A. \(V = \frac{{512}}{{15}}\)
    • B. \(V = \frac{{32}}{3}\)
    • C. \(V = \frac{{512\pi }}{{15}}\)
    • D. \(V = \frac{{32\pi }}{3}\)
    Với dạng này ta cần nhớ công thức tính

    \({V_{Ox}} = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}\) (đvtt)

    Đầu tiên ta tìm giao của đồ thị với Ox ta được \(x = 0 \vee x = 4\).

    Lúc này ta chỉ cần nhập biểu thức vào máy tính như sau:

    [​IMG]

    Vậy đáp án là C.
     
  7. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Câu 567:
    Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {3x + 2}\).
    • A. \(\int {f\left( x \right)} = \frac{2}{3}\left( {3x + 2} \right)\sqrt {3x + 2} + c\)
    • B. \(\int {f\left( x \right)} = \frac{2}{9}\left( {3x + 2} \right)\sqrt {3x + 2} + c\)
    • C. \(\int {f\left( x \right)} = \frac{1}{3}\left( {3x + 2} \right)\sqrt {3x + 2} + c\)
    • D. \(\int {f\left( x \right)} = \frac{3}{2}.\frac{1}{{\sqrt {3x + 2} }} + c\)
    Đây là dạng tìm nguyên hàm cơ bản

    \(\int {{u^n}dx} = \frac{1}{{u'.\left( {n + 1} \right)}}.{u^{n + 1}} + c\)

    Áp dụng công thức trên vào thì

    \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{{3.\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)}}.{\left( {\sqrt {3x + 2} } \right)^{1 + \frac{1}{2}}} + c\)

    \(= \frac{2}{9}\left( {3x + 2} \right)\sqrt {3x + 2} + c\)
     
  8. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Câu 568:
    Tính tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}x.\sin xdx}\).
    • A. \(I = \frac{{ - 2}}{3}\)
    • B. \(I = \frac{2}{3}\)
    • C. \(I = \frac{3}{2}\)
    • D. I=0
    - Cách 1: Đặt

    \(\begin{array}{l} u = \cos x \Rightarrow du = - \sin xdx\\ \Rightarrow I = \int\limits_1^{ - 1} { - {u^2}du = } \int\limits_{ - 1}^1 {{u^2}du = \frac{1}{3}{u^3}} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 1} \end{array} = \frac{2}{3}} \right. \end{array}\)

    - Cách 2: dùng máy tính bỏ túi.
     
  9. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Câu 569:
    Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x = 0;x = \pi\), biết rằng thiết diện của vật thể với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \(x\left( {0 \le x \le \pi } \right)\) là một tam giác đều có cạnh là \(2\sqrt {\sin x}\)
    • A. \(\sqrt 3\)
    • B. \(\frac{\pi }{{\sqrt 3 }}\)
    • C. \(2\sqrt 3\)
    • D. \(2\pi\)
    Bài này yêu cầu nắm vững công thức: \(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx}\)

    Gọi S(x) là diện tích của thiết diện đã cho thì:

    \(S\left( x \right) = {\left( {2\sqrt {\sin x} } \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 \sin x\)

    Thể tích vật thể là:

    \(V = \int\limits_0^\pi {S\left( x \right)dx} = \int\limits_0^\pi {\sqrt 3 \sin xdx} = 2\sqrt 3\)

    Vậy đáp án đúng là C.
     
  10. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Câu 570:
    Một đám vi khuẩn tại ngày thứ x có số lượng là N(x). Biết rằng \(N'\left( x \right) = \frac{{2000}}{{1 + x}}\) và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con. Tìm số lượng vi khuẩn vào ngày thứ 12.
    • A. 10130
    • B. 5130
    • C. 5154
    • D. 10129
    Thực chất đây là một bài toán tìm nguyên hàm. Cho \(N'\left( x \right)\) và đi tìm N(x)

    Ta có: \(\int {\frac{{2000}}{{1 + x}}dx} = 2000.\ln \left| {1 + x} \right| + 5000\) (Do ban đầu khối lượng vi khuẩn là 5000). Với x =12 thì số lượng vi khuẩn là \(\approx 10130\) con.