Câu 561: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)dx} = \int\limits_1^0 {\left( {{x^2} - {x^3}} \right)} dx\) B. \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)dx} = \int\limits_0^2 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)} dx + \int\limits_2^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)} dx\) C. \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)} dx = \int\limits_0^2 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)} dx - \int\limits_2^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)} dx\) D. \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)} dx = \int\limits_0^1 {{x^3}dx} - \int\limits_0^1 {{x^2}dx}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)} dx\) Từ công thức trên ta suy ra được mệnh đề B là mệnh đề đúng. Tiếp theo với mệnh đề A: Ta có \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_b^a { - f\left( x \right)dx}\) , nên mệnh đề này đúng. Với mệnh đề D, ta thấy đây là mệnh đề đúng. Và chỉ còn đáp án C.
Câu 562: Cho hàm số f(x) xác định và đồng biến trên [0;1] và có \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\), công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các hàm số \({y_1} = f\left( x \right);{y_2} = {\left( {f\left( x \right)} \right)^2};{x_1} = 0;{x_2} = 1\) là: A. \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {f\left( x \right)\left( {1 - f\left( x \right)} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)dx}\) B. \(\int\limits_0^1 {\left\{ {f\left( x \right) - {{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}} \right\}dx}\) C. \(\int\limits_0^1 {\left\{ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} - f\left( x \right)} \right\}dx}\) D. \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left| {f\left( x \right)} \right|\left( {1 - f\left( x \right)} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)dx}\) Spoiler: Xem đáp án Công thức tổng quát ứng với \({y_1} = f\left( x \right);{y_2} = g\left( x \right);{x_1} = a;{x_2} = b\left( {a < b} \right)\) \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}\) Do \(f\left( x \right)\) đồng biến nên ta có: \(f\left( x \right) < 1 \Rightarrow x < \frac{1}{2};\,f\left( x \right) \ge 1 \Rightarrow x \ge 1\) \(\Rightarrow S = \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right) - {{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)} \right|dx}\) \(= \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left| {f\left( x \right)} \right|\left( {1 - f\left( x \right)} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)dx}\) Vậy đáp án đúng là D.
Câu 563: Tính tích phân\(I = \int\limits_0^1 {\left( {\left| {2x - 1} \right| - \left| x \right|} \right)dx}\). A. I=0 B. I=1 C. I=2 D. I=3 Spoiler: Xem đáp án \(I = \int\limits_0^1 {\left( {\left| {2x - 1} \right| - \left| x \right|} \right)dx}\) \(\Rightarrow I = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( { - 2x + 1 - x} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {2x - 1 - x} \right)dx}\) \(= \left. {\left( { - \frac{{3{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}} + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^1 = \frac{{ - 3}}{8} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 - \frac{1}{8} + \frac{1}{2} = 0\)
Câu 564: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi : \(y = \sqrt x ,y = x - 2,y = 0\). A. S=3 B. S=10 C. \(S = \frac{{10}}{3}\) D. \(S = \frac{{3}}{10}\) Spoiler: Xem đáp án Bước 1 : Chuyển sang x theo y : \(y = \sqrt x ,y = x - 2,y = 0 \Rightarrow x = {y^2},x = y + 2\) Lập phương trình ẩn y: \({y^2} = y + 2 \Rightarrow y = 2,y = - 1\) (loại) Bước 2: \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{y^2} - y - 2} \right|dy} = \int\limits_0^2 { - \left( {{y^2} - y - 2} \right)dy} = \frac{{10}}{3}\)
Câu 565: Tìm nguyên hàm của hàm số: \(f\left( x \right) = {e^x}\cos x\). A. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}{e^x}\left( {\cos x + \sin x} \right) + C\) B. \(\int {f(x)dx = } - {e^x}\sin x + C\) C. \(\int {f(x)dx = } \frac{{{e^x}}}{{\cos x}} + C\) D. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}{e^x}\left( {\cos x - \sin x} \right) + C\) Spoiler: Xem đáp án \(\int {{e^x}\cos xdx} = {e^x}\sin x - \int {{e^x}\sin xdx}\) \(\int {{e^x}\sin xdx} = - {e^x}\cos x + \int {{e^x}\cos xdx}\) Do đó ta có: \(\int {{e^x}\cos xdx} = {e^x}\sin x + {e^x}\cos x - \int {{e^x}\cos xdx}\) \(\Rightarrow \int {{e^x}\cos xdx} = \frac{1}{2}{e^x}\left( {\cos x + \sin x} \right)\) Vậy đáp án đúng là A.
Câu 566: Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x\left( {4 - x} \right)\) với trục hoành. A. \(V = \frac{{512}}{{15}}\) B. \(V = \frac{{32}}{3}\) C. \(V = \frac{{512\pi }}{{15}}\) D. \(V = \frac{{32\pi }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Với dạng này ta cần nhớ công thức tính \({V_{Ox}} = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}\) (đvtt) Đầu tiên ta tìm giao của đồ thị với Ox ta được \(x = 0 \vee x = 4\). Lúc này ta chỉ cần nhập biểu thức vào máy tính như sau: Vậy đáp án là C.
Câu 567: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {3x + 2}\). A. \(\int {f\left( x \right)} = \frac{2}{3}\left( {3x + 2} \right)\sqrt {3x + 2} + c\) B. \(\int {f\left( x \right)} = \frac{2}{9}\left( {3x + 2} \right)\sqrt {3x + 2} + c\) C. \(\int {f\left( x \right)} = \frac{1}{3}\left( {3x + 2} \right)\sqrt {3x + 2} + c\) D. \(\int {f\left( x \right)} = \frac{3}{2}.\frac{1}{{\sqrt {3x + 2} }} + c\) Spoiler: Xem đáp án Đây là dạng tìm nguyên hàm cơ bản \(\int {{u^n}dx} = \frac{1}{{u'.\left( {n + 1} \right)}}.{u^{n + 1}} + c\) Áp dụng công thức trên vào thì \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{{3.\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)}}.{\left( {\sqrt {3x + 2} } \right)^{1 + \frac{1}{2}}} + c\) \(= \frac{2}{9}\left( {3x + 2} \right)\sqrt {3x + 2} + c\)
Câu 568: Tính tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}x.\sin xdx}\). A. \(I = \frac{{ - 2}}{3}\) B. \(I = \frac{2}{3}\) C. \(I = \frac{3}{2}\) D. I=0 Spoiler: Xem đáp án - Cách 1: Đặt \(\begin{array}{l} u = \cos x \Rightarrow du = - \sin xdx\\ \Rightarrow I = \int\limits_1^{ - 1} { - {u^2}du = } \int\limits_{ - 1}^1 {{u^2}du = \frac{1}{3}{u^3}} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 1} \end{array} = \frac{2}{3}} \right. \end{array}\) - Cách 2: dùng máy tính bỏ túi.
Câu 569: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x = 0;x = \pi\), biết rằng thiết diện của vật thể với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \(x\left( {0 \le x \le \pi } \right)\) là một tam giác đều có cạnh là \(2\sqrt {\sin x}\) A. \(\sqrt 3\) B. \(\frac{\pi }{{\sqrt 3 }}\) C. \(2\sqrt 3\) D. \(2\pi\) Spoiler: Xem đáp án Bài này yêu cầu nắm vững công thức: \(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx}\) Gọi S(x) là diện tích của thiết diện đã cho thì: \(S\left( x \right) = {\left( {2\sqrt {\sin x} } \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 \sin x\) Thể tích vật thể là: \(V = \int\limits_0^\pi {S\left( x \right)dx} = \int\limits_0^\pi {\sqrt 3 \sin xdx} = 2\sqrt 3\) Vậy đáp án đúng là C.
Câu 570: Một đám vi khuẩn tại ngày thứ x có số lượng là N(x). Biết rằng \(N'\left( x \right) = \frac{{2000}}{{1 + x}}\) và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con. Tìm số lượng vi khuẩn vào ngày thứ 12. A. 10130 B. 5130 C. 5154 D. 10129 Spoiler: Xem đáp án Thực chất đây là một bài toán tìm nguyên hàm. Cho \(N'\left( x \right)\) và đi tìm N(x) Ta có: \(\int {\frac{{2000}}{{1 + x}}dx} = 2000.\ln \left| {1 + x} \right| + 5000\) (Do ban đầu khối lượng vi khuẩn là 5000). Với x =12 thì số lượng vi khuẩn là \(\approx 10130\) con.