Câu 51: Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{3}} \right],\) biết \(F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 1\) và \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {x.F\left( x \right)dx} = 1.\) Tính \(S = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {{x^2}f\left( x \right)dx} .\) A. \(S = 1.\) B. \(S = \frac{{2\pi }}{3}.\) C. \(S = \frac{\pi }{3}.\) D. \(S = \frac{{{\pi ^2}}}{9} - 2.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = F\left( x \right)\end{array} \right. \Rightarrow S = \left. {{x^2}F\left( x \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} - 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {xF\left( x \right)dx} = \frac{{{\pi ^2}}}{9} - 2.\)
Câu 52: Cho \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là các hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) với \(a < b,\) \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = 3\) và \(\int\limits_a^b {\left[ {3f\left( x \right) - 5g\left( x \right)} \right]} \,dx = 4.\) Tính \(I = \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} .\) A. \(I = - 1.\) B. \(I = \frac{{13}}{5}.\) C. \(I = 0.\) D. \(I = 1.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int\limits_a^b {\left[ {3f\left( x \right) - 5g\left( x \right)} \right]} .dx = 3\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx - 5\int\limits_a^b {g\left( x \right)} dx = 4 \Rightarrow \int\limits_a^b {g\left( x \right)} dx = 1.\)
Câu 53: Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - {e^{3x}} + \cos 2x.\) A. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^5}}}{5} - 3{{\rm{e}}^{3x}} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C.\) B. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{{{\rm{e}}^{3x}}}}{3} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C.\) C. \(F\left( x \right) = 4{x^3} - \frac{{{{\rm{e}}^{3x}}}}{3} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C.\) D. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{{{\rm{e}}^{3x}}}}{3} - \frac{{\sin 2x}}{2} + C.\) Spoiler: Xem đáp án \(\int {f(x)dx} = \int {\left( {{x^4} - {e^{3x}} + \cos 2x} \right)dx} = \frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{{{\rm{e}}^{3x}}}}{3} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C.\)
Câu 54: Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right].\) Hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),y = 0,x = a\) và \(x = b\) quay xung quanh trục \(Ox\) tạo thành một khối tròn xoay có thể tích V. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} .\) B. \(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} .\) C. \(V = \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} .\) D. \(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} .\) Spoiler: Xem đáp án Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right].\) Hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),y = 0,x = a\) và \(x = b\) quay xung quanh trục \(Ox\) tạo thành một khối tròn xoay có thể tích \(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} .\)
Câu 55: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{e^x}}}.\) A. \(\int {f\left( x \right)dx} = {e^x} + C.\) B. \(\int {f\left( x \right)dx} = - {e^x} + C.\) C. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{{{e^x}}} + C.\) D. \(\int {f\left( x \right)dx} = - \frac{1}{{{e^x}}} + C.\) Spoiler: Xem đáp án \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{1}{{{e^x}}}dx} = \int {{e^{ - x}}dx} = - {e^{ - x}} + C = - \frac{1}{{{e^x}}} + C.\)
Câu 56: Trong trung tâm công viên có một khuôn viên hình elíp có độ dài trục lớn bằng 16m, độ dài trục bé bằng 10m. Giữa khuôn viên là một đài phun nước hình tròn có đướng kính 8m, phần còn lại của khuôn viên người ta thả cá. Số cá thả vào khuôn viên đó gần nhất với số nào dưới đây, biết rằng mật độ thả cá là 5 con trên \(1{m^2}\)mặt nước. A. 376 B. 378 C. 377 D. 375 Spoiler: Xem đáp án Diện tích thả cá chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\) bớt đi diện tích hình tròn bán kính bằng 4. Do tính đối xứng của elip nên ta có diện tích elip bằng: \({S_1} = 4\int\limits_0^8 {\frac{5}{8}\sqrt {64 - {x^2}} d{\rm{x}}} = \frac{5}{2}\int\limits_0^8 {\sqrt {64 - {x^2}} d{\rm{x}}} .\) Đặt \(x = 8\sin t,t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow d{\rm{x}} = 8\cos tdt;\,\,khi\,\,x = 0 \Rightarrow t = 0;\,\,x = 8 \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}.\) \({S_1} = \frac{5}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {64{{\cos }^2}t} dt = 80\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)} dt = 80\left. {\left( {t + \frac{1}{2}\sin 2t} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 40\pi .\) Diện tích hình tròn có bán kính bằng 4 là \({S_2} = 16\pi \) nên diện tích thả cá là \(S = {S_1} - {S_2} = 24\pi .\) Số cá thả vào khuôn viên là \(5S = 5.24\pi \approx 377.\)
Câu 57: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 1, biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox, tại điểm có hoành độ \(x(0 \le x \le 1)\)là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là x là \(\ln ({x^2} + 1).\) A. V=ln2 – 1 B. \(V = \frac{1}{2}(\ln 2 - 1)\) C. \(V = \ln 2 - \frac{1}{2}\) D. \(V = \frac{1}{2}\ln 2 - 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có thể tích cần tính là \(V = \int\limits_0^1 {x\ln \left( {{x^2} + 1} \right)d{\rm{x}}} .\) Đặt: \(t = {x^2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\) Vậy: \(V = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\ln t} dt\) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln t\\dv = dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{t}dt\\v = t\end{array} \right.\) Suy ra: \(V = \left. {t\ln t} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {dt} = \ln 2 - \frac{1}{2}.\)
Câu 58: Cho biết \(\int\limits_2^5 {f(x)d{\rm{x}} = 3} \) , \(\int\limits_2^5 {g(t)dt = 9} \). Tính giá trị của \(I = \int\limits_2^5 {\left[ {2f(x) - g(x)} \right]d{\rm{x}}} .\) A. I=-3 B. I=6 C. I=0 D. I=3 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int\limits_2^5 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]d{\rm{x}}} = 2\int\limits_2^5 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} - \int\limits_2^5 {g\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2\int\limits_2^5 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} - \int\limits_2^5 {g\left( t \right)dt} = - 3.\)
Câu 59: Cho parabol \(y = {x^2}\) và tiếp tuyến At tại A(1; 1) có phương trình y = 2x – 1. Tính diện tích S của phần giới hạn bởi Parabol, tiếp tuyến At và trục hoành. A. \(S = \frac{1}{{12}}\) B. \(S = \frac{1}{6}\) C. \(S = \frac{1}{4}\) D. \(S = \frac{1}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có tiếp tuyến cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \(x = \frac{1}{2}.\) Khi đó diện tích cần tìm là \(S = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {{x^2}d{\rm{x}}} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 1} \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{{12}}.\)
Câu 60: Biết \(\int\limits_{ - 1}^0 {\left| {\frac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right|} d{\rm{x}} = a\ln \frac{b}{c} - 1\), với a, b, c là các số nguyên. Khẳng định nào sau đây sai? A. ab = c + 1 B. a.b = 2(c + 1) C. a + b + 2c = 10 D. ac = b + 3 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int\limits_{ - 1}^0 {\left| {\frac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right|d{\rm{x}}} = - \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{x + 1}}{{x - 2}}d{\rm{x}}} = - \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {1 + \frac{3}{{x - 2}}} \right)d{\rm{x}}} = 3\ln \frac{3}{2} - 1.\) Do đó \(a = b = 3;\,\,c = 2.\)
