Câu 61: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {3^{2{\rm{x}} + 1}}.\) A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{\ln 3}}{3^{2{\rm{x}} + 1}} + C\) B. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{2}{3^{2{\rm{x}} + 1}} + C\) C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{2}{3^{2{\rm{x}} + 1}}\ln 3 + C\) D. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{2\ln 3}}{3^{2{\rm{x}} + 1}} + C\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int {{3^{2{\rm{x}} + 1}}d{\rm{x}}} = \frac{{{3^{2{\rm{x}} + 1}}}}{{2\ln 3}} + C.\)
Câu 62: Cho \(\int {f(x)d{\rm{x}} = 2{{\rm{x}}^3} - 3{\rm{x}} + C} \). Tìm hàm số \(F(x) = \int {f({\mathop{\rm sinx}\nolimits} )dx.} \) A. \(F(x) = 2{\sin ^2}x - 3\sin x + C\) B. \(F(x) = x - \frac{1}{2}\sin 2x + 3{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + C\) C. \(F\left( x \right) = - 4cosx + 3cosx + C.\) D. \(F\left( x \right) = - 4cosx--3x + C\) Spoiler: Xem đáp án \(f\left( x \right) = {\left( {2{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + C} \right)^\prime } = 4{\rm{x}} - 3 \Rightarrow f\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right) = 4{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - 3\) Do đó: \(\int {f\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)d{\rm{x}}} = \int {\left( {4{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - 3} \right)d{\rm{x}}} = - 4\cos x - 3x.\)
Câu 63: Trong giải tích, hàm số f(x) liên tục trên D = [a;b] có đồ thị là đường cong (C) thì độ dài đường cong (C) được tính bởi công thức \(L = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} dx} \). Tính độ dài Parabol \(\left( P \right):x - {y^2} = 0\) trên đoạn [1;2] (lấy giá trị gần đúng đến 1 chữ số thập phân). A. L = 5,2. B. L = 2,2. C. L = 3,4. D. L = 1,3. Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\left( P \right):x - {y^2} = 0 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt x \) Suy ra độ dài \(\left( P \right)\) trên đoạn [1;2] bằng \(L = \int\limits_1^2 {\sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)}^2}} } dx + \int\limits_1^2 {\sqrt {1 + {{\left( { - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)}^2}} } dx = 2\int\limits_1^2 {\sqrt {1 + \frac{1}{{4x}}} } dx \approx 2,2.\)
Câu 64: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right):y = {x^2} + 1\), tiếp tuyến của (P) tại điểm A(1;2) và trục Oy quay quanh trục Ox. A. \(V = \pi \) B. \(V = \frac{{28\pi }}{{15}}\,\) C. \(V = \frac{{8\pi }}{{15}}\) D. \(V = \frac{{4\pi }}{5}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình tiếp tuyển của \(\left( P \right):y = {x^2} + 1\) tại điểm \(A\left( {1;2} \right)\) là \(y = 2x\) Suy ra thể tích cần tính bằng: \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} - {{\left( {2x} \right)}^2}} \right]dx} = \frac{{8\pi }}{{15}}.\)
Câu 65: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\) và trục Ox. A. S = 1. B. S = 2. C. S = \(\frac{1}{2}\). D. S = \(\frac{{16}}{{15}}\). Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\) và trục Ox là \({x^4} - 2{x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\). Suy ra diện tích hình phẳng cần tính bằng \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^4} - 2{x^2} + 1} \right)dx = \frac{{16}}{{15}}} .\)
Câu 66: Cho tích phân \(I = \int\limits_{\sqrt 3 }^3 {\frac{1}{{{x^2} + 3}}dx} \). Khẳng định nào sau đây đúng? A. \(I = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {dt} \) B. \(I = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {tdt} \) C. \(I = \sqrt 3 \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {dt} \) D. \(I = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{dt}}{t}} \) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(x = \sqrt 3 \tan x \Rightarrow dx = \frac{{\sqrt 3 }}{{{{\cos }^2}t}}dt \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 3 ,t = \frac{\pi }{4}\\x = 3,t = \frac{\pi }{3}\end{array} \right. \Rightarrow I = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{dt}}{{\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right){{\cos }^2}t}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {dt} .\)
Câu 67: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên [a;b] và f(a) = f(b). Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng? A. \(\int\limits_a^b {f'\left( x \right)} {e^{f\left( x \right)}}dx = 0\) B. \(\int\limits_a^b {f'\left( x \right)} {e^{f\left( x \right)}}dx = e\) C. \(\int\limits_a^b {f'\left( x \right)} {e^{f\left( x \right)}}dx = 1\) D. \(\int\limits_a^b {f'\left( x \right)} {e^{f\left( x \right)}}dx = \ln \left( {b - a} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(I = \int\limits_a^b {f'\left( x \right)} {e^{f\left( x \right)}}dx\) Đặt \(t = f(x) \Rightarrow dt = f'(x)dx\) Vậy: \(I = \int\limits_{f(a)}^{f(b)} {{e^t}dt} = \left. {{e^t}} \right|_{f(a)}^{f(b)} = {e^{f\left( b \right)}} - {e^{f\left( a \right)}} = 0.\)
Câu 68: Trong các hàm số sau, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm \(f\left( x \right) = \ln x?\) A. \(F\left( x \right) = \ln x - x\) B. \(F\left( x \right) = x\ln x + 1\) C. \(F\left( x \right) = x\left( {\ln x - 1} \right)\) D. \(F\left( x \right) = \ln x - x + C\) Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = x\end{array} \right.\) \( \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\ln xdx} = x\ln x - \int {dx} = x\ln x - x + C = x\left( {\ln x - 1} \right) + C\)
Câu 69: Cho hình thang (H) giới hạn bởi các đường \(y = \frac{1}{x},x = \frac{1}{2},x = 2\) và trục hoành. Đường thẳng \(x = k\left( {\frac{1}{2} < k < 2} \right)\) chia (H) thành hai phần có diện tích là S1 và S2 như hình vẽ dưới đây. Tìm tất cả các giá trị thực của k để S1 = 3S2. A. \(k = \sqrt 2 .\) B. \(k = 1.\) C. \(k = \frac{7}{5}.\) D. \(k = \sqrt 3 .\) Spoiler: Xem đáp án Gọi S là diện tích hình \(\left( H \right) \Rightarrow S = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{x}dx} = 2\ln 2.\) Lại có \({S_2} = \int\limits_k^2 {\frac{1}{x}dx} = \ln 2 - lnk = \frac{1}{4}S = \frac{{\ln 2}}{2} \Rightarrow \ln k = \frac{{\ln 2}}{2} = \ln \sqrt 2 \Rightarrow k = \sqrt 2 .\)
Câu 70: Trong đợt hội trại "Khi tôi 18" được tổ chức tại THPT X, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng parabol như hình vẽ. Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD, phần còn lại sẽ trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí dán hoa văn là 100.000 đồng cho một m2 bảng. Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng nghìn) A. 615.000 đồng. B. 450.000 đồng. C. 451.000 đồng. D. 616.000 đồng. Spoiler: Xem đáp án Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol có phương trình \(y = 4 - {x^2}\) và trục hoành. Suy ra \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)} dx = \frac{{32}}{3}{m^2}\). Gọi điểm \(C\left( {a;0} \right),a > 0\), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}D\left( { - a;0} \right)\\B\left( {a;4 - {a^2}} \right),A\left( { - a;4 - {a^2}} \right)\end{array} \right.\). Gọi S1 là diện tích ABCD, suy ra \({S_1} = AB.BC = 2a\left( {4 - {a^2}} \right){m^2}\). Gọi S2 là diện tích có hoa văn, suy ra \({S_2} = S - {S_1}\). S2 nhỏ nhất khi và chỉ khi S1 lớn nhất. Xét hàm số \(f\left( a \right) = 2a\left( {4 - {a^2}} \right),a \in \left( {0;4} \right)\) Ta có \(f'\left( a \right) = 8 - 6{a^2} \Rightarrow f'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\). Xét bảng biến thiên hàm số f(a) với \(a \in \left( {0;4} \right)\) Suy ra \(\mathop {max}\limits_{\left( {0;4} \right)} f\left( a \right) = f\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) = \frac{{32\sqrt 3 }}{9} \Rightarrow {S_1}\left( {max} \right) = \frac{{32\sqrt 3 }}{9}{m^2}\)Suy ra \({S_2}\left( {\min } \right) = \frac{{32}}{3} - \frac{{32\sqrt 3 }}{9} \approx 4,51{m^2}.\). Suy ra số tiền cần bằng 451.000 đồng.
