Câu 71: Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 9} \). Tính \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {f\left( {\sin 3x} \right).\cos 3xdx} .\) A. \(I = 5.\) B. \(I = 9.\) C. \(I = 3.\) D. \(I = 2.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = \sin 3x \Rightarrow dt = 3\cos 3xdx \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0,t = 0\\x = \frac{\pi }{6},t = 1\end{array} \right. \Rightarrow I = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 3\).
Câu 72: Biết \(\int\limits_3^5 {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}dx = a + \ln \frac{b}{2}} \) với a, b là các số nguyên. Tính \(S = a - 2b.\) A. \(S = - 2.\) B. \(S = 10.\) C. \(S = 5.\) D. \(S = 2.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int\limits_3^5 {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}dx} = \int\limits_3^5 {\left( {x + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_3^5 = 8 + \ln \frac{3}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow S = 2\).
Câu 73: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x.{e^x}.\) A. \(\int {f\left( x \right)dx = {x^2}{e^x} + C.} \) B. \(\int {f\left( x \right)dx = x.{e^x} + C.} \) C. \(\int {f\left( x \right)dx = \left( {x + 1} \right){e^x} + C.} \) D. \(\int {f\left( x \right)dx = \left( {x - 1} \right){e^x} + C.} \) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right. \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx = x.{e^x} - \int {{e^x}dx = x.{e^x} - {e^x} + C = \left( {x - 1} \right){e^x} + C} } \).
Câu 74: Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{\ln x}}{{{x^3}}}dx} .\) A. \(I = \frac{{3 + 2\ln 2}}{{16}}.\) B. \(I = \frac{{2 - \ln 2}}{{16}}.\) C. \(I = \frac{{2 + \ln 2}}{{16}}.\) D. \(I = \frac{{3 - 2\ln 2}}{{16}}.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = \frac{{dx}}{{{x^3}}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = - \frac{1}{{2{x^2}}}\end{array} \right.\) \(\Rightarrow I = \left. { - \frac{{\ln x}}{{2{x^2}}}} \right|_1^2 + \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{{x^3}}}} = \left. { - \frac{{\ln x}}{{2{x^2}}}} \right|_1^2\left. { - \frac{1}{{4{x^2}}}} \right|_1^2 = - \frac{{\ln 2}}{8} + \frac{3}{{16}} = \frac{{3 - \ln 2}}{{16}}.\)
Câu 75: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}2x}}.\) A. \(\int {f\left( x \right)dx = 2\cot 2x + C.} \) B. \(\int {f\left( x \right)dx = \frac{1}{2}\cot 2x + C.} \) C. \(\int {f\left( x \right)dx = - 2\cot 2x + C.} \) D. \(\int {f\left( x \right)dx = - \frac{1}{2}\cot 2x + C.} \) Spoiler: Xem đáp án \(I = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}2x}}} dx \). Đặt: \(t = 2x \Rightarrow dt = 2dx\) Suy ra: \(I = \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}t}}dt} = - \frac{1}{2}\cot t + C = - \frac{1}{2}\cot 2x + C\)
Câu 76: Một vật chuyển động với gia tốc \(a\left( t \right) = 3{t^2} + t\left( {m/{s^2}} \right)\). Vận tốc ban đầu của vật là \(2\left( {m/s} \right)\). Hỏi vận tốc của vật là bao nhiêu sau khi chuyển động với gia tốc đó được 2s? A. 8 m/s. B. 12 m/s. C. 16 m/s. D. 10 m/s. Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int\limits_0^2 {a\left( t \right)dt} = \int\limits_0^2 {\left( {3{t^2} + t} \right)dt} = \left. {\left( {{t^3} + \frac{{{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 = 10 = v\left( 2 \right) - v\left( 0 \right) \Rightarrow v\left( 2 \right) = 12\left( {m/s} \right)\).
Câu 77: Cho \(I = \int\limits_0^a {\frac{{dx}}{{{a^2} + {x^2}}}\left( {a > 0} \right)} \) và đặt \(x = a\tan t\). Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A. \(I = \int\limits_0^a {\frac{1}{a}dt.} \) B. \(dx = a\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt.\) C. \({a^2} + {x^2} = {a^2}\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right).\) D. \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{a}dt.} \) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(x = a\tan t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}dx = a\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt\\{a^2} + {x^2} = {a^2}\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0,t = 0\\x = a,t = \frac{\pi }{4}\end{array} \right. \Rightarrow I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{a}dt} \).
Câu 78: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên R. Hỏi mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(\int {f'\left( {2x} \right)} dx = 2f\left( {2x} \right) + C\) B. \(\int {f'\left( {2x} \right)} dx = \frac{1}{2}f\left( {2x} \right) + C\) C. \(\int {f'\left( {2x} \right)} dx = f\left( {2x} \right) + C\) D. \(\int {f'\left( {2x} \right)} dx = \frac{1}{2}f\left( {2x} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int {f'(ax + b)dx} = \frac{1}{a}f(ax + b) + C\)\( \Rightarrow \int {f'\left( {2x} \right)} dx = \frac{1}{2}f\left( {2x} \right) + C.\)
Câu 79: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( x \right) = 0\) có đúng một nghiệm \(c \in \left( {a;b} \right)\).Hỏi công thức nào dưới đây đúng? A. \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx = \left| {\int\limits_a^c {f\left( x \right)} dx} \right|} + \left| {\int\limits_c^b {f\left( x \right)} dx} \right|\) B. \(\left| {\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx} \right| = \left| {\int\limits_a^c {f\left( x \right)} dx} \right| + \left| {\int\limits_c^b {f\left( x \right)} dx} \right|\) C. \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx = \left| {\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx} \right|} \) D. \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx = \int\limits_a^c {f\left( x \right)} dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)} dx\) Spoiler: Xem đáp án \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx = \left| {\int\limits_a^c {f\left( x \right)} dx} \right|} + \left| {\int\limits_c^b {f\left( x \right)} dx} \right|\) là một tính chất của tích phân.
Câu 80: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc \(\left[ {0;2017} \right)\) của m để \(\int\limits_0^m {\sin \left( {\pi x} \right)} dx = 0\)? A. 2017 B. 1009 C. 1008 D. 2016 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int\limits_0^m {\sin \left( {\pi x} \right)} dx = \left. { - \frac{1}{\pi }\cos \left( {\pi x} \right)} \right|_0^m = - \frac{1}{\pi }\left[ {\cos \left( {m\pi } \right) - 1} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow \cos \left( {m\pi } \right) = 1 \Leftrightarrow m\pi = k2\pi \Leftrightarrow m = 2k,\left\{ \begin{array}{l}m \in \left[ {0;2017} \right)\\m \in Z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le 2k \le 2017\\k \in Z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le k \le 1008\\k \in Z\end{array} \right.\) Suy ra có 1009 giá trị nguyên của m để \(\int\limits_0^m {\sin \left( {\pi x} \right)dx} = 0.\)
