Câu 81: Hàm số nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} - x}}.\) A. \(y = 2\ln \left| {\frac{{{x^2} - 1}}{x}} \right|\) B. \(y = \ln \left| {\frac{{{x^2} - 1}}{{2x}}} \right|\) C. \(y = \ln \left| {\frac{{{x^2} - 1}}{x}} \right|\) D. \(y = \ln \left| {\frac{{2{x^2} - 2}}{x}} \right|\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(I = \int y dx = \int {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} - x}}} dx = \int {\frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{x - \frac{1}{x}}}} dx\) Đặt: \(t = x - \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow dt = \left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx\) Suy ra: \(I = \int {\frac{1}{t}dt} = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {x - \frac{1}{x}} \right| + C = \ln \left| {\frac{{{x^2} - 1}}{x}} \right| + C.\) Với \(C = \ln 2\) Ta có \(I = \ln \left| {\frac{{{x^2} - 1}}{x}} \right| + \ln 2 = \ln \left| {\frac{{2{x^2} - 2}}{x}} \right|.\) Với \(C = - \ln 2\) Ta có \(I = \ln \left| {\frac{{{x^2} - 1}}{x}} \right| - \ln 2 = \ln \left| {\frac{{{x^2} - 1}}{{2x}}} \right|.\) Với C=0 Ta có \(I = \ln \left| {\frac{{{x^2} - 1}}{x}} \right|.\)
Câu 82: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \int\limits_{ - x}^x t \sin tdt\). Tính \(f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right).\) A. \( - \pi \) B. 0 C. \(2\pi \) D. \(\pi \) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = t\\dv = \sin tdt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = - \cos t\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = \left. {\left( { - t\cos t} \right)} \right|_{ - x}^x + \int\limits_{ - x}^x {\cos tdt} = \left. {\left( { - t\cos t} \right)} \right|_{ - x}^x + \left. {\sin t} \right|_{ - x}^x\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = - 2x\cos x + 2\sin x \Rightarrow f'\left( x \right) = 2x\sin x \Rightarrow f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \pi .\)
Câu 83: Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1,f\left( x \right) = {f'}\left( x \right)\sqrt {3{\rm{x}} + 1} ,\forall x > 0.\) Mệnh đề nào sau đây đúng? A. \(1 < f\left( 5 \right) < 2.\) B. \(4 < f\left( 5 \right) < 5.\) C. \(2 < f\left( 5 \right) < 3.\) D. \(3 < f\left( 5 \right) < 4.\) Spoiler: Xem đáp án \(f\left( x \right) = f'\left( x \right)\sqrt {3{\rm{x}} + 1} \Leftrightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {3{\rm{x}} + 1} }} \Leftrightarrow \int {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}d{\rm{x}}} = \int {\frac{{d{\rm{x}}}}{{\sqrt {3{\rm{x}} + 1} }}} \) \( \Leftrightarrow \int {\frac{{d\left( {f\left( x \right)} \right)}}{{f\left( x \right)}}} = \int {{{\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}d{\rm{x}}} \Leftrightarrow \ln f\left( x \right) = \frac{2}{3}\sqrt {3{\rm{x}} + 1} + C \Leftrightarrow f\left( x \right) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3{\rm{x}} + 1} + C}}\) Mặt khác \(f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow 1 = {e^{\frac{4}{3} + C}} \Rightarrow C = - \frac{4}{3} \Rightarrow f\left( 5 \right) \approx 3,793.\)
Câu 84: Cho hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và Ox xung quanh trục Ox. A. \(\frac{{16\pi }}{{15}}.\) B. \(\frac{{16\pi }}{5}.\) C. \(\frac{{12\pi }}{{15}}.\) D. \(\frac{{4\pi }}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi phương trình hàm số bậc hai là \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + b{\rm{x}} + c\) có đồ thị (P). Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy (P) đi qua các điểm \(O\left( {0;0} \right),A\left( {1;1} \right),B\left( {2;0} \right).\) Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a + b + c = 1\\4{\rm{a}} + 2b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 2\\c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):y = f\left( x \right) = 2{\rm{x}} - {x^2}\) Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V = \pi \int\limits_0^2 {{f^2}\left( x \right)d{\rm{x}}} = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2{\rm{x}} - {x^2}} \right)}^2}d{\rm{x}}} = \frac{{16\pi }}{{15}}.\)
Câu 85: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và hàm số \(y = g\left( x \right) = xf\left( {{x^2}} \right)\) có đồ thị trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) như hình vẽ bên. Biết phần diện tích miền được tô màu là \(S = \frac{5}{2},\) tính tích phân \(I = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} .\) A. \(I = \frac{5}{2}.\) B. \(I = \frac{5}{4}.\) C. \(I = 10.\) D. \(I = 5.\) Spoiler: Xem đáp án \(\int\limits_1^2 {g\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{5}{2} \Rightarrow \int\limits_1^2 {xf\left( {{x^2}} \right)d{\rm{x}}} = \frac{5}{2}.\) Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2{\rm{xdx}}\). Đổi cận suy ra: \(\int\limits_1^2 {xf\left( {{x^2}} \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}\int\limits_1^4 {f\left( t \right)dt} = \frac{5}{2} \Rightarrow \int\limits_1^4 {f\left( t \right)dt = } 5 \Rightarrow I = 5.\)
Câu 86: Cho tích phân \(I = \int\limits_0^4 {\frac{{dx}}{{3 + \sqrt {2{\rm{x}} + 1} }} = a + b\ln \frac{2}{3}} \) với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. \(a + b = 3.\) B. \(a - b = 3.\) C. \(a - b = 5.\) D. \(a + b = 5.\) Spoiler: Xem đáp án \(I = \int\limits_0^4 {\frac{{d{\rm{x}}}}{{3 + \sqrt {2{\rm{x}} + 1} }} = a + b\ln \frac{2}{3}.} \) Đặt \(t = \sqrt {2{\rm{x}} + 1} \Rightarrow {t^2} = 2{\rm{x}} + 1 \Rightarrow t{\rm{d}}t = x{\rm{dx}}.\) Khi đó: \(I = \int\limits_1^3 {\frac{{tdt}}{{t + 3}}} = \int\limits_1^3 {\left( {1 - \frac{3}{{t + 3}}} \right)dt} = 2 - 3\ln \frac{2}{3} = 2 + 3\ln \frac{3}{2}.\) Do đó \(a + b = 5.\)
Câu 87: Cho tích phân \(I = \int\limits_1^e {x{{\ln }^2}x{\rm{dx}}.} \) Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. \(I = \left. {{x^2}{{\ln }^2}x} \right|_1^e - 2\int\limits_1^e {x\ln {\rm{xdx}}} .\) B. \(I = \frac{1}{2}\left. {{x^2}{{\ln }^2}x} \right|_1^e - 2\int\limits_1^e {x\ln {\rm{xdx}}} .\) C. \(I = \frac{1}{2}\left. {{x^2}{{\ln }^2}x} \right|_1^e + 2\int\limits_1^e {x\ln {\rm{xdx}}} .\) D. \(I = \left. {{x^2}{{\ln }^2}x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {x\ln {\rm{xdx}}} .\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {\ln ^2}x\\dv = x{\rm{dx}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2\ln {\rm{x}}.\frac{1}{x}\\v = \frac{1}{2}{x^2}\end{array} \right. \Rightarrow I = \left. {\frac{1}{2}{x^2}{{\ln }^2}x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {x\ln {\rm{xdx}}} .\)
Câu 88: Tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = - \cos 2x\) là: A. \(F\left( x \right) = - \frac{1}{2}\sin 2{\rm{x}}.\) B. \(F\left( x \right) = - \frac{1}{2}\sin 2x + C.\) C. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\sin 2x + C.\) D. \(F\left( x \right) = - \sin 2x + C.\) Spoiler: Xem đáp án \(\int { - \cos 2xdx} = - \frac{1}{2}\sin 2x + C.\)
Câu 89: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt {x + 1} }}?\) A. \(F\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}.\) B. \(F\left( x \right) = \sqrt {x + 1} .\) C. \(F\left( x \right) = 4\sqrt {x + 1} .\) D. \(F\left( x \right) = 2\sqrt {x + 1} .\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} \Rightarrow {\left( {4\sqrt {x + 1} } \right)^\prime } = \frac{2}{{\sqrt {x + 1} }}.\)
Câu 90: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right) = 1\) và đạo hàm \(f'\left( x \right) = 2{\rm{x}} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.\) Tìm hàm số \(f\left( x \right).\) A. \(f\left( x \right) = {x^2} + \cos x.\) B. \(f\left( x \right) = 2 + \cos x - {x^2}.\) C. \(f\left( x \right) = {x^2} - \cos x + 2.\) D. \(f\left( x \right) = {x^2} - \cos x.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int {\left( {2{\rm{x}} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)d{\rm{x}}} = {x^2} - \cos x + C.\) Vì \(f\left( 0 \right) = 1\) nên \( - 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 2\)\( \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2} - \cos x + 2.\)
