Câu 1: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \((P):x - 1 = 0\) và \((Q):z - 1 = 0\). Xác định quỹ tích tâm các mặt cầu tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q). A. Quỹ tích là mặt phẳng có phương trình x=z B. Quỹ tích là mặt phẳng có phương trình x=z và x+z-2=0 C. Quỹ tích là hai mặt phẳng có phương trình x=z và x+z-2=0 trừ đường có phương trình x=z=1. D. Quỹ tích là mặt phẳng có phương trình x+z-2=0. Spoiler: Xem đáp án Điểm (x;y;z) thuộc quỹ tích \( \Leftrightarrow |x - 1| = |z - 1| \ne 0. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = z\\x + z - 2 = 0\end{array} \right.\\x \ne 1,z = 1\end{array} \right.\) Vậy quỹ tích là hai mặt phẳng có phương trình x = z và x + z – 2 = 0 trừ đường thẳng có phương trình x = z = 1.
Câu 2: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = y\\z = - 1\end{array} \right.\) và đường thẳng \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = y\\z = 1\end{array} \right..\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d’. A. 1 B. \(\sqrt 2 \) C. 2 D. \(\sqrt 3 \) Spoiler: Xem đáp án Vì \(\overrightarrow {{u_d}} = (1;1;0),\,\,\overrightarrow {{u_{d'}}} = (1;1;0)\) và điểm A=(0;0;-1) thuộc d nhưng không thuộc d’ nên hai đường thẳng d và d’ song song với nhau. Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d’ cũng bằng khoảng cách từ điểm A đến d’. Có \(B = (0;0;1) \in d',\overrightarrow {AB} = (0;0;2).\) Dễ thấy AB vuôn góc với d’ nên d(A, d’) = AB = 2.
Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung đuểm của cạnh A’B’ và cạnh BC. Tính góc giữa hai đường thẳng AC’ và MN. A. \({45^0}\) B. \({60^0}\) C. \({30^0}\) D. \({90^0}\) Spoiler: Xem đáp án Ta chọn hệ toạ độ \((A,\,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\,\overrightarrow {{\rm{AA}}'} )\) Khi đó: \(\begin{array}{l}A = (0;0;0),\,C' = (1,1,1),\,M = \left( {\frac{1}{2},0,1} \right),N = \left( {1,\frac{1}{2},0} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AC'} = (1,1,1),\,\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1} \right)\end{array}\) Vì \(\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {MN} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AC'} \bot \overrightarrow {MN} .\) Vậy góc giữa hai đường thẳng AC’ và MN bằng \({90^0}\)
Câu 4: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 4z + 5 = 0\) và mặt phẳng (P): x=3. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Giao của (S) và (P) là hai điểm phân biệt. B. Giao của (S) và (P) là một điểm C. Giao của (S) và (P) là một đường tròn. D. Giao của (S) và (P) là tập rỗng. Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu (S) có tâm I=(-2;1;-2) và bán kính \(R = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2} - 5} = 2.\) Ta có: \(d(I,(P)) = \frac{{\left| { - 2 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 5 > 2\) Do đó giao của (S) và (P) là tập rỗng.
Câu 5: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A=(1;1;1) và hai mặt phẳng \((P):x + y - z = 2,\,\,(Q):\,x - y + z = 1.\) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q). A. y+z=2 B. x+y+z=3 C. x+z=2 D. 2y-x-z=0 Spoiler: Xem đáp án Cách 1: Thử trực tiếp Ta thấy cả 4 mặt phẳng ở 4 phương án đều đi qua A nên không loại được phương án nào. Mặt phẳng x+y+z=3 không vuông góc với mặt phẳng (Q) nên loại. Mặt phẳng x+z=2 không vuông góc với mặt phẳng (Q) nên loại. Mặt phẳng 2y – x – z = 0 không vuông góc với mặt phẳng (P) nên loại. Vậy chọn mặt phẳng y + z = 2 Cách 2: Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = (1;1; - 1),\,\,\overrightarrow {{n_Q}} = (1; - 1;1).\) Gọi mặt phẳng cần tìm là (R). Vì (R) vuông góc với cả (P) và (Q) nên (R) có 1 vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} .\,\,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = (0; - 2; - 2)\) Phương trình mặt phẳng (R) là: \(0.\left( {x - 1} \right) - 2.\left( {y - 1} \right) - 2.\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y + z = 2.\)
Câu 6: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình x=y=z và đường thẳng \(d':\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\z = 0\end{array} \right..\) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. d và d’ trùng nhau B. d và d’ song song C. d và d’ vuông góc và không chéo nhau D. d và d’ chéo nhau và không vuông góc. Spoiler: Xem đáp án Phương trình của đường thẳng \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - t\\z = 0\end{array} \right.\,\,\,(t \in \mathbb{R}).\) Ta có: \(\overrightarrow {{u_d}} = (1;1;1),\,\,\,\overrightarrow {{u_{d'}}} = (1; - 1;0)\) Vì \(\overrightarrow {{u_d}} .\,\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0\)nên d và d’ vuông góc. Lại có điểm O(0;0;0) thuộc cả hai đường thẳng d và d’ nên đường thẳng d và d’ vuông góc và không chéo nhau.
Câu 7: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm A=(1;2;2), B(-2;1;-1). Xét điểm A’ đối xứng của A qua B. Tìm toạ độ của điểm A’. A. A’=(5;0;4) B. A’=(-5;0;-4) C. A’=(0;-5;4) D. A’=(-5;4;0) Spoiler: Xem đáp án Điểm A’ đối xứng với A qua B \( \Leftrightarrow \) Điểm B là trung điểm của AA’. \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_{A'}} = 2{x_B}\\{y_A} + {y_{A'}} = 2{y_B}\\{z_A} + {z_{A'}} = 2{z_B}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_B} - {x_A} = - 5\\{y_{A'}} = 2{y_B} - {y_A} = 0\\{z_{A'}} = 2{z_B} - {z_A} = - 4\end{array} \right.\) Vậy A’=(-5;0;-4)
Câu 8: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng \((P): - 2x + 4y - 6z + 3 = 0.\) Vecto nào dưới đây là một vecto pháp tuyến của (P). A. \(\overrightarrow {{n_1}} = (1; - 2;3)\) B. \(\overrightarrow {{n_2}} = (2;4;6)\) C. \(\overrightarrow {{n_3}} = (2;4; - 6)\) D. \(\overrightarrow {{n_4}} = ( - 2;4;6)\) Spoiler: Xem đáp án Ta thấy \(\overrightarrow {{n_1}} = (1; - 2;3)\) là một vecto pháp tuyến của (P) Các vecto còn lại không cùng phương với vecto \(\overrightarrow {{n_1}} \) nên không là vecto pháp tuyến của (P).
Câu 9: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho 2 điểm A(3;-2;3), B(1;0;5) và đường thẳng (d) có phương trình \((d):\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{2}.\) Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng (d) để \(M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. A. M(1;2;3) B. M(3;-2;7) C. M(3;0;4) D. M(2;0;5) Spoiler: Xem đáp án Đoạn thẳng AB có trung điểm I(2;-1;4) ta có: \(M{A^2} + M{B^2} = \overrightarrow {M{A^2}} + \overrightarrow {M{B^2}} = {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )^2} + {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} )^2}\) \( = M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + I{A^2} + M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + I{B^2}\) \( = 2M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} (\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} ) + \frac{{A{B^2}}}{2} = 2M{I^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}.\) Từ đó, ta thấy \(M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, tức là M là hình chiếu vuông góc của I trên (d). Cách 1: Chuyển phương trình đường thẳng (d) về dạng tham số: \((d):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 2t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.,\,\,t \in \mathbb{R} \Rightarrow (1 + t;2 - 2t;3 + 2t) \Rightarrow \overrightarrow {IM} (t - 1;3 - 2t;2t - 1).\) Đường thẳng (d) có 1 vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{a_d}} = (1; - 2;2).\) Để M là hình chiếu vuông góc của I trên (d) thì điều kiện là: \(\begin{array}{l}\overrightarrow {IM} \bot \overrightarrow {{a_d}} \Leftrightarrow \overrightarrow {IM} .\overrightarrow {{a_d}} = 0 \Leftrightarrow t - 1 - 2(3 - 2t) + 2(2t - 1) = 0 \Leftrightarrow 9t - 9 = 0\\ \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M(2;0;5).\end{array}\) Vậy điểm M(2;0;5) thoả mãn điều kiện đầu bài. Cách 2: Có thể dùng phương pháp loại trừ. Điểm M ở phương án C không thuộc (d) nên loại Trong các phương án đưa ra ở A,B,D có các điểm M đều thuộc (d) và điểm M ở phương án D có \(M{A^2} + M{B^2}\) nhỏ nhất nên loại phương án A, B.
Câu 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(4;2;2) và mặt cầu (S) có phương trình: \((S):{(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 9.\) Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) tại A và vuông góc với đường thẳng \((\Delta ):\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 1\\z = 1 + t\end{array} \right.\,\,(t \in \mathbb{R})\) A. \(\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\) B. \(\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 4}}\) C. \(\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 2}}{4} = \frac{{z - 2}}{1}\) D. \(\frac{{x - 4}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{4} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\) Spoiler: Xem đáp án Do (d) tiếp xúc với (S) tại A nên vecto chỉ phương của (d) vuông góc với \(\overrightarrow {IA} = (2;1;2),\) lại có vecto chỉ phương của (d) vuông góc với vecto chỉ phương của \((\Delta )\) là \(\overrightarrow v ( - 1;0;1)\) nên ta chọn 1 vecto chỉ phương của (d) là: \(\overrightarrow a = {\rm{[}}\overrightarrow v ;\overrightarrow {IA} {\rm{]}} = ( - 1;4; - 1).\) Phương trình đường thẳng (d) là: \(\frac{{x - 4}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{4} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}.\)
