Câu 91: Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz), có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) và tạo với các mặt phẳng \(\left( {{\rm{Ox}}y} \right),\left( {Oyx} \right)\) cùng một góc bằng 600? A. 2 B. 1 C. Vố số D. 4 Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt phẳng (P) qua A là \(a\left( {x - 1} \right) + b\left( {y - 2} \right) + c\left( {z - 3} \right) = 0\) Phương trình các mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right):z = 0\) và \(\left( {Oyz} \right):x = 0\). Khi đó: \(\cos \widehat {\left( {\left( P \right);\left( {Oxy} \right)} \right)} = \cos {60^0} = \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{1}{2}\) \(\left( 1 \right)\) \(\cos \widehat {\left( {\left( P \right);\left( {Oyz} \right)} \right)} = \cos {60^0} = \frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{1}{2}\) \(\left( 2 \right)\) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| = u\\\left| b \right| = v\end{array} \right.\), từ \(\left( 1 \right)\),\(\left( 2 \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| = \left| c \right|\\2u = \sqrt {2{u^2} + {v^2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| = \left| c \right|\\v = u\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| = \left| c \right|\\\left| b \right| = \left| a \right|\sqrt 2 \end{array} \right.\) Suy ra có tất cả 4 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 92: Trong không gian tọa độ (Oxyz), gọi I là giao điểm của đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z - 7 = 0\). Tính khoảng cách từ điểm \(M \in d\) đến (P), biết IM = 9. A. \(2\sqrt 3 \) B. \(\sqrt {65} \) C. 8 D. 4 Spoiler: Xem đáp án Viết hệ phương trình giao điểm của d và \(\left( P \right) \Rightarrow I\left( {3;1; - 1} \right)\). Điểm \(M \in d\) nên \(M\left( {2t + 1;2t - 1;t - 2} \right)\). Ta có \(IM = 9 \Leftrightarrow {\left( {2t - 2} \right)^2} + {\left( {2t - 2} \right)^2} + {\left( {t - 1} \right)^2} = 81 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t = - 2\end{array} \right.\) Với \(t = 4 \Rightarrow M\left( {9;7;2} \right)\) suy ra \(d\left( {M,(P)} \right) = \frac{{\left| {9 + 2.7 - 2.2 - 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 4.\) Với \(t = - 2 \Rightarrow M\left( { - 3; - 5; - 4} \right)\) suy ra \(d\left( {M,(P)} \right) = \frac{{\left| { - 3 + 2.\left( { - 4} \right) - 2.\left( { - 5} \right) - 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{8}{3}.\)
Câu 93: Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz), cho điểm \(S\left( {2;4;6} \right)\). Gọi A, B, C lần lượt là 3 điểm thuộc Ox, Oy, Oz sao cho SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. Hỏi vectơ nào dưới đây là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)? A. \(\overrightarrow n = \left( {1;2;3} \right)\) B. \(\overrightarrow n = \left( {1;3; - 2} \right)\) C. \(\overrightarrow n = \left( {3;2;1} \right)\) D. \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(A\left( {a;0;0} \right);B\left( {0;b;0} \right);C\left( {0;0;c} \right).\) Khi đó \(\overrightarrow {SA} = \left( {a - 2; - 4; - 6} \right);\overrightarrow {SB} = \left( { - 2;b - 4; - 6} \right);\overrightarrow {SC} = \left( { - 2; - 4;c - 6} \right).\) Theo bài ra, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} = 0\\\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC} = 0\\.\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SA} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 14;b = 7\\c = \frac{{14}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {14;0;0} \right);B\left( {0;7;0} \right);C\left( {0;0;\frac{{14}}{3}} \right).\) Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn là: \(\frac{x}{{14}} + \frac{y}{7} + \frac{{3z}}{{14}} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0.\) Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow n = \left( {1;2;3} \right).\)
Câu 94: Trong không gian với hệ tọa độ \(\left( {Oxyz} \right)\), cho hình cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 2y - 4z - 11 = 0\) và mặt phẳng \(2x + 2y - z + 3 = 0\) cắt nhau theo hình tròn (C). Tính diện tích toàn phần của hình nón có đỉnh là tâm (S) của và đáy là hình tròn (C). A. \(V = 36\pi \) B. \(V = 25\pi \) C. \(V = 24\pi \) D. \(V = 49\pi \) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 25 \Rightarrow \left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3;1;2} \right)\) có bán kính R = 5. Khoảng cách từ I đến hình tròn (C) là \(d = \frac{{\left| {2.3 + 2.1 - 2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 3\) Bán kính hình tròn (C) là \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\)3 Hình nón có chiều cao bằng \(d = 3\) và bán kính đáy bằng \(r = 4\)3 Đường sinh của hình trụ là \(l = \sqrt {{r^2} + {d^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5\). Diện tích toàn phần của hình nón là \({S_{tp}} = \pi {r^2} + \pi rl = \pi {.4^2} + \pi .4.5 = 36\pi .\)
Câu 95: Cho đường thẳng d có một véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \) và mặt phẳng (P) có một véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \). Mệnh đề nào dưới đây không đúng? A. Nếu \(\overrightarrow n .\overrightarrow u = 0\), thì \(d//\left( P \right)\) B. Nếu \(d \subset \left( P \right)\), thì \(\left( {\overrightarrow n .\overrightarrow u } \right) = 0\) C. Nếu \(d \bot \left( P \right)\), thì \(\sin \left( {\overrightarrow n .\overrightarrow u } \right) = 0\) D. Nếu \(\overrightarrow n .\overrightarrow u \ne 0\), thì d và \(\left( P \right)\) cắt nhau Spoiler: Xem đáp án Nếu \(\overrightarrow n .\overrightarrow u = 0\) thì \(\left[ \begin{array}{l}d//\left( P \right)\\d \subset \left( P \right)\end{array} \right.\)
Câu 96: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho biết \(\left( \omega \right)\) là tập hợp tâm của các mặt cầu (S) đi qua điểm \(A\left( {1;1;1} \right)\) đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y + z - 6 = 0\) và \(\left( \beta \right):x + y + z + 6 = 0.\) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(\left( \omega \right)\) là: A. \(3\sqrt 5 .\) B. \(9\pi .\) C. 3 D. \(45\pi .\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là tâm của mặt cầu (S). Theo đề bài ta có \(IA = d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {I;\left( \beta \right)} \right)\). \(d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {I;\left( \beta \right)} \right) \Leftrightarrow \left| {x + y + z - 6} \right| = \left| {x + y + z + 6} \right| \Leftrightarrow \left( P \right):x + y + z = 0.\) \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Rightarrow IA = \frac{{d\left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right)}}{2} = 2\sqrt 3 \Rightarrow \left( {{S_1}} \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 12.\) Vậy tập hợp tâm I của mặt cầu (S) là giao tuyến của mặt cầu (S1) và mặt phẳng (P) hay chính là đường tròn có bán kính \(R = \sqrt {R_{\left( {{S_1}} \right)}^2 - {d^2}\left( {A,\left( P \right)} \right)} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = 3.\) Vậy diện tích của hình phẳng cần tính là \(S = \pi {R^2} = 9\pi .\)
Câu 97: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y + z - 1 = 0.\) Gọi d là đường thẳng trên \(\left( \alpha \right)\) đồng thời cắt \(\Delta \) và trục Oz. Một vectơ chỉ phương của d là: A. \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1; - 1} \right).\) B. \(\overrightarrow u = \left( {1; - 2;1} \right).\) C. \(\overrightarrow u = \left( {1;2; - 3} \right).\) D. \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 2} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M là giao điểm của \(\Delta \) và \(\left( \alpha \right)\) suy ra \(M\left( {1;1; - 1} \right).\) Gọi P là giao điểm của d và Oz suy ra \(P\left( {0;0;z} \right).\) Ta có: \(\overrightarrow {MP} = \left( { - 1; - 1;z + 1} \right)\) mà điểm \(M,P \in \left( \alpha \right) \Rightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = 0 \Rightarrow z = 1 \Rightarrow P(0;0;1).\) Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow u = \overrightarrow {PM} = \left( {1;1; - 2} \right).\)
Câu 98: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + ay + b{\rm{z}} - 1 = 0\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}.\) Biết rằng \(\left( \alpha \right)\)//\(\Delta \) và \(\left( \alpha \right)\) tạo với các trục Ox, Oz các góc giống nhau. Tìm giá trị của a. A. \(a = 2.\) B. \(a = 2\) hoặc \(a = 0.\) C. \(a = 0.\) D. \(a = - 1\) hoặc \(a = 1.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1; - 1; - 1} \right)\\\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {1;a;b} \right)\end{array} \right.\) mà \(\left( \alpha \right)//\alpha \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0 \Leftrightarrow 1 - a - b = 0 \Leftrightarrow a + b = 1 \left( * \right)\) Mặt khác \(\left( \alpha \right)\) tạo với các trục Ox, Oz các góc bằng nhau \(\sin \left( {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} ;\overrightarrow i } \right) = \sin \left( {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} ;\overrightarrow k } \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\\\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\end{array} \right.\). \( \Rightarrow \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} .\overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} \Leftrightarrow \frac{1}{1} = \frac{{\left| b \right|}}{1} \Leftrightarrow b = \pm 1.\) Thế vào (*) ta được: \(a = 2\,\,hay\,\,a = 0.\) Tuy nhiên \(a = 0 \Rightarrow \left( \alpha \right):x + z - 1 = 0\) chứa đường thẳng \(\Delta \) nên nhận \(a = 2.\)
Câu 99: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2y + 3{\rm{z}} - 6 = 0\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{1}.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. \(\Delta \subset \left( \alpha \right).\) B. \(\Delta \) cắt và không vuông góc \(\left( \alpha \right).\) C. \(\Delta //\left( \alpha \right).\) D. \(\Delta \bot \left( \alpha \right).\) Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = - 1 - 2 + 3 = 0 \Rightarrow \Delta //\left( \alpha \right)\,\,hay\,\,\Delta \subset \left( \alpha \right).\) Mặt khác \(A\left( { - 1; - 1;3} \right) \in \Delta \) và \(A\left( { - 1; - 1;3} \right) \in \left( \alpha \right)\) nên \(\Delta \subset \left( \alpha \right).\)
Câu 100: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {0;1;2} \right),B\left( {1;2;3} \right)\) và \(C\left( {1; - 2; - 5} \right).\) Điểm M nằm trên đoạn BC sao cho \(MB = 3MC.\) Độ dài đoạn AM bằng: A. \(\sqrt {30} .\) B. \(\sqrt {11} .\) C. \(7\sqrt 2 .\) D. \(7\sqrt 3 .\) Spoiler: Xem đáp án Do M nằm trên đoạn BC sao cho \(MB = 3MC\) nên \(\overrightarrow {MB} = - 3\overrightarrow {MC} \Rightarrow M\left( {1; - 1; - 3} \right).\) Do đó \(AM = \sqrt {1 + 4 + 25} = \sqrt {30} .\)
