Câu 101: Có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y + z = 0\) đồng thời tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - 2y - 2{\rm{z}} = 0?\) A. 1 B. 0 C. Vô số. D. 2 Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1;1;1} \right);R = \sqrt 3 .\) Mặt phẳng cần tìm có dạng \(\left( P \right):x + y + z + m = 0\,\,\left( {m \ne 0} \right)\) Điều kiện tiếp xúc: \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 3} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \Leftrightarrow m = - 6\,\,hay\,\,m = 0\) (loại).
Câu 102: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y - z + 1 = 0\) và \(\left( \beta \right): - 2{\rm{x}} + my + 2{\rm{z}} - 2 = 0.\) Tìm m để \(\left( \alpha \right)\) song song với \(\left( \beta \right).\) A. \(m = 2.\) B. \(m = 5.\) C. Không tồn tại. D. \(m = - 2.\) Spoiler: Xem đáp án Để \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\) thì: \(\frac{1}{{ - 2}} = \frac{1}{m} = \frac{{ - 1}}{2} \ne \frac{1}{{ - 2}}\) suy ra không tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 103: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua các điểm \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),\) \(C\left( {0;0;c} \right)\) với \(abc \ne 0\) có phương trình là: A. \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} + 1 = 0.\) B. \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 0.\) C. \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0.\) D. \({\rm{ax}} + by + c{\rm{z}} - 1 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt chắn của \(\left( {ABC} \right):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.\)
Câu 104: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 7 + t\\z = 3 + 4t\end{array} \right.\) và \(\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 6 + 3t'\\y = - 1 - 2t'\\z = - 2 + t'\end{array} \right..\) Khẳng định nào sau đây đúng? A. \({d_1}\) trùng với \({d_2}.\) B. \({d_1}\) cắt \({d_2}.\) C. \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau. D. \({d_1}\) song song \({d_2}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta thấy rằng: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 2t = 6 + 3t'\\7 + t = - 1 - 2t'\\3 + 4t = - 2 + t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 2\\t' = - 3\end{array} \right. \Rightarrow \) $d_1$ và $d_2$ cắt nhau.
Câu 105: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),\)\(C\left( {0;0;3} \right).\) Mặt cầu \(\left( S \right)\) thay đổi đi qua A, B, C và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại M, N, P \(\left( {M \ne A;N \ne B;P \ne C} \right).\) Gọi H là trực tâm tam giác MNP. Tọa độ của H luôn thỏa mãn phương trình nào trong các phương trình sau? A. \(x - 2y - 3{\rm{z}} = 0.\) B. \(x + 2y - 3{\rm{z}} = 0.\) C. \(4{\rm{x}} + y - 2{\rm{z}} = 0.\) D. \( - 4{\rm{x}} + y + 2z = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Áp dụng phương tích: Nếu đường thẳng d đi qua O và cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, M thì ta có \(\overline {OA} .\overline {OM} = O{I^2} - {R^2}.\) H là trực tâm tam giác MNP thì \(OH \bot \left( {MNP} \right).\) \(\left\{ \begin{array}{l}PN \bot MN\\OP \bot MN\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot OH,\) tương tự \(MP \bot OH\) suy ra \(OH \bot \left( {MNP} \right).\) Ta gọi \(M\left( {a;0;0} \right),N\left( {0;b;0} \right),P\left( {0;0;c} \right)\) thì \(a.1 = b.2 = c.3 = O{I^2} - {R^2}.\) Lại có PT \(\left( {MNP} \right):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Rightarrow {u_{OH}} = \left( {\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}} \right) = \left( {\frac{1}{{O{I^2} - {R^2}}};\frac{2}{{O{I^2} - {R^2}}};\frac{3}{{O{I^2} - {R^2}}}} \right)\) Chọn \(\overrightarrow {{u_{OH}}} = \left( {1;2;3} \right) \Rightarrow OH:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2t\\z = 3t\end{array} \right. \Rightarrow \) H luôn thuộc mặt phẳng \(4{\rm{x}} + y - 2{\rm{z}} = 0.\)
Câu 106: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {4; - 6;2} \right).\) Lập phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta .\) A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 4t\\y = - 6t\\z = 1 + 2t\end{array} \right..\) B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 2t\\y = - 3t\\z = 1 + t\end{array} \right..\) C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 2t\\y = - 6\\z = 2 - t\end{array} \right..\) D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 3t\\z = - 1 + t\end{array} \right..\) Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow a = \left( {4; - 6;2} \right)\) là một VTCP của \(\Delta \Rightarrow \overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow a = \left( {2; - 3;1} \right)\) cũng là một VTCP của \(\Delta .\) Mặt khác \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) nên có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 3t\\z = - 1 + t\end{array} \right..\)
Câu 107: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;4;2} \right),B\left( { - 1;2;4} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 4t\\y = 2 + 2t\\z = 4 + t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right).\) Cho M là một điểm thuộc đường thẳng d. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác AMB. A. \(3\sqrt 2 .\) B. \(2\sqrt 3 .\) C. \(2\sqrt 2 .\) D. \(6\sqrt 2 .\) Spoiler: Xem đáp án Điểm \(M \in \left( d \right) \Rightarrow M\left( {5 - 4t;2 + 2t;4 + t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( {4 - 4t;2t - 2;t + 2} \right).\) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 2;2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AM} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&2\\{2t - 2}&{t + 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 2}\\{t + 2}&{4 - 4t}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{ - 2}\\{4 - 4t}&{2t - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 6t;12 - 6t;12 - 12t} \right)\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{MAB}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AM} } \right]} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {36{t^2} + {{\left( {12 - 6t} \right)}^2} + {{\left( {12 - 12t} \right)}^2}} \\ = \frac{1}{2}\sqrt {216{t^2} - 432t + 288} = 3\sqrt 2 .\sqrt {3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} + 4} = 3\sqrt 2 .\sqrt {3{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 1} \ge 3\sqrt 2 .\end{array}\) Vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMB là \({S_{\min }} = 3\sqrt 2 .\)
Câu 108: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 2{\rm{z}} + 5 = 0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - 2{\rm{z}} + 4 = 0.\) Lập phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). A. \(\left( Q \right):x - 2y - 2z + 2 = 0.\) B. \(\left( Q \right):x - 2y - 2z - 2 = 0\) hoặc \(\left( Q \right):x - 2y - 2z + 4 = 0.\) C. \(\left( Q \right):x - 2y - 2z + 2 = 0\) hoặc \(\left( Q \right):x - 2y - 2z - 4 = 0.\) D. \(\left( Q \right):x - 2y - 2z - 2 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) có dạng: \(x - 2y - 2{\rm{z}} + m = 0\,\,\left( {m \ne 4} \right).\) Xét mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 1\) có tâm \(I\left( {1;2; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 1.\) Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) \( \Leftrightarrow d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 4\\\left| {m - 1} \right| = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 2.\)
Câu 109: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {4;0;0} \right),B\left( {6;b;0} \right)\) với \(b > 0\) và \(AB = 2\sqrt {10} .\) Điểm C thuộc tia Oz sao cho thể tích tứ diện O.ABC bằng 8 (đvtt). Tọa độ điểm C là: A. \(C\left( {0;1;2} \right).\) B. \(C\left( {0;0; - 2} \right).\) C. \(C\left( {0;0;2} \right).\) D. \(C\left( {0;1; - 2} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;b;0} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{b^2} + 4} = 2\sqrt {10} \Leftrightarrow b = 6\) vì \(b > 0 \Rightarrow B\left( {6;6;0} \right).\) Điểm C thuộc tia Oz \( \Rightarrow C\left( {0;0;m} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OC} = \left( {0;0;m} \right)\,\left( {m > 0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OB} ;\overrightarrow {OC} } \right] = \left( {6m;0;0} \right).\) Vậy thể tích tứ diện O.ABC là \({V_{O.ABC}} = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {OA} .\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right]} \right| = 8 \Leftrightarrow 4m = 8 \Leftrightarrow m = 2.\)
Câu 110: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2; - 4} \right),B\left( { - 3;4;0} \right).\) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} .\) A. \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;1;3} \right).\) B. \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3; - 2} \right).\) C. \(\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 2; - 4} \right).\) D. \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;2;4} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(A\left( {1;2; - 4} \right),B\left( { - 3;4;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 4;2;4} \right).\)
