Câu 111: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 3 điểm \(M\left( {1;0;0} \right),N\left( {0;0;3} \right),\)\(P\left( {0;2;0} \right).\) Lập phương trình mặt phẳng (MNP). A. \(6{\rm{x}} + 4y + 2{\rm{z}} - 6 = 0\) B. \(6{\rm{x}} + 3y + 2{\rm{z}} - 6 = 0\) C. \(6{\rm{x}} + 3y + 3{\rm{z}} - 6 = 0\) D. \({\rm{4x}} + 3y + 2{\rm{z}} - 6 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt phẳng (MNP) theo đoạn chắn là \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 6{\rm{x}} + 3y + 2{\rm{z}} - 6 = 0.\)
Câu 112: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua \(A\left( {1; - 1;2} \right)\), song song với mp \(\left( P \right):2x - y - z + 3 = 0\), đồng thời tạo với đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{2}\) một góc bé nhất. Phương trình của đường thẳng d là: A. \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{{ - 5}} = \frac{{z + 2}}{7}\) B. \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 5}} = \frac{{z - 2}}{7}\) C. \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{5} = \frac{{z - 2}}{7}\) D. \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{{ - 5}} = \frac{{z - 2}}{{ - 7}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {{u_d}} \left( {a;b;c} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} = 0 \Leftrightarrow 2a - b - c = 0 \Rightarrow c = 2a - b\) Khi đó \(\cos \left( {d;\Delta } \right) = \frac{{\left| {5a - 4b} \right|}}{{3\sqrt {5{a^2} - 4ab + 2{b^2}} }} = \frac{1}{3}\sqrt {\frac{{{{\left( {5a - 4b} \right)}^2}}}{{5{a^2} - 4ab + 2{b^2}}}} \) . Ta có: \(0 \le \widehat {\left( {d;\Delta } \right)} \le {90^0}\) suy ra \(\widehat {\left( {d;\Delta } \right)}\) bé nhất khi \(\cos \left( {d;\Delta } \right)\) lớn nhất. Đặt \(t = \frac{a}{b}\) ta có hàm số: \(f\left( t \right) = \frac{{{{\left( {5t - 4} \right)}^2}}}{{5{t^2} - 4t + 2}}\) \(f'(t) = \frac{{4(5t - 4)(5t + 1)}}{{{{\left( {5{t^2} - 4t + 2} \right)}^2}}}\) \(f'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{4}{5}\\t = - \frac{1}{5}\end{array} \right.\) Bảng biên thiên: \( \Rightarrow \min f\left( t \right) = f\left( { - \frac{1}{5}} \right)\) khi \(t = \frac{a}{b} = - \frac{1}{5}\) Khi đó chọn \(a = 1;b = - 5 \Rightarrow c = 7\) Vậy phương trình đường thẳng d là: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 5}} = \frac{{z - 2}}{7}.\)
Câu 113: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\) và điểm \(I\left( {1; - 2;3} \right).\) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với d là: A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 5\sqrt 2 \) B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 50\) C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 50\) D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 50\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(H\left( { - 1 + 2t;2 + t; - 3 - t} \right)\) là chân đường cao hạ từ I xuống d. Khi đó \(\overrightarrow {IH} \left( { - 2 + 2t;4 + t; - 6 - t} \right)\) suy ra \(\overrightarrow {IH} .\overrightarrow {{u_d}} = 2\left( {2t - 2} \right) + t + 4 + t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\) Suy ra \(IH = \sqrt {16 + 9 + 25} = 5\sqrt 2 \) do đó \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 50\)
Câu 114: Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình lần lượt là \(\left( P \right):2x + 2y + z - {3^2} + 4m - 5 = 0\), \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 6 = 0\). Tất cả các giá trị của m để (P) tiếp xúc với (S) là: A. \(m = - 1\) hoặc \(m = 5\) B. \(m = - 1\) hoặc \(m = - 5\) C. \(m = - 1\) D. \(m = 5\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1; - 1;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {1 + 1 + 1 + 6} = 3\) Đề (P) tiếp xúc với (S) thì \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - {m^2} + 4m - 5} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 3\) \( \Leftrightarrow \left| {{m^2} - 4m + 4} \right| = 9 \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 5\\m = - 1\end{array} \right..\)
Câu 115: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, Cho \(C\left( {2;1;1} \right),D\left( {3;1;0} \right)\). \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;0;1} \right)\). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng trong không gian cách đều cả bốn điểm đã cho? A. Vô số B. 7 C. 9 D. 5 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]\overrightarrow {AD} = 0\) suy ra 4 điểm A, B, C, D thuộc cùng một mặt phẳng đo đó có vô số các mặt phẳng cách đều 4 điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;0;1} \right),\)\(C\left( {2;1;1} \right),D\left( {3;1;0} \right)\) các mặt phẳng này song song với mặt phẳng (ABCD).
Câu 116: Cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;3;4} \right)\), tìm véctơ \(\overrightarrow b \) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow a \) A. \(\overrightarrow b = \left( { - 2;6;8} \right)\) B. \(\overrightarrow b = \left( { - 2; - 6; - 8} \right)\) C. \(\overrightarrow b = \left( { - 2; - 6;8} \right)\) D. \(\overrightarrow b = \left( {2; - 6; - 8} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow b = \left( { - 2; - 6; - 8} \right) = - 2\overrightarrow a .\)
Câu 117: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {5;4;3} \right)\) và chắn trên các tia Ox, Oy, Oz các đoạn bằng nhau có phương trình là: A. \(x - y + z - 4 = 0\) B. \(x + y + z - 12 = 0\) C. \(5x + 4y + 3z - 50 = 0\) D. \(x - y - z + 2 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) trong đó \(a;b;c > 0\) và \(a = b = c\) Suy ra \(\left( \alpha \right):\frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{a} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - a = 0\), lại có \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {5;4;3} \right)\) nên \(a = 12\) Do đó \(\left( \alpha \right):x + y + z - 12 = 0\)
Câu 118: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;0; - 3} \right),B\left( {2;4; - 1} \right),C\left( {2; - 2;0} \right)\). Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: A. \(\left( {\frac{5}{2};1; - 2} \right)\) B. \(\left( {\frac{5}{3};\frac{2}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\) C. \(\left( {5;2;4} \right)\) D. \(\left( {\frac{5}{2};\frac{2}{3};\frac{4}{3}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{5}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{2}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = - \frac{4}{3}\end{array} \right.\) Vậy tọa độ trọng tâm tam giác ABC là: \(G\left( {\frac{5}{3};\frac{2}{3}; - \frac{4}{3}} \right).\)
Câu 119: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(M\left( { - 1;2;1} \right);A\left( {1;2; - 3} \right)\,\)và đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}.\) Tìm vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \,\) của đường thẳng \(\Delta \) đi qua M, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng lớn nhất. A. \(\overrightarrow u = \left( {4; - 3;2} \right)\) B. \(\,\overrightarrow u = \left( {1;0;2} \right)\) C. \(\overrightarrow u = \left( {2;0; - 4} \right)\) D. \(\overrightarrow u = \left( {2;2; - 1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d là: \(2x + 2y - z - 1 = 0\left( \alpha \right)\,\)khi đó \(\left( \alpha \right)\)chứa \(\Delta \). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống \(\left( \alpha \right)\) và N là hình chiếu của A xuống \(\Delta \) ta có: \(AH \le AN \le AM\). Khi đó \(A{N_{\max }} \Leftrightarrow N \equiv M\) Khi đó \(\Delta \bot d;\Delta \bot AM \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {AM} } \right] = \left( { - 8;6; - 4} \right) = - 2(4; - 3;2).\)
Câu 120: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{{ - 2}};\)\({d_2}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 2}}{4} = \frac{z}{{ - 4}};{d_3}:\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1};{d_4}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\).Gọi \(\Delta \,\)là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của \(\Delta \,?\) A. \(\overrightarrow u = \left( {2;1;1} \right)\) B. \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)\) C. \(\,\overrightarrow u = \left( {2;0; - 1} \right)\) D. \(\overrightarrow u = \left( {1;2; - 2} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overrightarrow {{u_{\left( {{d_1}} \right)}}} = \left( {1;2; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_{\left( {{d_2}} \right)}}} = \left( {2;4; - 4} \right)\)suy ra \(\overrightarrow {{u_{\left( {{d_2}} \right)}}} = 2.\overrightarrow {{u_{\left( {{d_1}} \right)}}} \Rightarrow \left( {{d_1}} \right)//\left( {{d_2}} \right)\) Phương trình mặt phẳng (P) chứa \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\)là \(y + z - 2 = 0\) Gọi \(A = \left( {{d_3}} \right) \cap \left( P \right) \Rightarrow A\left( {1;\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\) và \(B = \left( {{d_4}} \right) \cap \left( P \right) \Rightarrow B\left( {4;2;0} \right) \to \overrightarrow {AB} = \left( {3;\frac{3}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\) Khi đó \(\overrightarrow {AB} \) và \({u_{\left( {{d_1}} \right)}}\)không cùng phương \( \Rightarrow \)AB cắt đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\) Vậy \(\overrightarrow {{u_{\left( \Delta \right)}}} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} = \left( {2;1; - 1} \right)\) là vecto chỉ phương của đường thẳng cắt \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right),\left( {{d_3}} \right),\left( {{d_4}} \right).\)
