Câu 121: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm\(A\left( { - 2;1;3} \right),B\left( { - 2;1;1} \right)\). Tìm tọa độ điểm C sao cho điểm B là trung điểm của AC. A. \(C\left( { - 2;1;1} \right)\) B. \(C\left( {2; - 1;1} \right)\) C. \(C\left( { - 2;1; - 1} \right)\) D. \(C\left( { - 2;1;5} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Do B là trung điểm của AB nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2}\\{y_B} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2}\\{z_B} = \frac{{{z_A} + {z_C}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = - 2\\{y_C} = 1\\{z_C} = - 1\end{array} \right..\)
Câu 122: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z = 0.\) A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2\) B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\) C. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\) D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(R = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 2 + 2} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 2\) do đó \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4.\)
Câu 123: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {0;1;1} \right),B\left( {1;2;1} \right),C\left( {2; - 1; - 1} \right)\). Tìm tọa độ điểm D sao cho bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của hình chữ nhật. A. \(D\left( {1;0;1} \right)\) B. \(D\left( {1; - 2; - 1} \right)\) C. \(D\left( {3; - 2;1} \right)\) D. \(D\left( {3;0; - 1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left( {1;1;0} \right).\left( {2; - 2; - 2} \right) = 0 \Rightarrow AB \bot AC\)nên tồn tại điểm D để A, B, C, D là bốn đỉnh của hình chữ nhật. ABCD là hình chữ nhật khi \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} = \left( {1;1;0} \right) \Rightarrow D\left( {3;0; - 1} \right).\)
Câu 124: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - m}}{{ - 1}}\)song song với mặt phẳng \(\left( P \right):4x + 4y + {m^2}z - 8 = 0\,\) A. \(m = \pm 2\) B. \(m = 2\) C. \(m = - 2\) D. Không tồn tại m Spoiler: Xem đáp án Do \(d//\left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_p}} = 8 - 4 - {m^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 2\end{array} \right.\) Xét điểm \(A\left( {0;0;m} \right) \in d\). Cho \(A \in \left( P \right) \Rightarrow {m^3} = 8 \Leftrightarrow m = 2\,\)do đó m = 2 thì d nằm trong (P).
Câu 125: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1 + 3t\\z = 5 - t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d? A. \(\overrightarrow u = \left( {0;3;1} \right)\) B. \(\overrightarrow u = \left( {0;3; - 1} \right)\) C. \(\overrightarrow u = \left( {2;3; - 1} \right)\) D. \(\overrightarrow u = \left( {2;1;5} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overrightarrow u = \left( {0;3; - 1} \right)\) là một VTCP của d.
Câu 126: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình lần lượt là \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 11 = 0\) và \(\left( P \right):2x + 2y - z + 17 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo một giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng \(6\pi \) A. \(\left( Q \right):2x + 2y - z = 0\) B. \(\left( Q \right):2x + 2y - z + 5 = 0\) C. \(\left( Q \right):2x + 2y - z - 2 = 0\) D. \(\left( Q \right):2x + 2y - z - 7 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Bán kính đường tròn giao tuyến là \(r = \frac{{6\pi }}{{2\pi }} = 3\) Xét mặ cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\) có tâm \(I\left( {1; - 2;3} \right)\) và bán kính \(R = 5\) Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (Q) là \(d = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\) Vì mp(Q) // mp (P) nên mặt phẳng (Q) có phương trình là \(2x + 2y - z + m = 0\) Khi đó \(d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = 4 \Leftrightarrow \frac{{\left| {2.1 - 2.2 - 3 + m} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 17\left( l \right)}\\{m = - 7}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( Q \right):2x + 2y - z - 7 = 0.\)
Câu 127: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {2;0;0} \right)\), \(N\left( {1;1;1} \right)\). Mặt phẳng (P) thay đổi nhưng luôn qua M, N và cắt các tia Oy, Oz lần lượt tại B và C (với B, C không trùng O). Tính giá trị nhỏ nhất T của biểu thức \(O{B^2} + O{C^2}.\) A. \(T = 64\) B. \(T = 32\) C. \(T = 16\) D. \(T = 128\) Spoiler: Xem đáp án Giả sử mặt phẳng (P) có phương trình là \(ax + by + cz + d = 0\) Vì \(M,N \in \left( P \right)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d = - 2a}\\{c = a - b}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( P \right):ax + by + \left( {a - b} \right)z - 2a = 0\) Khi đó \(B = \left( {Oy} \right) \cap \left( P \right) \Rightarrow B\left( {0;\frac{{2a}}{b};0} \right)\) và \(C = O{\rm{z}} \cap \left( P \right) \Rightarrow C\left( {0;0;\frac{{2a}}{{a - b}}} \right)\) \( \Rightarrow O{B^3} + O{C^3} = 8.\left| {{a^3}} \right|.\left( {\frac{1}{{\left| {{b^3}} \right|}} + \frac{1}{{{{\left| {a - b} \right|}^3}}}} \right) \ge 8.\left| {{a^3}} \right|.\frac{2}{{\left( {{{\left| {\frac{{b + a - b}}{2}} \right|}^3}} \right)}} = 128 \Rightarrow {T_{\min }} = 128.\)
Câu 128: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow u = \left( {m; - 2;m + 1} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {3; - 2m - 4;6} \right)\). Tìm tất cả các giá trị của m để hai vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng phương. A. \(m = 0\) B. \(m = 2\) C. \(m = 1\) D. \(m = - 1\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 129: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 5 = 0\). Tìm tọa độ tâm I của mặt cầu (S). A. \(I\left( { - 2; - 4;0} \right)\) B. \(I\left( { - 1; - 2;0} \right)\) C. \(I\left( {2;4;0} \right)\) D. \(I\left( {1;2;0} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 130: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi a, b, c lần lượt là khoảng cách từ điểm \(M\left( {1;3;2} \right)\) đến ba mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right),\left( {Oy{\rm{z}}} \right),\left( {Ox{\rm{z}}} \right)\). Tính \(d = a + {b^2} + {c^3}\) A. \(d = 12\) B. \(d = 32\) C. \(d = 30\) D. \(d = 18\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
