Câu 181: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{3}\) và \(\Delta :\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}.\) Viết phương trình đường thẳng \({d_1}\) đi qua \(A\left( {0;2; - 4} \right)\) và cắt hai đường thẳng d và \(\Delta .\) A. \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 10t\\y = 2 + 17t\\z = - 4 - 15t\end{array} \right..\) B. \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 2 + 16t\\z = - 4 + 15t\end{array} \right..\) C. \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 10t\\y = 2 - 17t\\z = - 4 + 15t\end{array} \right..\) D. \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 11t\\y = 2 - 17t\\z = - 4 - 15t\end{array} \right..\) Spoiler: Xem đáp án Gọi $d_1$ là đường thẳng cần tìm. Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua $A$ và chứa $d$. Lây \(B\left( {2;1; - 1} \right)\) thuộc đường thẳng d, khi đó: \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {3;0; - 2} \right).\) Gọi \(\left( \beta \right)\) là mặt phẳng đi qua A và chứa \(\Delta \). Lây \(C\left( { - 1;3; - 2} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \), khi đó: \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( { - 7; - 5; - 1} \right).\) Vậy \(\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} } \right] = \left( { - 10;17; - 15} \right).\) Vì d1 qua A nên PT đường thẳng d1 là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 10t\\y = 2 + 17t\\z = - 4 - 15t\end{array} \right..\)
Câu 182: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z - 1 = 0\) và ba điểm \(A\left( {1;1;0} \right),\,\,B\left( { - 1;0;1} \right),\,\,C\left( {0;2;1} \right).\) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và đi qua ba điểm A, B, C. A. \({\left( {x + \frac{7}{6}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{6}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{{443}}{{36}}.\) B. \({\left( {x - \frac{7}{6}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{6}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{{443}}{{36}}.\) C. \({\left( {x + \frac{1}{6}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{5}{6}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{59}}{{36}}.\) D. \({\left( {x + \frac{1}{6}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{5}{6}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{59}}{{36}}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi tâm mặt cầu \(I\left( {a;b;c} \right).\) Mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C nên có: \(IA = IB = IC.\) \(\begin{array}{l}\overrightarrow {IA} = \left( {1 - a;1 - b; - c} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {IA} } \right| = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( {1 - b} \right)}^2} + {c^2}} \\\overrightarrow {IB} = \left( { - 1 - a; - b;1 - c} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {IB} } \right| = \sqrt {{{\left( {1 + a} \right)}^2} + {b^2} + {{\left( {1 - c} \right)}^2}} \\\overrightarrow {IC} = \left( {a;2 - b; - c} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {IC} } \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2 - b} \right)}^2} + {{\left( {1 - c} \right)}^2}} \end{array}\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\rm{a}} + b - c = 0\\2{\rm{a}} - 2b - 2c = - 3\end{array} \right.\) Vì \(I \in \left( P \right)\) nên ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{a}} + b - c = 0\\2{\rm{a}} - 2b - 2c = - 3\\a + 2b - c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{6}\\b = \frac{5}{6}\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) Vậy mặt cầu tâm \(I\left( { - \frac{1}{6};\frac{5}{6};\frac{1}{2}} \right),\,\,R = \frac{{\sqrt {59} }}{6}\) có PT là: \({\left( {x + \frac{1}{6}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{5}{6}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{59}}{{36}}\)
Câu 183: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y - z - 5 = 0,\) mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - 2y + 2{\rm{z}} - 1 = 0.\) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \gamma \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 1 A. \(x + y - z = 0\) hoặc \(x + y - z - 6 = 0.\) B. \(x + y - z = 0\) hoặc \(x + y - z + 6 = 0.\) C. \(x + y - z + 1 = 0\) hoặc \(x + y - z + 6 = 0.\) D. \(x + y - z + 1 = 0\) hoặc \(x + y - z - 6 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Vì \(\left( \gamma \right)\,\,song\,\,song\,\,\left( \alpha \right)\) nên PT của \(\left( \gamma \right)\) có dạng: \(x + y - z + d = 0\,\,\,\left( {d \ne - 5} \right).\) (S) có tâm \(I\left( {1;1; - 1} \right),\,\,R = 2.\) Bán kính đường tròn giao tuyến là \(r = 1.\) Vì \(\left( \gamma \right)\) cắt (S) theo đường tròn giao tuyến có bán kính bằng 1 nên: \(d\left( {I,\left( \gamma \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 + 1 + 1 + d} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 0\\d = - 6\end{array} \right.\) Vậy PT của \(\left( \gamma \right)\) là: \(x + y - z = 0\) hoặc \(x + y - z - 6 = 0.\)
Câu 184: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{z}{2}\) và mặt phẳng \(\left( \gamma \right):2{\rm{x}} - y + 3{\rm{z}} + 4 = 0.\) Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẩng \(\left( \gamma \right).\) A. \(\left( {0;4;0} \right).\) B. \(\left( {1;1; - 1} \right).\) C. \(\left( {0;0; - 2} \right).\) D. \(\left( {2;2; - 2} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(A = d \cap \left( \gamma \right).\) Tọa độ A là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{z}{2}\\2{\rm{x}} - y + 3{\rm{z}} + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2(x - 3) = y - 4\\2(y - 4) = 2z\\2{\rm{x}} - y + 3{\rm{z}} + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\\z = - 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {2;2; - 2} \right)\)
Câu 185: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2{\rm{x}} - y + 3{\rm{z}} - 2 = 0.\) Tính khoảng cách từ đường thẳng d đến mặt phẩng (P). A. \(\frac{{\sqrt {14} }}{2}.\) B. \(\frac{{\sqrt {14} }}{7}.\) C. \(\frac{{\sqrt {14} }}{{14}}.\) D. \(\frac{{\sqrt {14} }}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng d đi qua \(A\left( {2;3; - 2} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = 0\) và điểm A không thuộc mặt phẳng (P) nên: \(d\,\,song\,\,song\,\,\left( P \right) \Rightarrow d\left( {d,\left( P \right)} \right) = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {4 - 3 - 6 - 2} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 9} }} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.\)
Câu 186: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( { - 1;2;0} \right),\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {0; - 1;3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. A. \(y - 3z - 2 = 0.\) B. \(x + 2y + 2 = 0.\) C. \(y - 3{\rm{z}} + 2 = 0.\) D. \( - y + 3{\rm{z}} + 3 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(0\left( {x + 1} \right) - 1.\left( {y - 2} \right) + 3.\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow y - 3{\rm{z}} - 2 = 0.\)
Câu 187: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho phương trình đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = - 1 + t\\z = 2\end{array} \right..\)Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là: A. \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 1; - 1;2} \right).\) B. \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 1;1;2} \right).\) C. \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {0;1;2} \right).\) D. \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 1;1;0} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 1;1;0} \right).\)
Câu 188: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {a;0;a} \right),B\left( {0;a;a} \right),C\left( {a;a;0} \right)\). Mặt phẳng (ABC) cắt các trục Ox, Oy, Oz tại M, N, P. Thể tích tứ diện OMNP là: A. \(4{a^3}\) B. \(\frac{{8{a^3}}}{3}\) C. \(8{a^3}\) D. \(\frac{{4{a^3}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Chọn \(a = 1\) suy ra \(A\left( {1;0;1} \right),B\left( {0;1;1} \right),C\left( {1;1;0} \right) \Rightarrow \) Phương trình mp (ABC) là \(x + y + z - 2 = 0\) Giao điểm \(M = \left( {ABC} \right) \cap Ox \Rightarrow M\left( {2;0;0} \right)\), Tương tự \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{N\left( {0;2;0} \right)}\\{P\left( {0;0;2} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow {V_{O.MNP}} = \frac{1}{6}.OM.ON.OP = \frac{4}{3}\) Vậy thể tích tứ diện OMNP là \({V_{O.MNP}} = \frac{{4{a^3}}}{3}.\)
Câu 189: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng: \(\left( P \right):x + 2y - 2z - 2 = 0,\) \(\left( Q \right):x + 2y - 2z + 4 = 0\). Mặt cầu (S) có tâm thuộc trục Ox và tiếp xúc với hai mặt phẳng đã cho có phương trình là: A. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4\) B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 1\) C. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 1\) D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 9\) Spoiler: Xem đáp án Gọi I là tâm của mặt cầu (S) \( \Rightarrow I\left( {m;0;0} \right)\). Ta có \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = d\left( {I;\left( Q \right)} \right)\) \( \Rightarrow \left| {m - 2} \right| = \left| {m + 4} \right| \Leftrightarrow m - 2 = - m - 4 \Leftrightarrow m = - 1 \Rightarrow I\left( { - 1;0;0} \right) \Rightarrow \left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 1\)
Câu 190: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {2;0;0} \right),B\left( {0;4;0} \right)\), \(C\left( {0;0;6} \right)\) và \(D\left( {2;4;6} \right)\). Tập hợp các điểm M thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = 4\) là mặt cầu có phương trình: A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\) B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\) C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\) D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 1\) Spoiler: Xem đáp án Gọi điểm \(I\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \Rightarrow I\left( {1;2;3} \right)\) Khi đó \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = \left| {4.\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right| = 4\left| {\overrightarrow {MI} } \right| = 4 \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = 1\) Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm I, bán kính \(R = 1 \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1.\)
