Câu 11: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(({d_1}):\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{{ - 2}}\) và \(\left( {{d_2}} \right):\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 2}}{4} = \frac{z}{{ - 4}}.\) Viết phương trình của mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right).\) A. \(2x + y + 2z - 2 = 0\) B. \(2x + y + 2z + 2 = 0\) C. \(y + z - 2 = 0\) D. \(y + z + 2 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) đi qua điểm M(1;2;0) và có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a = (1;2; - 2).\) Đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) đi qua điểm N(2;2;0). \(\overrightarrow {MN} = (1;0;0)\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MN \subset (P)\\\left( {{d_1}} \right) \subset \,(P)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{(P)}}} \bot \overrightarrow {MN} \\\overrightarrow {{n_{(P)}}} \bot \overrightarrow a \end{array} \right.\) Chọn một vecto pháp tuyến của (P) là: \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {MN} } \right] = (0; - 2; - 2).\) Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \(0\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) - 2\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow y + z - 2 = 0\)
Câu 12: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(-1;1;1) và hai mặt phẳng \((P): - x + 2y - 3z = 0\) và \((Q):3x - 6y + 9z - 5 = 0.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Mặt phẳng (P) không đi qua A và song song với (Q) B. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với (Q) C. Mặt phẳng (P) đi qua A và song song với (Q) D. Mặt phẳng (P) không đi qua A và vuông góc với (Q). Spoiler: Xem đáp án Do \(\frac{{ - 1}}{3} = \frac{2}{{ - 6}} = \frac{{ - 3}}{9} \ne \frac{0}{{ - 5}}\) nên mặt phẳng (P) song song với (Q) Do –(-1) +2.1 – 3.1 = 0 nên mặt phẳng (P) đi qua A. Vậy mệnh đề đúng là: “Mặt phẳng (P) đi qua A và song song với (Q)”.
Câu 13: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho ba điểm P(1;0;0), Q(0;-3;0), R(0;0;-2). Hãy viết phương trình mặt phẳng (PQR). A. \(6x - 2y - 3z + 6 = 0\) B. \(6x - 2y - 3z = 0\) C. \(6x - 2y - 3z - 1 = 0\) D. \(6x - 2y - 3z - 6 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Áp dụng phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình của mặt phẳng (PQR) là: \(\frac{x}{1} + \frac{y}{{ - 3}} + \frac{z}{{ - 2}} = 1\) hay \(6x - 2y - 3z - 6 = 0\)
Câu 14: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng \((P): - 4x + 2y + 1 = 0\) và điểm A(-1;0;1). Tính khoảng cách d từ A đến (P). A. \(d = \frac{1}{5}.\) B. \(d = 1\) C. \(d = \frac{8}{5}\) D. \(d = \frac{8}{{25}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(d = \frac{{\left| { - 4.( - 1) + 3.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{{( - 4)}^2} + {3^2} + {0^2}} }} = \frac{5}{5} = 1.\)
Câu 15: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 25.\) Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của (S). A. I(2;-1;-2) và R = 5 B. I(-2;1;2) và R =25 C. I(-2;1;2) và R = 5 D. I(2;-1;-2) và R = 25 Spoiler: Xem đáp án Mặt cầy (S) có tâm I(-2;1;2) và bán kính \(R = \sqrt {25} = 5.\)
Câu 16: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng \((d):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = - 5 + 4t\,\,\\z = - t\end{array} \right.(t \in \mathbb{R})\). Vecto nào dưới đây là vecto chỉ phương của (d)? A. \(\overrightarrow {{a_4}} ( - 2;4; - 1)\) B. \(\overrightarrow {{a_2}} (1; - 5;0)\) C. \(\overrightarrow {{a_1}} (2;4;1)\) D. \(\overrightarrow {{a_3}} (1;5;0)\) Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng (d) có một vecto chỉ phương là: \(\overrightarrow {{a_4}} ( - 2;4; - 1)\) Các vecto \(\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {{a_3}} \) không cùng phương với vecto \(\overrightarrow {{a_4}} ( - 2;4; - 1)\) Vậy phương án cần chọn là: \(\overrightarrow {{a_4}} ( - 2;4; - 1)\)
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A_1}{B_1}{C_1}\) có \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {2;0;0} \right),C\left( {0;2;0} \right),{A_1}\left( {0;0;m} \right)\left( {m > 0} \right)\) và \({A_1}C\) vuông góc với \(B{C_1}\). Thể tích khối tứ diện \({A_1}CB{C_1}\) là: A. \(\frac{4}{3}\) B. \(\frac{8}{3}\) C. 4 D. 8 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({C_1}\left( {0;2;m} \right),\overrightarrow {{A_1}C} = \left( {0; - 2;m} \right),\overrightarrow {B{C_1}} = \left( { - 2;2;m} \right)\) Vì \({A_1}C\) vuông góc với \(B{C_1}\) nên \(\overrightarrow {{A_1}C} \overrightarrow {B{C_1}} = 0 \Leftrightarrow 0.\left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right).2 + m.m = 0 \Leftrightarrow m = 2\) (vì \(m > 0\)) Ta có: \(AC = 2;AB = 2;A{A_1} = 2 \Rightarrow {V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{1}{2}.2.2.2 = 4\) Thể tích khối tứ diện \({A_1}CB{C_1}\) là: \(V = \frac{1}{3}{V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{4}{3}.\)
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\) và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 3 + 3t}\\{y = 5 - t}\end{array}}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\). Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt các đường thẳng \({d_1},{d_2}\) lần lượt tại các điểm A, B. Diện tích tam giác OAB là: A. 5 B. 10 C. 15 D. 55 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\left( {Oxz} \right):y = 0\). Khi đó \({d_1} \cap \left( {Oxz} \right) = A\left( { - 5;0; - 5} \right),{d_2} \cap \left( {Oxz} \right) = B\left( {12;0;10} \right)\) Khi đó \(\overrightarrow {OA} = \left( { - 5;0; - 5} \right),\overrightarrow {OB} = \left( {12;0;10} \right) \Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}.\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right]} \right| = \frac{{10}}{2} = 5.\)
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z + 5 = 0\) và các điểm \(A\left( {0;0;4} \right),B\left( {2;0;0} \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính nhỏ nhẩt, đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có tâm là: A. \(I\left( {1;2;2} \right)\) B. \(I\left( {1; - \frac{{19}}{4};2} \right)\) C. \(I\left( {1; - 2;2} \right)\) D. \(I\left( {1;\frac{{19}}{4};2} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Giả sử, phương trình mặt cầu là \(\left( S \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) Vì A, B, O\( \in \left( S \right)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {b^2}{{\left( {4 - c} \right)}^2} = {R^2}}\\{{{\left( {2 - a} \right)}^2} + {b^2} + {c^2} = {R^2}}\\{{a^2} + {b^2} + {c^2} = {R^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{c = 2}\\{b = \pm \sqrt {{R^2} - 5} }\end{array}} \right.} \right.\) \( \Rightarrow \left( {1; \pm \sqrt {{R^2} - 5} ;2} \right)\) Khi đó \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {11 \pm \sqrt {{R^2} - 5} } \right|}}{3} = R \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{R = \frac{{21}}{4}}\\{R = 3}\end{array}} \right.\). Vì R nhỏ nhất nên \(R = 3 \Rightarrow I\left( {1;2;2} \right).\)
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: \({d_1}:\frac{{x - 4}}{3} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 5}}{{ - 2}},{d_2}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{3} = \frac{z}{1}\) Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình là: A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + y - z = 0\) B. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 2y - 2z = 0\) C. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z = 0\) D. \({x^2} + {y^2} + {z^2}x - y + z = 0\) Spoiler: Xem đáp án Giả sử \(M\left( {3t + 4; - t + 1; - 2t - 5} \right),N\left( {s + 2;3s - 3;s} \right)\) và MN là đoạn vuông góc chung của \({d_1},{d_2}\). Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {s - 3t - 2;3s + t - 4;s + 2t + 5} \right)\) Các vtcp của \({d_1},{d_2}\) lần lượt là: \({\overrightarrow u _1}\left( {3; - 1; - 2} \right),{\overrightarrow u _2}\left( {1;3;1} \right)\) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {MN} .{{\overrightarrow u }_1} = 0}\\{\overrightarrow {MN} .{{\overrightarrow u }_2} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {s - 3t - 2} \right).3 + \left( {3s + t - 4} \right).\left( { - 1} \right) + \left( {s + 2t + 5} \right).\left( { - 2} \right) = 0}\\{\left( {s - 3t - 2} \right).1 + \left( {3s + t - 4} \right).3 + \left( {s + 2t + 5} \right).1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{s = 1}\\{t = - 1}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow M\left( {1;2; - 3} \right),N\left( {3;0;1} \right)\). Tâm I của mặt cầu cần tìm là trung điểm của \(MN \Rightarrow I\left( {2;1; - 1} \right)\) và bán kính mặt cầu là \(R = \frac{{MN}}{2} = \frac{{2\sqrt 6 }}{2} = \sqrt 6 .\)
