Câu 191: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tọa độ các đỉnh \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {2;0;0} \right),D\left( {0;2;0} \right),A'\left( {0;0;2} \right)\). Đường thẳng d song song với A’C, cắt cả hai đường thẳng AC’ và B’D’ có phương trình là: A. \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\) B. \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\) C. \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) D. \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào giả thiết, ta thấy \(C\left( {2;2;0} \right),B'\left( {2;0;2} \right),D'\left( {0;2;2} \right)\) và \(C'\left( {2;2;2} \right)\) Ta có \(\overrightarrow {A'C} = \left( {2;2; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;1; - 1} \right)\) và phương trình đường thẳng AC’ là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a}\\{y = a}\\{z = a}\end{array}} \right.\left( {a \in \mathbb{R}} \right)\) Điểm \(M \in \left( {B'D'} \right) \Rightarrow M\left( {2 + t; - t;2} \right)\), điểm \(N \in \left( {AC'} \right) \Rightarrow N\left( {a;a;a} \right)\) suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( {a - t - 2;a + t;a - 2} \right)\) Mà \(M,N \in \left( d \right)\) nên \(\frac{{a - t - 2}}{1} = \frac{{a + t}}{1} = \frac{{a - 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{3}{2}}\\{t = - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow M\left( {1;1;2} \right)\) \( \Rightarrow \left( d \right):\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}.\)
Câu 192: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ điểm B đối xứng với điểm \(A\left( {1;2;1} \right)\) qua mặt phẳng \(\left( P \right):y - z = 0\) là: A. \(\left( {1; - 2;1} \right)\) B. \(\left( {2;1;1} \right)\) C. \(\left( { - 1;1;2} \right)\) D. \(\left( {1;1;2} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng (P) có VTPT là: \(\overrightarrow n = \left( {0;1; - 1} \right).\) Đường thẳng AB vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận \(\overrightarrow n = \left( {0;1; - 1} \right)\) làm VTCP. Vậy phương trình tham số của AB là:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 2 + t}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) Gọi M là trung điểm của AB \( \Rightarrow M = AB \cap \left( P \right) \Rightarrow M\left( {1;\frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow B\left( {1;1;2} \right)\)
Câu 193: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {2;3; - 1} \right),B\left( {1;2; - 3} \right)\). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z = 8\) tại điểm S. Tỉ số \(\frac{{SA}}{{SB}}\) bằng: A. \(\frac{1}{2}\) B. 2 C. 4 D. 1 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1; - 2} \right)\) nên phương trình đường thẳng AB là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 3 - t\\z = - 1 - 2t\end{array} \right.\) Vì \(S = \left( P \right) \cap AB\) nên tọa độ S là nghiệm hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 3 - t\\z = - 1 - 2t\\x + y + z = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\x = 3\\y = 4\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow S(3;4;1)\) \(SA = \sqrt 6 ;SB = \sqrt {24} = 2\sqrt 6 ;\frac{{SA}}{{SB}} = \frac{1}{2}.\)
Câu 194: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {5;3; - 1} \right),B\left( {2;3; - 4} \right)\)\(C\left( {1;2;0} \right)\). Tọa độ điểm D đối xứng với C qua đường thẳng AB là: A. \(\left( {6; - 5;4} \right)\) B. \(\left( { - 5;6;4} \right)\) C. \(\left( {4;6; - 5} \right)\) D. \(\left( {6;4; - 5} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;0; - 3} \right) \Rightarrow \) phương trình đường thẳng \(\left( {AB} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5 + 3t}\\{y = 3}\\{z = - 1 + 3t}\end{array}} \right.\) \(\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) Phương trình mặt phẳng (P) qua C và vuông góc AB là \(x + z - 1 = 0\) Gọi \(M = \left( P \right) \cap AB \Rightarrow M\left( {5 + 3t;3; - 1 + 3t} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow 5 + 3t - 1 + 3t - 1 = 0\) \( \Leftrightarrow t = - \frac{1}{2} \Rightarrow M\left( {\frac{7}{2};3; - \frac{5}{2}} \right)\) Gọi \(M \in \left( {AB} \right)\) sao cho \(CM \bot AB \Rightarrow M\left( {5 - 3t;3; - 1 - 3t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CM} = \left( {4 - 3t;1; - 1 - 3t} \right)\) Mà M là trung điểm của CD\( \Rightarrow \) \(D\left( {6;4; - 5} \right).\)
Câu 195: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1;2; - 4} \right),B\left( {1; - 3;1} \right),C\left( {2;2;3} \right)\). Mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (xOy) có bán kính là: A. \(\sqrt {34} \) B. \(\sqrt {26} \) C. 34 D. 26 Spoiler: Xem đáp án Gọi I là tâm của mặt cầu \(\left( S \right) \Rightarrow I \in \left( {xOy} \right) \Rightarrow I\left( {a;b;0} \right)\) Ta có \(IA = IB = IC \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2} + {4^2} = {{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b + 3} \right)}^2} + {1^2}}\\{{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2} + {4^2} = {{\left( {a - 2} \right)}^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2} + {3^2}}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 2}\\{b = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow I\left( { - 2;1;0} \right)\) Vậy bán kính mặt cầu (S) là \(R = IA = \sqrt {26} .\)
Câu 196: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{3}\), \({d_2}:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 3}}\). Mặt phẳng (P) chứa \({d_1}\) và song song với \({d_2}\). Khoảng cách từ điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\) đến mặt phẳng là: A. \(\frac{5}{{\sqrt 3 }}\) B. 4 C. \(\sqrt 3 \) D. 1 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = \left( {2; - 1;3} \right),\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( { - 1;2; - 3} \right)\) suy ra \(\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( { - 3;3;3} \right).\) Mặt phẳng (P) chứa \({d_1}\) và song song \({d_2}\) nên có một VTPT là: \(\overrightarrow n = - \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( {1; - 1; - 1} \right).\) Ta có: \(A( - 1;1;2) \in {d_1} \Rightarrow A \in \left( P \right)\) Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \(\left( P \right):x - y - z + 4 = 0.\) Khoảng cách từ M đến (P) là: \(d(M,(P)) = \frac{{\left| {1 - 1 - 1 + 4} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 .\)
Câu 197: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) với a,b,c dương thỏa mãn \(a + b + c = 6\). Biết rằng a, b, c thay đổi thì tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách d từ \(M\left( {1;1;1} \right)\) tới mặt phẳng (P). A. \(d = \sqrt 3 \) B. \(d = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\) C. \(d = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) D. d=0 Spoiler: Xem đáp án Gọi M là trung điểm của AB. Do tam giác OAB vuông tại O ta dựng đường thẳng Mt qua M vuông góc với (OAB) tại M. Khi đó Mt cắt trung trực của OC tại điểm \(I\left( {\frac{a}{2};\frac{b}{2};\frac{c}{2}} \right)\) và I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Ta có: \({x_1} + {y_1} + {z_1} = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{6}{2} = 3 \Rightarrow A,B,C \in (P):x + y + z + 3\) cố định Khi đó \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = 0\)
Câu 198: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho điểm \(A\left( {1; - 1;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y + z + 1 = 0\). Gọi (Q) là mặt phẳng song song (P) và cách A một khoảng cách bằng 2. Tìm phương trình mặt phẳng (Q). A. \((Q): - 2x + 2y - z - 1 = 0\) B. \((Q): - 2x + 2y - z + 11 = 0\) C. \((Q):2x - 2y + z + 1 = 0\) và \((Q):2x - 2y + z - 11 = 0\) D. \((Q):2x - 2y + z + 1 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Vì (Q)//(P) nên \((Q):2x - 2y + z + c = 0\) Ta có: \(d\left( {A;\left( Q \right)} \right) = 2 \Leftrightarrow \frac{{\left| {2.1 - 3.\left( { - 1} \right) + 1 + c} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = 2 \Leftrightarrow \left| {5 + c} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 1\\c = - 11\end{array} \right. \Rightarrow (Q):2x - 2y + z - 11 = 0\)
Câu 199: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng (P), (Q) và (R) lần lượt có phương trình \(\left( P \right):x + 3ay - z + 2 = 0,\left( Q \right):ax - y + z + z = 0\) và \(\left( R \right):x - y - 4z + 2 = 0\). Gọi (da) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Tìm a đê đường thẳng (da) vuông góc với mặt phẳng (R). A. \(\left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = - \frac{1}{3}\end{array} \right.\) B. \(a = - \frac{1}{3}\) C. \(a = 1\) D. Không có giá trị của a Spoiler: Xem đáp án Các VTPT của hai mặt phương trình (P) và (Q) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;3a; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {a; - 1;1} \right) \Rightarrow \)VTCP của đường thẳng (da) là: \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {3a - 1; - a - a; - a - 3{a^2}} \right)\) VTCP của mặt phẳng (R) là \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1; - 1; - 4} \right)\). Để đường thẳng (da) vuông gốc với mặt phẳng (R) thì: \(\overrightarrow u \) cùng phương với \(\overrightarrow {{n_3}} \) suy ra:\(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {{n_3}} } \right] = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left( { - 3{a^2} + 4a + 3; - 3{a^2} + 12a - 5; - 2a} \right) = \overrightarrow 0 \Rightarrow \) Không có giá trị a.
Câu 200: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho các điểm \(A\left( {2;1;0} \right),B\left( {1;2;2} \right),M\left( {1;1;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 20 = 0\). Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng AB sao cho MN song song với mặt phẳng (P). A. \(N\left( {2;1;1} \right)\) B. \(N\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2}; - 1} \right)\) C. \(N\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2};1} \right)\) D. \(N\left( {2;1; - 1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Gọi (Q) là mặt phẳng qua M và song song với (P). Vì (Q)//(P) nên \((Q):x + y + z + c = 0\) (Q) qua \(M\left( {1;1;0} \right) \Rightarrow 1 + 1 + 0 + c = 0 \Leftrightarrow c - 2 \Rightarrow (Q):x + y + z - 2 = 0\) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( { - 1;1;2} \right) \Rightarrow AB:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 1 + t\\z = 2t\end{array} \right.\) Ta có: \(N = (Q) \cap AB\). Viết hệ phương trình giao điểm của AB và \(\left( Q \right) \Rightarrow t = - \frac{1}{2} \Rightarrow N\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2}; - 1} \right)\)
